Sự phối hợp thú vị của hai bất đẳng thức bu-nhi-akop-ski và jen-sen trong giải toán

SỰ PHỐI HỢP THÚ VỊ CỦA HAI BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHI-AKOP-SKI VÀ JEN-SEN TRONG GIẢI TOÁN. ( Nguyễn Tiến Minh Giáo viên THPT Hồng Lam ) I.NHẮC LẠI HAI BẤT ĐẲNG THỨC. 1. Bất đẳng thức Bu nhiakopski: Với 2n số thực tùy ý và Ta luôn có: . (*) Dấu ‘ = ‘ xẩy ra khi và chỉ khi: 2.Bất đẳng thức Jen-sen: cho hàm số với k là số thực và x > 0. Ta có: . (**) Dấu ‘ = ‘ xẩy ra khi và chỉ khi II. ĐIỂM XUÁT PHÁT. 1.Bài toán thứ nhất : Cho 3 số dương a, b , c thõa mãn : a + b +c = Tìm GTNN của F = . Lời giải .Theo giả thiết và theo Bu nhi akopski ta có : Ta có : 1 Ta lại có theo Bu nhi akopski : Từ (1 ) và ( 2 ) ta có . 2.Các hướng tiếp cận về sự mở rộng bài toán . Bài toán mở rộngI : ‘ Cho n số dương n thõa mãn :Tìm GTNN của biểu thức F= Với m và k là các số nguyên dương cho trước’’ Bài toán mở rộngII : ‘ Cho n số dương n thõa mãn :Tìm GTNN của biểu thức F= Với m và k là các số nguyên dương cho trước’’ Bài toán mở rộng III.  : ‘ Cho n số dương n thõa mãn :Tìm GTNN của biểu thức F = Với m và k là các số nguyên dương cho trước’’ Bài toán Mở rộngIV.   : ‘ Cho n số dương n thõa mãn :Tìm GTNN của biểu thức F = Với m và k là các số nguyên dương cho trước’’ và là tổng của 2 số và và . Bài toán mở rộng V. ‘’ : ‘ Cho n số dương n thõa mãn :Tìm GTNN của biểu thức F = Với m và k là các số nguyên dương cho trước’’ và là tổng của( n-1) số trong các tập con gồm ( n-1 ) phần tử của Sau đây là sự kết hợp của hai bất đẳng thức Bunhiakopski và bất đẳng thức Jen-sen để giải bài toán mở rộng V: Ta có F = ( với . Dễ thấy n-1. Theo Bunhiakopski ta có : (1) Theo bất đẳng thức Jensen với hàm lồi y = khi m( nếu m =2 bđt sau đúng ) ta có : và hàm lồi (còn k =1 bất đẳng thức sau đúng) (2) . Từ bất đẳng thức (2)và (1) ta suy ra : Dấu ‘=’ ( i = 1,2...n). Tương tự giải như bài toán toán mở rộng V . Ở các bài toán mở rộng I ta có : ( với ) Khi đó Min F Ở các bài toán mở rộng II,III và IV ta có : ( với ) ( với ) ta sẽ có chung một kết quả là Min. Nhận xét : - Trong các bài toán mở rộng V điều kiện mlà hết sức cần thiết để đảm bảo cho hàm số ylà lồi trên ( 0 ;để sử dụng bất đẳng thức ( ** ) Như vậy còn sót trường hợp m = 1chưa xét. Tức là ta phải giải bài toán khi m = 1 Bài toán VI: «  Cho n số dương n thõa mãn :Tìm GTNN của biểu thức F = Với k là số nguyên dương cho trước’’ và là tổng của( n-1) số trong các tập con gồm ( n-1 ) phần tử của  » Bạn đọc hãydùng bất đẳng thức Bu nhi akop ski để giải bài toán VI xem như một bài tập bổ ích Và xin hẹn gặp lại !