Tài liệu vận dụng cao Toán Lớp 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm - Năm 2018 - Trần Công Diêu

i song song với hàng tường gạch. Bác chỉ làm ba mặt hàng rào bởi vì mặt thứ tư bác tận dụng luôn bờ tường. Bác dự tính sẽ dùng 200m lưới để làm nên toàn bộ hàng rào đó. Diện tích đất trồng rau lớn nhất bác có thể rào nên là: Bờ tường Hàng rào A. 1500m2. B. 10 000m2. C. 2500m2. D. 5000m2. Giải: Đề bài cho ta dữ liệu về chu vi của hàng rào là . Từ đó ta sẽ tìm được mối quan hệ giữa x và r, đến đậy ta có thể đưa về hàm số một biến theo x hoặc theo r như sau: Ta có: . Từ đây ta có . Diện tích đất rào được tính bởi: Xét hàm số trên khoảng Đến đây áp dụng quy tắc tìm GTLN của hàm số trên đoạn. ta có: Từ đó ta có là GTLN của diện tích đất rào được. chọn D. Bài 34: Một người có một dây ruy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải ruy băng này quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp ( như hình vẽ minh họa ). Hỏi dải ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu? A. B. C. D. Giải: Gọi lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ Dải dây ruy băng còn lại khi đã thắt nơ là: 120cm. Ta có: Thể tích khối hộp quà là: Thể tích V lớn nhất khi hàm số với đạt GTLN , cho Lập Bảng Biến thiên ta thấy thể tích đạt GTLN là: . Chọn B Bài 35: Thể tích nước của một bề bơi sau t phút bơm tính theo công thức Tốc độ bơm nước tại thời điểm t được tính bởi . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng. A. Tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút thứ 90. B. Tốc độ bơm luôn giảm. C. Tốc độ bơm tăng từ phút 0 đến phút thứ 75. D. Cả A, B, C đều sai. Giải: Xét hàm Dựa vào bảng biến thiên, Ta có hàm số V’ đồng biến trên (0;60), nghịch biến trên (60;90). Chọn A. Bài 36: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần hình trụ nhỉ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất? A. 0,7 B. 0,6 C. 0,8. D. 0,5. Giải. Ta có thay vào (1) ta được: khi r gần bằng 0,68. Chọn A. Bài 37: Do nhu cầu sử dụng người ta cần tạo ra một lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh và chiều cao , có thể tích là . Với như thế nào để đỡ tốn nhiều vật liệu nhất? A. B. C. D. . Giải. Dấu “=” xẩy ra khi . Chọn A. Bài 38: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có . Ta gấp tấm nhôm theo 2 cạnh vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ để được 1 hình lăng trụ khuyết 2 đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất? A. B. C. D. Giải: Gọi là độ dài đường trung tuyến đối với cạnh NP Diện tích tam giác NAP = Ta có: Xét hàm khi x=20. Chọn A. Bài 39. Một sợi dây kim loại 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a, đoạn thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r. Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số nào sau đây đúng? A. 2 B. 3 C. 4 D. 1. Giải: Suy ra . CHọn C. Bài 40: Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn An nhờ bố làm hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh bằng a, cắt mảnh tôn theo các tam giác cân AEB; BFC; CGD; DHA; sau đó gò các tam giác AEH; BEF; CFG; DGH sao cho 4 đỉnh A, B, C, D trùng nhau như hình vẽ. Thể tích lớn nhất của khối tứ giác đều tạo được là: A. B. C. D. Gọi h là chiều cao hình chóp, x là độ dài đáy, I là trung điểm EH. Xét Chọn D. Bài 41: Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy tìm hình trụ có thể tích lớn nhất. A. B. C. D. Giải: Kí hiệu chiều cao, bán kính đáy và thể tích của hình trụ nội tiếp hình cầu lần lượt là h, r và V. khi đó: Vì Bài toán trờ thành tìm GTLN của hàm số Ta có: BBT 0 2R V’(h) + 0 − V(h) Từ BBT, suy ra Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R có thể tích lớn nhất khi chiều cao của nó bằng , Khi đó, Thể tích khối trụ là: . Bài 42: Cho số dương m, hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất. A. B. C. D. Giải: Cho m>0. Đặt x là số thứ nhất, 0<x<m, số thứ hai là m-x . Xét tích . Ta có: BBT X 0 + 0 − Suy ra: . vậy phân tich m thành tổng hai số . Chọn D. Bài 43: Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất. A. B. C. D. Giải: Gọi một trong hai số phải tìm là x, ta có số kia là Xét tích . tc: BBT X P’(x) − 0 + P(x) Suy ra: . Vậy tích hia số bé nhất khi một trong hai số là và số kia là . CHọn A. Bài 44: Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số . A. B. C. D. Giải: Kí hiệu cạnh góc vuông AB là Khi đó cạnh huyền , cạnh góc vuông kia là . Diện tích tam giác ABC là . Ta có: BBT X 0 S’(x) + 0 − S(x) Suy ra . CHỌN A. Bài 45: Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó. A. B. C. D. Giải: Đặt ta được Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: . Ta có: BBT X 0 S’(x) + 0 − S(x) Suy ra S(x) đạt GTLN tại điểm và GTLN của diện tích hình chữ nhật là . CHọn A. Bài 46: Cho một parapol và điểm . Xác định điểm M thuộc parapol (P) sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đó. A. B. C. D. Giải Gọi là một điểm bất kì của parapol (P). Ta có: . Khoảng cách AM đạt GTNN khi và chỉ khi đạt GTNN. Xét BBT X − 0 + Suy ra f(x) đạt GTNN tại điểm x=-1 và . Do đó, khoảng cách AM đạt GTNN khi M nằm ở vị trí điểm . CHọn B. Bài 47: Một tạp chí được bán với giá 20 nghìn đồng một cuốn. Chi phí xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: Lương cán bộ, công nhân viên, giấy in,) được cho bởi công thức được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. 1) a) Tính tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí b) Tỉ số được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. Tính theo x và tìm số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình là thấp nhất. 2) Các khoản thu bao gồm tiền bán tạp chí và 90 triệu nhận được từ quảng cáo và sự trợ giúp cho báo chí. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. a) Chứng minh rằng số tiền lãi khi in x cuốn tạp chí là b) Hỏi in bao nhiêu cuốn thì có lãi. c) In bao nhiêu cuốn thì lãi nhiều nhất? tính số tiền lãi. Giải. 1)a) Tổng chi phí cho x cuốn tạp chí là: . b) Ta có: với (6) ta xét hàm số trên khoảng . Trong đó được xác định bởi công thức (6) với mọi trong đó hàm số M đạt GTNN trên Ta có: BBT x 0 10 000 − 0 + M(x) 2,2 Suy ra Vậy chi phí trung bình cho x cuốn tạp chí thấp nhất khi (cuốn). chi phí cho mỗi cuốn khi đó là van đồng (đồng). 2) a) Tổng số tiền thu được khi bán x cuốn tạp chí là: (vạn đồng) Số tiền lãi khi bán x cuốn là: b) có lãi khi . Tức là: Vì x lấy giá trị nguyên dương và Nên c) xét hàm số: , và tìm x>0 để tại đó đạt GTLN trên Ta có: BBT. X 0 9 000 L’(x) + 0 − L(x) Suy ra Vậy muốn lãi nhiều nhất thì phải in 9000 cuốn khi đó tiền lãi thu được là: 7100 vạn đồng (đồng). Bài 48: Một hành lang giữa hai toàn nhà có hình dạng của hình lăng trụ đứng. Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A” là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20 m, rộng 5 m, Gọi x (mét) là độ dài cạnh BC. a) Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x. b) Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. Giải: a) b) Hình lăng trụ có thể tích lớn nhất khi và Bài 49: Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài cạnh bằng 1 và cung là một phần tư đường tròn tâm A, bán kính AB chứ trong hình vuông. Tiếp tuyến tại điểm M của cung cắt đoạn thẳng CD tại điểm P và cắt đoạn thẳng BC tại điểm Q. Đặt a) Chứng minh rằng . Từ đó tính y theo x. b) Tính PQ theo x và tìm x để PQ có độ dài nhỏ nhất. Giải: a) b) đoạn thẳng PQ có độ dài nhỏ nhất khi Bài 50: Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ biển một khoảng . Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là . Người canh hải đăng có thể chèo đó từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc rồi đi bộ đến C với vận tốc . Xác định vị trí của điểm M để người đó đến kho nhanh nhất. Giải: Đặt Khi đó . Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là (giờ), Hàm số T đạt GTNN tại điểm Bài 51: Một hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình cầu bán kính a. a) Chứng minh rằng thể tích của hình chóp là: , trong đó x là chiều cao ci=ủa hình chóp. b) Với giá trị nảo của x, hình chóp có thể tích nhỏ nhất. Giải: a) Mặt phẳng đi qua đường cao SH của hình chóp và trung điểm M của một cạnh đáy cắt hình chóp theo tam giác cân SMN và cắt hình cầu theo hình tròn tâm O, bán kính a nội tiếp tam giác SMN. Có thể tính thể tích hình chóp theo x và . Sau đó sử dụng đẳng thức . Để tìm hệ thức giữa và . Ta có: . thể tích hình chóp là: Ta tính theo và Từ đẳng thức: ; . Từ đó suy ra công thức cần chứng minh. b) Cần chú ý V xác định khi x>2a. Bài 52: Một sợi dây kim loại dài được cắt thành hai đoạn, đoạn thứ nhất uốn thành hình vuông, đoạn thứ hai uốn thành hình tròn. Phải cắt sợi dây như thế nào để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất. Giải: Độ dài cạnh hình vuông là . Đoạn dây được uốn thành hình vuông là . Bán kính đường tròn là . Đoạn dây dây được uốn thành vòng tròn có độ dài là: Ta có: Tổng diện tích hình vuông và hình tròn là Dễ thấy S đạt GTNN tại điểm Bài 53: Người thợ cần làm một bể cá hai ngăn bằng nhau, không có nắp ở phía trên với thể tích 1,296m3. Người thợ này cắt các tấm kính ghép lại một bể cá dạng hình hộp chữ nhật với 3 kích thước mỗi ngăn là a, b, c như hình vẽ. Hỏi người thợ phải thiết kế các kích thước a, ,b, c bằng bao nhiêu để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dầy của kính không đáng kể. A. . B. C. D. . Giải: Ta có: (1) Theo đề bài (2) Bài toán trở thành tìm để với ĐK (2) Từ (1) Ta có: Dấu “=” xảy ra khi: Thay vào (2): Vậy Chọn C.