Câu lạc bộ Toán học - Bài kiểm tra số

Câu lạc bộ Toán học Viện Toán học Hà Nội Bài kiểm tra số 1 Trường đông 2013 Thời gian: 180 phút. 1 (5đ.) Cho dãy số (an)n≥1 xác định bởi: a1 = 32 và an+1 = an− 3n+ 22n(n+ 1)(2n+ 1) , ∀n≥ 1. Tìm giới hạn limn→∞ an. 2 (5đ.) Cho các số thực dương a1, . . . , a14. Chứng minh rằng, a1 a2+ a3 + a2 a3+ a4 + · · ·+ a14 a1+ a2 ≥ a1 a14+ a1 + a2 a1+ a2 + · · ·+ a14 a13+ a14 . Hỏi dấu ”= ” xảy ra khi nào? 3 (5đ.) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có B,C cố định, BC không là đường kính, A thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm B và đi qua A cắt AC và (O) lần lượt tại D và E (D, E 6= A). Đường thẳng ED cắt (O) tai K. (a) Chứng minh rằng BK vuông góc với AC . (b) BK cắt AE tại F . Gọi M là giao điểm của khác D của AC với đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF . Chứng minh rằng M thuộc một đường thẳng cố định. 4 (5đ.) Một trường học có 800 học sinh. Trong trường có n câu lạc bộ cho các học sinh thỏa mãn điều kiện: i) Không có em học sinh nào tham gia nhiều hơn 7 câu lạc bộ; ii) Với 7 câu lạc bộ bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một học sinh tham gia cả 7 câu lạc bộ này. Hỏi giá trị lớn nhất của n là bao nhiêu ?