Tài liệu ôn tập thi Toán 9 - Chủ đề 1: Rút gọn biểu thức - Nguyễn Thế Bình

GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH CHỦ ĐỀ 1 – RÚT GỌN BIỂU THỨC DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC: ................................................................................................................ 1 DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA X . TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ....................................................... 3 DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ................................................................................................. 4 DẠNG 4: ĐƯA VỀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH ...................................................................................... 11 DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC .................................... 17 DẠNG 7: TÌM X ĐỂ P NHẬN GIÁ TRỊ LÀ SỐ NGUYÊN ........................................................................ 25 DẠNG 8: TÌ THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH Pm CÓ NGHIỆM ....................................................... 29 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ ................................................................................. 31 DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC: Bước 1 Đặt điều kiện xác định của biểu thức: 1 x0 x0 (a 0): Điều kiện xác định là 2 xa xa xa 1 (a 0): Điều kiện là x0 xa Gặp phép chia phân thức thì đổi thành phép nhân sẽ xuất hiện thêm mẫu mới nên dạng này ta thường làm bước đặt điều kiện sau. Bước 2 Phân tích mẫu thành tích, quy đồng mẫu chung. Bước 3 Gộp tử, rút gọn và kết luận. x 2 x 3x 9 Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A x 3 x 3 x9 Lời giải Điều kiện: x 0,x 9 x 2 x 3x 9 Có A x 3 x 3(x 3)(x 3) x(x3) 2x(x3) 3x9 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) x3x2x6x3x9 3(x3) 3 ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) x 3 3 Vậy A với điều kiện x 0,x 9 x3 x 1 2 9 x 3 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức A x 2 x 3 x x 6 Lời giải Có x x 6 x3x 2x 6 x(x 3)2(x 3) (x 2)(x 3) Điều kiện: x 0,x 4 Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 1 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH x 1 2 9 x 3 Có A x 2 x 3(x 2)(x 3) ( x 1)( x 3) 2( x 2) 9 x 3 ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x4x32x49x3 x3x2 ( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) ( x 1)( x 2) x 1 ( x 2)( x 3) x 3 x1 Vậy: A với điều kiện x 0,x 4 x3 x 2 x 1 1 P 1: Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức x x 1 x x 1 x 1 Lời giải x 2 x 1 1 P 1: Có (x1)(x x1) x x1 x1 x2 (x1)(x1) x x1 1: ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x 2 x 1 x x 1 x x 1: 1: ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) (x1)(x x1) x x1 1  . Điều kiện x 0,x 1. x( x 1) x x x 1 Vậy P với điều kiện . x Chú ý: Câu này có phép chia phân thức nên đoạn cuối xuất hiện thêm x ở mẫu, do đó ta làm bước đặt điều kiện sau. a 3 a 2 a a 1 1 Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức P: (a2)(a1) a1 a1 a1 Lời giải (a1)(a2) aa a1 a1 P: Có ( a 2)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) a 1 a a a 1 a 1 : a 1 ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)2 a a 2 a : ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) a2a1a a(a1)(a1) a1  (a1)(a1) 2a 2a Điều kiện a 0,a 1 a1 Vậy P với điều kiện . 2a Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 2 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA . TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bước 1 Đặt điều kiện và chỉ ra giá trị đã cho của x thoả mãn điều kiện. Bước 2 Tính x rồi thay giá trị của x, x vào biểu thức đã rút gọn. Bước 3 Tính kết quả của biểu thứcX bằng cách trục hết căn thức ở mẫu và kết luận. x1 Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức P khi: x2 a) x 36 b) x 6 2 5 2 23 c) x d) x 23 2 6 28 21 44 e) x 2 7 f) x 3 7 2 3 3 2 3 2 3327 1 g) x h) x 7 x 10 0 18 Lời giải Điều kiện x 0,x 4 a)Có x 36 thoả mãn điều kiện. 6 1 7 Khi đó x6 thay vào P ta được P . 6 2 4 7 Vậy P khi . 4 b)Có x 6 2 5 ( 5 1)2 thoả mãn điều kiện Khi đó x 5 1 5 1(do 5 1) 5 1 1 5 5 3 5 Thay vào P ta được P 5 1 2 5 3 4 5 3 5 Vậy P khi x 6 2 5 . 4 2 2(2 3) 4 2 3 c)Có x ( 3 1)2 thoả mãn điều kiện. 2 3 (2 3)(2 3) 43 Khi đó x 3 1 3 1(do 3 1) . 3 1 1 3 1 3 Thay vào P ta được P 3 1 2 3 3 2 13 2 Vậy P khi x 2 23 2 2 3 4 2 3 3 1 x d)Có thoả mãn điều kiện 2 4 2 3 1 3 1 Khi đó x (do 3 1) 22 Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 3 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH 31 1 3 1 4 3 3 Thay vào P , ta được P 2 3 1 3 5 11 2 2 4 3 3 23 Vậy P khi x . 11 2 6 28 21 6 3 7 7 4 3 e) Có x 2 7 2 7 3 7 2 3 3 7 3 7 2 3 18 6 7 3 7 9( Thỏa mãn điều kiện) x 3. 97 31 Thay vào , ta được: P 4. 32 6 28 21 Vậy P 4 khi x 27 . 3 7 2 3 4 44 3 2 4 3 2 16 f) Có x 16 thỏa mãn điều kiện. 3 2 3 2 3 2 3 2 34 4 1 5 Khi đó x 4 thay vào P , ta được P . 4 2 2 5 44 Vậy P khi x . 2 3 2 3 2 3 27 3 1 3 1 2 1 g) Có x thỏa mãn điều kiện. 18 18 18 9 1 1 1 4 Khi đó x , thay vào P , ta được P 3 . 1 3 2 5 3 4 3 27 3 1 Vậy P khi x . 5 18 h) Có x 7100 x x 25100 x x x 2 x 50 x 2, x 5 x 4(loại), x 25(thỏa mãn). 5 1 6 Khi đó x 5, thay vào P ta được P 2. 5 2 3 Vậy P 2 khi x thỏa mãn xx 7 10 0. DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định. Bước 2: Quy đồng mẫu chung Bước 3: Bỏ mẫu, giải x, đối chiếu điều kiện và kết luận. Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 4 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH Đưa về phương trình tích xx 1 13 Ví dụ 1. Cho biểu thức P . Tìm x để P . x 3 Lời giải Điều kiện: x 0 . 13x x 1 1331 xx 13 x Có P 33x33 x x 33x x 313 x 310 x x 3039 x x x 30 3x x 3 x 3 0 x 3 3 x 1 0 x 3 x 9 1 1 (thỏa mãn điều kiện). x x 3 9 1 13 Vậy xx 9, thì P . 9 3 3 x Ví dụ 2. Cho biểu thức M = . Tìm x để M = . x2 8 Lời giải Điều kiện: xx 0, 4 . xx3 24 xx 2 Có M 88x 2 8 xx 2 8 2 2 24 x 2 x x 2 x 1 25 x 1 25 xx 1 5 4 (loại), xx 6 36 (thỏa mãn điều kiện). x Vậy x 36 thì M . 8 Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 5 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH Phương trình có chứa trị tuyệt đối f() x a (với a 0và a là số cụ thể) thì giải luôn hai trường hợp f(). x a f()() x g x (với gx()là một biểu thức chứa x ): Cách 1: Xét 2 trường hợp để phá trị tuyệt đối: Trường hợp 1: Xét fx( ) 0thì f()() x f x nên ta được f( x ) g ( x ). Giải và đối chiếu điều kiện fx( ) 0. Trường hợp 2: Xét fx( ) 0thì f()() x f x nên ta được f( x ) g ( x ). Giải và đối chiếu điều kiện fx( ) 0. Cách 2: Đặt điều kiện gx( ) 0và giải hai trường hợp f()() x g x . x 2 1 Ví dụ 1. Cho 2 biểu thức A và B . Tìm x để A B.4 x . x 5 x 5 Lời giải Điều kiện: xx 0, 25. x 2 x 4 Có A B. x 4 x 4 x 2. xx 55 Cách 1: Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Xét xx 4 0 4 thì xx 44 nên ta được: x 4 x 2 x x 6 0 x 3 x 2 0 x 9(thỏa mãn). Trường hợp 2: Xét xx 4 0 4 thì xx 44 nên ta được: x4 x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0 x 1(thỏa mãn). Cách 2: Vì x 20với mọi xx 0, 25nên xx 42 . xx 3 2 0 x 4 x 2 x x 6 0 x 9 (thỏa mãn). x 4 x 2 x x 2 0 xx 1 2 0 x 1 Cách 3: Nhận xét x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 nên x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1 xx 39 x 21 (thỏa mãn). x 1 x 1 Vậy xx 9, 1thì . x 3 1 Ví dụ 2. Cho 2 biểu thức A và B . Tìm x để A B.3 x x 1 x 1 Lời giải Điều kiện: xx 0, 1. Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 6 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH x 3 x 3 Có A B. x 3 x 3 x 3 . xx 11 Cách 1: Ta xét 2 trường hợp: Trường hợp 1: Xét x 3 0 x 3 x 9 thì xx 33 nên ta được x 3 x 3 x x 0 x x 1 0 x 0, x 1(loại). Trường hợp 2: Xét x 3 0 x 3 x 9 thì xx 33 nên ta được x 3 x 3 x x 6 0 x 2 x 3 0 xx 24 (thỏa mãn). Vậy x 4thì A B.3 x . Cách 2: Điều kiện: xx 3 0 3. Khi đó xx 33 xx 10 x 3 x 3 x x 0 x 0, x 1 x 3 x 3 x x 6 0 xx 2 3 0 x 4 Kết hợp các điều kiện được x 4. Đưa về bình phương dạng m22 + n = 0 (hoặc m2 + n = 0) Bước 1 Đặt điều kiện để biểu thức xác định và đưa phương trình về dạng mn22 0 (hoặc mn2 0) Bước 2: Lập luận mn22 0, 0(hoặc n 0 ) nên mn22 0 (hoặc mn2 0 ). Bước 3: Khẳng định mn22 0 (hoặc mn2 0) chỉ xảy ra khi đồng thời m 0 n 0 Bước 4: Giải ra x , đối chiếu điều kiện và kết luận. 2 x 1 Ví dụ 1. Cho biểu thức P . Tìm x để P. x 6 x 3 x 4 . x Lời giải Điều kiện: x 4. 2 x 1 Có P. x 6 x 3 x 4 . x 6 x 3 x 4 x x2 x 1 6 x 3 x 4 x 4 x 4 x 4 0 2 xx 2 4 0. 2 2 Vì xx 2 0, 4 0 nên xx 2 4 0. 2 x 20 Do đó xx 2 4 0 chỉ xảy ra khi x 4 (thỏa mãn). x 40 Vậy x 4thì P. x 6 x 3 x 4. x3 Ví dụ 2. Cho biểu thức P . Tìm x để P. x x 1 2 3x 2 x 2 . x Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 7 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH Lời giải Điều kiện: x 2. x 3 Có P.xx123x2x2 .x x 123 x 2x2 x x3 x 123x2x2 x 323 x x 12 x 20 x 2 3 x 3 x 2 2 x 2 1 0 22 xx 3 2 1 0. 22 22 Vì xx 3 0, 2 1 0 nên xx 3 2 1 0. 22 Do đó xx 3 2 1 0 chỉ xảy ra khi x 3 x 3(thỏa mãn điều kiện). x 21 Vậy x 3thì P. x x 1 2 3x 2 x 2. x 1 Ví dụ 3. Cho biểu thức A . Tìm x để 81x2 18 x A 9 x 4. x Lời giải Điều kiện: x 0. x 1 Có 81x22 18 x A 9 x 4 81 x 18 x 9 x 4 x x 1 81x2 18 x 1 9 x 5 x 2 x 1 9 x 5 x 91x x x x 2 9xx 6 1 9x 1 0 x 2 31x 2 9x 1 0. x 2 2 31x 31x 2 2 Vì 9x 1 0, 0 nên 9x 1 0. x x 2 31x 2 9x 1 0 1 Do đó 9x 1 0 chỉ xảy ra khi x (thỏa mãn điều kiện). x 3x 1 0 9 1 Vậy x thì 9 Đánh giá vế này một số, vế kia số đó Bước 1: Đưa một vế về bình phương và sử dụng A22 m 0; A m 0 m . Bước 2: Đánh giá vế còn lại dựa vào bất đẳng thức quen thuộc như: Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 8 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH ab Bất đẳng thức Cosi: a b2 ab hay ab  a 0, b 0. 2 Dấu “=” xảy ra khi ab . Bất đẳng thức Bunhia: axby.. 2 abx2 2 2 y 2  abxy, , , . xy Dấu “=” xảy ra khi . ab a b a b  a 0, b 0. Dấu “=” xảy ra khi a 0 hoặc b 0. Bước 3: Khẳng định phương trình chỉ xảy ra khi các dấu “=” ở bước 1 và bước 2 đồng thời xảy ra. 4 Ví dụ 1. Cho biểu thức A và B x x x . Tìm x để x2 6 A . B x 1 3 x . x 1 Lời giải Điều kiện: 1 x 3. Có 4 x2 6 . x x 1 x 1 3 x x 1 x2 4 x 6 x 1 3 x (*) * Có VT (*) x2 4 x 4 2 x 2 2 2 2. * Chứng minh VP(*) 2 : Cách 1: (Dùng bất đăng thức Cosi) 2 Xét VP* x 12 x 13 x 3 x 22 x 13 x xx 13 2 2. 4 VP * 2. 2 Cách 2: (Dùng bất đẳng thức Bunhia cốpxki) 2 2 22 Xét VP* 1.x 11.3 x 11 x 13 x 4VP*2. Như vậy VT(*) 2, VP * 2 nên (*) chỉ xảy ra khi x 2 0 x 2 (thỏa mãn). xx 13 Vậy x 2thì . x Ví dụ 2. Cho biểu thức A . Tìm x để A.( x 2) 5 x x 4 x 16 9 x . x 2 Lời giải Điều kiện: 0 xx 9, 4. Có A.( x 2) 5 x x 4 x 16 9 x x .(x 2) 5 x x 4 x 16 9 x x 2 x 6 x 4 x 16 9 x (*) 2 Có VT(*) x 6 x 9 5 x 3 5 5. Ta sẽ chứng minh VP * 5 Cách 1: (Chỉ ra VP(*)2 25) Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 9 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH Xét VP(*)2 x 16 2 x 16 9 x 9 x = 25 2 xx 16 9 25 VP(*) 5. Cách 2: (Sử dụng a b a b  a 0, b 0 ) Có VP(*) x 16 9 x x 16 9 x 25 5 VP(*) 5. Như vậy VT(*) 5, VP(*) 5 nên (*) chỉ xảy ra khi x 30 Do đó (*) chỉ xảy ra khi x 9 (thỏa mãn điều kiện). xx 16 9 0 Vậy x 9 thì A.( x 2) 5 x x 4 x 16 9 x . Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 10 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH DẠNG 4: ĐƯA VỀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH f()()()() x f x f x f x Đưa về bất phương trình dạng 0; 0; 0; 0 g()()()() x g x g x g x Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định. Bước 2: Quy đồng mẫu chung, chuyển hết sang một vế để được dạng f()()()() x f x f x f x 0; 0; 0; 0 g()()()() x g x g x g x Bước 3: Giải các bất phương trình này, đối chiếu điều kiện và kết luận. Một số tình huống thường gặp 3 +) 03 và x 2cùng dấu. x 2 Vì 30nên ta được x 20và giải ra 04 x . x 3 +) 0 x 2 Vì x 20nên ta được x 30và giải ra 09 x . x +) 0 x và x 4trái dấu, rồi giải hai trường hợp: x 4 x 0 trường hợp này vô nghiệm. x 40 x 0 trường hợp này giải được 0 x 16 . x 40 x 1 +) 0giải hai trường hợp: x 5 x 10 trường hợp này giải được x 25 . x 50 x 10 trường hợp này giải được 01 x . x 50 x 1 Ví dụ 1. Cho biểu thức A . Tìm x để A 1. x 2 Lời giải Điều kiện: xx 0, 4. x 1 x 1 x 2 3 Có A 1 1 0 0 0 x 2 x 2 x 2 x 2 3 và x 2trái dấu, mà 30 nên ta được x 2 0 x 2 0 x 4. Do xx 0; 1; 2; 3(thỏa mãn điều kiện). Vậy x 0; 1; 2; 3là các giá trị cần tìm. x 1 2 Ví dụ 2. Cho biểu thức M . Tìm x để M . x 2 3 Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 11 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH Lời giải Điều kiện: x 0. 2xx 1 23 xx 1 2 2 7 Có M 0 0 0 33x 2 3 x 2 3 x 2 3 x 2 x 70 (do x 20) xx 7 49 (thỏa mãn điều kiện). Vậy x 49 thì x 2 1 Ví dụ 3. Cho biểu thức P . Tìm x để P . x 1 2 Chú ý: Dạng P m m 0 , trước hết ta cần giải điều kiện phụ P 0để P xác định, sau đó mới giải Pm 2 . Lời giải Điều kiện: x 0. x 2 * Để P xác định ta cần có P 00 x 1 x 20 (do x 10) xx 24 (thỏa mãn điều kiện). 1 1x 2 1 4 xx 2 1 1 * Khi đó PP 00 2 4x 1 4 4 xx 1 4 1 39x 0 3x 9 0 (do x 10) xx 3 0 9. 41 x Kết hợp điều kiện x 4 , ta được 49 x . Đưa về bình phương dạng m2 0; m 2 0; m 2 + n 2 0; m 2 n 0. Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định và đưa bất phương trình về dạng Bước 2: lập luận để giải dấu “=” xảy ra: Dạng m2 0: Lập luận: Vì m2 0nên khẳng định m2 0chỉ xảy ra khi m2 0. Dạng m2 0 : Lập luận m2 0 nên khẳng định m2 0 chỉ xảy ra khi m 0. Dạng mn22 0(hoặc mn2 0 ): Lập luận mn22 0, 0 (hoặc n 0 ) nên mn22 0(hoặc mn2 0 ) nên khẳng định mn22 0(hoặc mn2 0 ) chỉ xảy ra khi đồng thời m 0 n 0 Bước 3: Giải ra x , đối chiếu điều kiện và kết luận. x 4 1 xA Ví dụ 1. Cho 2 biểu thức A và B . 2Tìm x để 5 . x 1 xM 1 4 B 3 Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 12 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH Lời giải Điều kiện: xx 0, 1. x A x x 41 x Có 5 5 : 5 x 4 4B 4xx 11 4 xx 44 2 0 x 2 0, 4 2 2 Mà x 20 nên x 20 chỉ xảy ra khi x 20 xx 24 (thỏa mãn). Vậy x 4thì . a 1 11a Ví dụ 2. Cho biểu thức P . Tìm a để 1. 2 a P 8 Lời giải Điều kiện: a0 . 1 a 1 2 a a 1 16 a ( a 1)2 8( a 1) Có 1 1 0 0 P 8a1 8 8( a 1) 8( a 1) 8( a 1) a 6 a 9 ( a 3)2 00 8( a 1) 8( a 1) ( a 3)2 ( a 3)2 Vì 0 với mọi nên 0 chỉ xảy ra khi a 3 0 a 3 a 9 (thoả mãn 8( a 1) 8( a 1) điều kiện) 1 a 1 Vậy a9 thì 1 P8 4.3 Tìm x để AAAAAAAA ,,, Ghi nhớ: A A A 0 A A A 0 A A A 0 A A A 0 x Ví dụ 1: Cho biểu thức P . Tìm x để PP x2 Điều kiện: x 0,x 4. x Có khi P 0 0 x, x 2 trái dấu. x2 x 0 x0 x 0 0 x 4 (thoả mãn điều kiện) x 2 0 x2 x4 x0 (loại). x 2 0 Vậy 0 x 4 thì PP xA 5 4 B Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 13 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH xx 69 Ví dụ 2. Cho biểu thức A . Tìm x và x lớn nhất để AA x 9 Lời giải Điều kiện: xx 0, 9 2 x 6 x 9 x 3 x 3 Có A x 9 xx 33 x 3 Cách 1 (sử dụng AAA 0 x 3 Có AAA 00 x 3 Mà x 30 nên ta được x 3 0 x 3 0 x 9 Kết hợp với điều kện, ta được 09 x . Do x và x lớn nhất nên ta tìm được x = 8. Cách 2 (Xét hai trường hợp để phá dấu giá trị tuyệt đối) xx 33 Có A A x 33 x xx 33 Trường hợp 1: Xét x 3 0 x 3 x 9 (do x 9) thì x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 9 (loại) Trường hợp 2: Xét x 3 0 x 3 0 x 9 (do ) thì x 3 x 3 x 3 x 3 0 0 (luôn đúng) Do đó ta được . Do x và x lớn nhất nên ta tìm được x = 8. Vậy x 8 là giá trị cần tìm DẠNG 5: SO SÁNH, CHỨNG MINH BẰNG CÁCH XÉT HIỆU Để chứng minh XYXY ta chứng minh hiệu XYXY 00 Để chứng minh XYXY ta chứng minh hiệu XYXY 00 Để so sánh hai biểu thức X và Y ta xét dấu của hiệu XY Để so sánh P với P2 ta xét hiệu PPPP 2 1 rồi thay x vào và xét dấu Để so sánh P và P (khi P có nghĩa) ta biến đổi hiệu P 1 PPPPP 1. P 1 Sau đó nhận xét P 0, P 10 nên ta cần xét dấu của P 1. a 3 Ví dụ 1. Cho biểu thức A . Chứng minh A 1. 21 a Lời giải Điều kiện: a 0. Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 14 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH aa 3321 a Xét hiệu A 11 2 a 1 2 a 1 2 a 1 2 aa 21 a 1 0 a 0 A 1 dpcm . 2 aa 1 2 1 x 1 xx 1 Ví dụ 2. Cho biểu thức A và B . Khi A 0, hãy so sánh B với 3. x 3 x 1 Lời giải Điều kiện: xx 0; 1. x 1 Khi A 0 0 x 1 và x 3cùng dấu. x 3 Mà x 30nên ta được x 10 x 1 x 1 (thoả mãn). x x 11 x x 3. x 1 Xét hiệu B 33 x 1 x 1 x 1 2 xx 44 x 2 01 x nên B 3. xx 11 Vậy khi thì x 1 x 6 xx 55 Ví dụ 3. Cho biểu thức A và B . Chứng minh AB. . 2. x 5 x 1 xx 5 Lời giải Điều kiện: x 0, x 1, x 25 . x 5 x 5 x 1 x 6 x 5 x 5 Xét hiệu AB.  2   2 x 5 x x 5 x 1 x 5 x x 6 x 5 x 5 x x 1 x 5 x x 1   2  2 2 x 5 x 5 x x 5 x x 2 13 x xx 1 24 0 , với mọi x 0, x 1, x 25 xx xx 55 Vậy AB.2  . xx 5 21x 21x Ví dụ 4. Cho hai biểu thức A và B . 31x x 1 B So sánh giá trị của biểu thức và 3. A Lời giải Điều kiện: x 0 . Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 15 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH B2 x 1 2 x 1 2 x 1 3 x 1 Xét hiệu 3 : 3  3 A x 1 3 x 1 x 1 2 x 1 3x 131 x 2 0 với mọi x 0 . x 1 x 1 x 1 B Vậy 3 . A x 1 Ví dụ 5. Cho biểu thức P . So sánh P và P2 . x 2 Lời giải Điều kiện: xx 0, 4 . 2 x 1 x 1 x 1 3 Xét hiệu PPPP (1 ) 1  x 2 x 2 x 2 x 2 31x 2 2 0  xx 0, 4 nên PP . x 2 Vậy PP 2 . x 2 Ví dụ 6. Cho biểu thức P . Khi P xác định, hãy so sánh P và P . x Lời giải Điều kiện: x 0 . x 2 P xác định khi P 0 0 , mà x 0 nên x 20 x 4. x 1 P Xét hiệu PPPPP (1 ) . . 1 P Do P 0, 10 P 2 17 x x 22 x x 24 và 1 Px 1 0,  4. x x x suy ra PP 0 nên PP . Vậy PP . Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 16 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC b 6.1 Dựa vào x 0 để Tìm giá trị lớn nhất của P a ( b 0, c 0) xc b Tìm giá trị nhỏ nhất của Q a ( b 0, c 0) xc Bước 1. Đặt điều kiện x 0 và khử x ở tử để đưa P , Q về dạng trên. b b Bước 2. Chuyển từng bước từ x 0 sang Pa ; Qa như sau: c c Max P MinQ Có x 0  x 0 Có x 0  x 0 x c c  x 0 x c c  x 0 bb bb x 0 x 0 xc c xc c bb bb a a  x 0 x 0 xc c xc c b bb P a  x 0 . a a  x 0 c xc c b Q a  x 0. c b b Bước 3: Kết luận MaxP = a + , MinQ = a khi x 0 (thỏa mãn điều kiện) c c x 2 Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . Từ đó, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 1 2 QP 3 P 3 Lời giải Điều kiện: x 0 * Tìm MinP: xx 1 3 1 3 3 Có P 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Do x 0  x 0 x 1 1  x 0 3 3 3 xx 0 3  0 xx 111 3 1   1 3 x 0 P 2 x 0 x 1 Vậy Min P 2 khi x 0 (thỏa mãn điều kiện) * Tìm MinQ: Cách 1: (Dùng bất đẳng thức Cô Si) 21 Có QPPP 3 2 3 6 PP 33 11 Do PPPP 2 3 0 3 2  3 2 PP 33 Vì PPQ 2 6 2 6 8 4 8 4 Vậy MinQ 4 khi P 2 hay x 0 (thỏa mãn điều kiện) Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 17 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH Cách 2: (Thay P 2 được Q 4 nên ta dự đoán MinQ 4 ) 2 2 3PP 4 3 3PP2 13 14 Xét hiệu QP 4 3 4 PPPP 3 3 3 3 3PPP2 6 7 14 3PPPPP 2 7 2 2 3 7 PPP 3 3 3 Do PPPPQQ 2 20, 30, 370 40 4 Vậy MinQ 4 khi P 2 hay x 0 (thỏa mãn điều kiện) 26x Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 12 NM . M Lời giải Điều kiện: x 0. * Tìm Max M: 2x 4 222 x 2 2 Có M 2. x 2 x 2 x 2 x 2 22 Do x  0 x 0 x  2 2 x 0  x 0 x 2 2 2 2 2 1 x 0 M 3  x 0. x 2 Vậy MaxM=3 khi x 0 (thỏa mãn điều kiện). * Tìm MinN: Cách 1 (Dùng bất đẳng thức Côsi) 12 4MM 12 Có NM  MM 33 2x 6 4 M 12 4 M 12 Do 2x 6 0, x 2 0 M 0 2   8 x 2 33MM M Vì MN 3 1 8 1 7  3 Vậy MinN 7 khi M 3 hay x 0 (thỏa mãn điều kiện). Cách 2 (Thay M 3 được N 7 nên ta dự đoán MinN 7 ) 12MMMMM22 7 12 3 4 12 Xét hiệu NM 77 MMM MMMMM( 3) 4( 3) ( 3)( 4)  MM Do 0 MMMMNN 3 30,40,  0 70 7 Vậy MinN 7 khi M 3 hay x 0 (thỏa mãn điều kiện). 5 Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 3 10 BA 3 . A Lời giải Điều kiện: x 0 . *) Tìm MaxA: Có xx 00  Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 18 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH 55 xx 3 3  0 x 0 x 3 3 5 Ax  0 3 5 Vậy MaxA khi x 0 (thỏa mãn điều kiện) 3 +) Tìm MinB: Cách 1. (Dùng bất đẳng thức Cô si) 10 18AA 10 3 Có BA 3 AA 55 5 18AA 10 18 10 Do 5 0,xA 3 0 0 2 . 12 x 3 55AA 53A Vì AB 1 12 1 11. 35 5 Vậy Min B = 11 khi A hay x 0 (thỏa mãn điều kiện). 3 5 Cách 2. (Thay A được B 11 nên ta dự đoán MinB = 11) 3 10 3AAAAA22 11 10 3 5 6 10 Xét hiệu BA 11 3 11 AAA AAAAA 3 5 2 3 5 3 5 2 AA 5 Do 0 AAAABB 35,20,0 110 11. 3 5 Vậy Min B = 11 khi A hay x 0 (thỏa mãn điều kiện). 3 2 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 4 3 TS 14 . S 1 Lời giải Điều kiện: x 0 * Tìm MinS: 22 Có x 0  x x 4  x 0  x 0 x 4 4 2 1 1  x00  S x x 4 22 1 Vậy MinS khi x 0 (thỏa mãn điều kiện) 2 * Tìm MinT: Cách 1: (Dùng bất đẳng thức Côsi) 3 Có TSS 12 1 2 12 S 1 1 1 3 3 Do SSSS 1 012 1 212 1. 12 2 2SS 1 1 Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 19 GV TOÁN: NGUYỄN THẾ BÌNH 1 Vì SST 2 1 12 1 12 1 2 1 Vậy MinT 1 khi S hay x 0 (thỏa mãn điều kiện) 2 1 Cách 2: (Thay S được T 1 nên ta dự đoán MinT 1) 2 3 14SSSSS22 15414 784 Xét hiệu TS 1 14 1 SSS 1 1 1 7SSSSS 2 1 4 2 1 2 1 7 4 SS 11 1 Do SSSSTT 210,740,10 10 1 2 1 Vậy MinT 1 khi S hay x 0 (thỏa mãn điều kiện) 2 6.2. Dùng bất đẳng thức Côsi Bước 1: Khử x ở trên tử. Bước 2: Dựa vào mẫu để thêm bớt hai vế với một số thích hợp. Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Côsi a b 2 ab  a,b 0 . Dấu "" xảy ra khi ab . x x 10 Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 Lời giải Điều kiện: x0 . x 4 x 2 16 x 2 x 2 x 2 16 Có A x 2 x 2 x 2 x 2 16 x 3 (Mẫu là x2 nên x3 cần cộng thêm 5 ) x2 16 Xét A 5 x 2 . x2 16 Vì x 2 0, 0  x 0nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có x2 16 16 x2 2x2. 2168. x 2 x 2 Suy ra A 5 8 A 3 . 16 2 Vậy MinA 3khi x 2 x 2 16 x 4 (thỏa mãn) x2 x Ví dụ 2. Cho x 25 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x5 Lời giải Với thì M luôn xác định. x x 25 25 x 25 25 25 Có M x 5 . x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 25 Xét M 10 x 5 . x5 Liên hệ tài liệu word toán: 0989488557 20