Tài liệu Phát triển bài toán vận dụng cao - Chương I: Ứng dụng đạo hàm - Hứa Lâm Phong

i thuế khác nhau. Trên đây chỉ là 1 tình huống ta xét tương ứng với mức thuế cần định cho sản phẩm để đạt được lợi nhuận cao nhất. Bài tập tương tự 1: Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu trong một đơn vị thời gian là và hàm chi phí sản xuất trong một đơn vị thời gian là . Hãy xác định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận và tổng thuế chính phủ thu được đạt giá trị cực đai ? Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất là 40 sản phẩm thì mức thuế thu trên mỗi đơn vị sản phẩm là bao nhiêu ? Hướng dẫn giải Ta có Doanh thu của xí nghiệp là Thuế của xí nghiệp là Lợi nhuận của xí nghiệp là Vậy để lợi nhuận lớn nhất thì xí nghiệp phải sản xuất ở mức: Do đó thuế thu được là Với mức thuế thì xí nghiệp sẽ sản xuất được sản phẩm trong một đơn vị thời gian. Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất 40 sản phẩm thì Nghĩa là cần chọn mức thuế tối đa là 40 cho một đơn vị sản phẩm. Bài tập tương tự 2: Một nhà máy sản xuất máy tính vừa làm ra sản phẩm mới và bán với giá là (USD) cho mỗi sản phẩm. Nhà sản xuất xác định rằng tổng chi phí làm ra sản phẩm là (USD). Hãy xác định tổng thu nhập và tổng lợi nhuận của nhà máy ? Nhà máy phải sản xuất và bán bao nhiêu sản phẩm và giá bán mỗi sản phẩm là bao nhiêu để lợi nhuận là lớn nhất ? Hướng dẫn giải và (sản phẩm) Lại có nên Khi đó giá bán mỗi sản phẩm sẽ là . Cách khác Dấu “=” xảy ra khi . Bài toán 22 (Ứng dụng trong Sinh học). Trong một môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn được cấy vào. Bằng thực nghiệm xác định được số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian bởi qui luật (con vi khuẩn), trong đó t là thời gian (đơn vị giây)). Hãy xác định thời điểm sau khi thực hiện cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên là lớn nhất ? n Phân tích: ● Tương tự như những bài toán trước, do đề bài đã mô hình hóa bài toán dưới dạng hàm nên ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo hàm là có thể tìm được số lượng tăng nhanh nhất của vi khuẩn. Hướng dẫn giải. Ta có tốc độ phát triển của đàn vi khuẩn tại thời điểm t là () Xét . Lập bảng biến thiên ta được: Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận . n Bình luận: ngoài ra ta cũng có thể làm như sau do . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Bài tập tương tự 1: Giả sử là số lượng cá thể trong một đám vi khuẩn tại thời điểm , là số lượng cá thể lúc ban đầu. Khi đó tốc độ phát triển về số lượng của vi khuẩn tại thời điểm t chính là . Giả sử mẫu thử ban đầu của ta có vi khuẩn . Vậy tốc độ phát triển sau 4 giờ sẽ là bao nhiêu con vi khuẩn ? A.. B.. C.. D. . Hướng dẫn giải Ta có: con vi khuẩn. Bài tập tương tự 2: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng(gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất? Hướng dẫn giải Vậy với n con cá thì ta có Khi đo . Khi đó ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra . Cách khác: Suy ra Bài toán 23 (Ứng dụng trong Hóa học). Đốt cháy các hidrocacbon của dãy đồng đẳng nào dưới đây thì tỉ lệ mol : mol giảm dần khi số cacbon tăng dần ? A.Ankan B. Anken. C. Ankin. D. Ankylbenzen n Phân tích: ● Để làm được bài này, ta cần có hiểu biết về kiến thức về chương Hidrocabon đã học ở chương trình hóa lớp 9 hoặc hóa lớp 11. ● Từ đây ta thiết lập công thức tổng quát của 1 hidrocacbon là ● Sau đó thực hiện phản ứng cháy Đến đây ta thấy được tỉ lệ mol giữa nước và khí cacbonic sinh ra chính là . Tới đây ta có thể xét hàm. Khảo sát và tìm điều kiện của k (chính là số liên kết ) Hướng dẫn giải. Công thức tổng quát của một hidrocacbon là với là số liên kết trong phân tử . Phương trình phản ứng cháy là: Ta có . Xét hàm số Ta có . Theo giả thiết ta có là hàm nghịch biến nên n Bình luận: việc vận dụng kiến thức liên môn kết hợp với nhau, góp phần giúp cho bài toán Hóa trở nên dễ dàng hơn khi có công cụ Toán học hỗ trợ, ngược lại ta cũng tìm thấy được những ứng dụng của Toán học trong quá trình tìm hiểu các môn học khác, điều này góp phần củng cố, khắc sâu tri thức mà ta lĩnh hội được khi học. Bài tập tương tự : Cho phương trình phản ứng tạo thành Nitơ (IV) Oxit từ Nitơ đioxit và Oxy là . Biết rằng đây là một phản ứng thuận nghịch. Giả sử lần lượt là nồng độ phần trăm của khí và tham gia phản ứng. Biết rằng tốc độ phản ứng hóa học của phản ứng trên được xác định , với k là hằng số của tốc độ phản ứng. Để tốc độ phản ứng xảy ra nhanh nhất thì tỉ số giữa là ? A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn giải Ta có Xét hàm số . Bài toán trở thành tìm Ta có: Lập bảng biến thiên ta có: Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra Và do đó ta có . Bài toán 23 (Ứng dụng trong Y Học). Độ giảm huyết áp của bệnh nhân được cho bởi công thức với x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm ? n Phân tích: ● Tương tự như những bài toán đã cho sẵn hàm số, thì việc ứng dụng đạo hàm không còn quá khó khăn nữa. Hướng dẫn giải. Cho Ta có bảng biến thiên sau: Dựa vào bảng biến thiên ta có . Bài toán 24 (Ứng dụng trong thể thao). Trong nội dung thi điền kinh và bơi lội phối hợp được diễn ra tại một hồ bơi có chiều rộng 50m và chiều dài 200m. Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) khi phải thực hiện lộ trình xuất phát từ A đến B như hình vẽ. Hỏi rằng sau khi chạy được bao xa (quãng đường x) thì vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi về đích nhanh nhất ? Biết rằng vận tốc của vận động viên khi chạy trên bờ và khi bơi lần lượt là 4,5 m/s và 1,5 m/s. n Phân tích: ● Với lộ trình đã vạch sẵn như hình vẽ, ta thấy, cùng với chiều rộng và chiều dài của hồ bơi, ta nhận thấy tổng quảng đường vận động viên đó phải đi sẽ là AC + CB ● Giả sử đặt AC = x (x > 0). Khi đó ta nhận thấy để tính quãng đường bơi từ C đến B thì phải dựa vào chiều rộng của hồ, và quãng đường còn lại nếu vận động viên đi dọc theo bờ hồ. ● Do vận tốc trên bộ và dưới nước là khác nhau nên thời gian di chuyển cũng khác nhau. Việc xác định x thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta có thể sử dụng ứng dụng của đạo hàm. Hướng dẫn giải. Gọi là vị trí mà vận động viên kết thúc phần chạy điền kinh và Khi đó ta có là thời gian đi từ A đến C. Đồng thời quãng đường bơi chính là Khi đó ta có là thời gian đi từ C đến B. Tổng thời gian của vận động viên sẽ là Xét hàm Bài toán trở thành tìm Ta có: Lập bảng biến thiên ta có Dựa vào bảng biến thiên ta có: n Bình luận: một lần nữa việc vận dụng đạo hàm đã giúp ta tối ưu hóa bài toán thời gian cho vận động viên trên. Ta tự hỏi thực tế mô hình trên liệu có thực ? Tìm hiểu kiến thức khoa học trên wikipedia, ta có thông tin sau: Ba môn phối hợp (thuật ngữ tiếng Anh: Triathlon) bao gồm chạy bộ, bơi và đua xe đạp. Ban đầu các vận động viên đua bơi lội. Tiếp đó là đua xe đạp tới đường chạy, cuối cùng các vận động viên chạy marathon để về đích.[1][2] Đây là môn thể thao được chơi ngoài trời và là một môn thể thao mới được chơi tại Thế Vận Hội từ năm 2000 ở Sydney, Á Vận Hội và thậm chí tại SEA Games. Ba môn phối hợp đòi hỏi các vận động viên phải có một sức bền cả về thể lực lẫn tinh thần. Đây là môn thể thao thi đấu cá nhân hoặc đồng đội. Môn thể thao này có rất nhiều người tham gia. Bài toán 25 (Ứng dụng trong kỹ thuật vi tính). Một máy tính được lập trình để vẽ một chuỗi các hình chữ nhật ở góc phần tư thứ nhất của hai trục tọa độ 2 chiều, nội tiếp dưới đường cong . Hỏi diện tích lớn nhất của hình chữ nhật lớn nhất có thể nội tiếp được đường cong trên ? n Phân tích: ● Ta có thể mô tả bài toán trên bằng cách vẽ đồ thị hàm . ● Dựa vào hình vẽ, ta nhận thấy. Diện tích của hình chữ nhật chính là ● Đến đây ta nghĩ đến việc sử dụng đạo hàm để tìm x nào cho chúng ta được tương ứng y thỏa mãn diện tích hình chữ nhật trên là lớn nhất. Hướng dẫn giải. Ta có diện tích hình chữ nhật bằng Đặt Đồng thời Do đó ta có . x y Bài toán 26 (Ứng dụng trong Thủy lợi). Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này,- đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định, là nhỏ nhất). Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật) Hướng dẫn giải. Gọi lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta có: Xét hàm số . Bài toán trở thành tìm Ta có: . Cho . Lập bảng biến ta suy ra Do đó mương có dạng thuỷ động học khi kích thước của mương là Cách khác: . Dấu “=” xảy ra . Bài toán 27 (Ứng dụng trong Xây Dựng). Hãy xác định độ dài ngắn nhất cánh tay nâng của cần cẩu bánh hơi có thể dùng được để xây dựng tòa nhà cao tầng mái bằng có chiều cao H và chiều rộng 2? (Biết rằng cần cẩu thỏa mãn yêu cầu sau đây: Có thể xê xích chiếc cẩu cũng như góc nghiêng của cánh tay nâng để sao cho điểm cuối của cánh tay nâng chiếu xuống theo phương thẳng đứng thì trùng với trung điểm của bề rộng (Hình vẽ). Ta giả sử ngôi nhà xây dựng trên miếng đất rộng, cần cẩu có thể di chuyển thoải mái. Hướng dẫn giải. Gọi là khoảng cách tính từ mặt đất đến đầu dưới của cánh tay cần cẩu Gọi là các kí hiệu như hình vẽ. Khi đó cánh tay cần cầu là với Đặt . Bài toán trở thành tìm Ta có: Cho Lập bảng biến thiên ta có 5 Dựa vào bảng biến thiên ta có: Như vậy, ta vừa điểm qua một loạt các bài toán ứng dụng đạo hàm trong thực tế. Có thể thấy ngoài những lĩnh vực trên, vẫn còn nhiều lĩnh vực khác nữa cần đến kiến thức của đạo hàm trong giải quyết các bài toán tối ưu của chúng. Để góp phần củng cố và giới thiệu nhiều bài toán hay khác cũng như tiếp cận với hình thức thi trắc nghiệm của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo trong kì thi THPT sắp tới, nhóm tác giả thiết kế thêm bài tập trắc nghiệm tiếp sau đây để bạn đọc có dịp làm quen và nâng cao kỹ năng khi tiếp cận với các bài toán thực tế đó.