Tài liệu dạy thêm Đại số Lớp 12 - Chương 1: Khảo sát hàm số và ứng dụng - Bài 2: Cực trị của hàm số

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Kiến thức cơ bản. Định nghĩa Định nghĩa: Giả sử hàm số xác định trên tập hợp và . được gọi là một điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho và . Khi đó được gọi là giá trị cực đại của hàm số . được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa điểm sao cho và . Khi đó được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số . Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lý 1: Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó, nếu có đạo hàm tại điểm thì . Chú ý: Đạo hàm có thể bằng 0 tại điểm nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm . Hàm số có thể đạt cực trị tại một số điểm mà tại đó hàm số không tồn tại đạo hàm. Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm nằm trong tập xác định của hàm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không có đạo hàm. Những điểm như thế gọi là những “điểm tới hạn”. Hàm số đạt cực trị tại và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lý 2: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm trên các khoảng và . Khi đó, Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm . Nói một cách khác, nếu đổi dấu từ âm sang dương khi x qua thì hàm số đạt cực tiểu tại . Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm . Nói một cách khác, nếu đổi dấu từ dương sang âm khi x qua thì hàm số đạt cực đại tại . Định lý 3: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp một trên khoảng chứa điểm , và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm . Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm . Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm .