Sáng kiến kinh nghiệm Xác định đáy và đường cao tương ứng của tam giác

Xác định đáy và đường cao tương ứng của tam giác, trên cơ sở công thức tính diện tích tam giác, đề ra 2 nguyên tắc để so sánh diện tích 2 tam giác. Phần a: Đặt vấn đề. Trong chương trình toán phổ thông nói chung, toán tiểu học nói riêng, việc tính diện tích các hình là khá quan trọng. Thế nhưng muốn tính diện tích các hình (nhất là hình đa giác) người ta thường bắt đầu từ diện tích hình đa giác. Trong số bài tập tính diện tích thì riêng tôi vẫn thích nhiều những bài toán về diện tích hình tam giác . Có nhiều bài tập rất lý thú và hấp dẫn. Do đó hầu hết trong các tài liệu toán của lớp 5 phần nhiều là các bài toán liên quan đến diện tích hình tam giác. Những bài toán về so sánh diện tích hình tam giác, so sánh độ dài đoạn thẳng. Chia các hình cho trước theo 1 tỷ lệ nhất định bởi 1 đường thẳng..rất nhiều học sinh khi giải lúng túng. Thậm chí có nhiều giáo viên đôi lúc vẫn lúng túng khi giải. Lý do là kĩ năng nhìn nhận về xác định đường cao với đáy còn non (nhất là xác định đường cao trong 1 tam giác vuông nhiều học sinh khá không nhận ra 2 cạnh góc vuông là 2 đường cao của tam giác). Khó hơn nữa là xác định đường cao trong 1 tam giác có 1 góc tù. Tôi thử nghiệm 30 học sinh trong lớp tôi dạy lúc đầu chỉ có 5 em vẽ được. Kĩ năng so sánh ở nhiều góc độ khác nhau còn nhiều hạn chế. Chẳng hạn trong 1 tam giác ABC có diện tích là S thì: 1/2 * a * ha = S và 1/2 * b * hb cũng bằng S 1/2 * c * hc cũng bằng S Nghĩa là: 1/2 * a * ha =1/2 * b * hb =1/2 * c * hc a*ha = b*hb = c*hc (ở đây a,b,c là độ dài các cạnh của 1 tam giác và ha, hb, hc, là các đường cao tương ứng với 3 cạnh đó) học sinh lớp 5 vẫn khó nhìn ra. Khó hơn nữa khi hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau thì suy ra: B A C ha hc hb (a’, b’, c’ là 3 cạnh của tam giác A’B’C’ và ha’, hb’, hc’ là 3 đường cao tương ứng với 3 cạnh đó). + a * ha = a’ * ha + b * hb = b’ * hb + c * hc = c’ * hc - Khi so sánh diện tích 2 tam giác hay 2 đoạn thẳng học sinh quen so sánh các “số đo” cụ thể, về tư duy trừu tượng còn hạn chế. Chỉ mới loay hoay xung quanh công thức tính diện tích tam giác chứ chưa biết mở rộng ra 1 tý nữa tức là dựa vào công thức tìm ra 1 số “nguyên tắc” cụ thể để tính Chẳng hạn là: Khi so sánh diện tích 2 tam giác mà có 2 A cạnh của 2 tam giác cùng nằm trên 1 đường thẳng và chung 1 điểm (ví dụ như so sánh SABC với SACD B D ở hình vẽ 1). Thì chỉ cần so sánh BC và CD là được . C Hình 1 Hay khi so sánh diện tích 2 tam giác mà có cạnh của 2 tam giác cùng nằm trên 1 đường thẳng và có 2 đỉnh cùng nằm trên một đường thẳng song song với 2 cạnh đó. Ví dụ như so sánh diện tích SABC với SMCD khi AM // BD (hình 2) hay so sánh: SABC với SBDC (hình 3) Với nhiều lí do trên và qua thực tế nhiều năm dạy hình lớp 5 ở tiểu học tôi mạnh dạn đưa ra 1 số phương pháp so sánh diện tích hình tam giác. Thông qua một hệ thống bài tạp cụ thể nhằm góp phần năng cao kiến thức về toán học cho học sinh lớp 5. Phần B: Nội dung và biện pháp cụ thể. I.Rèn luyện cho học sinh kĩ năng xác định đường cao của 1 tam giác: Qua thực tế giảng dạy tôi thấy việc xác định đường cao của 1 tam giác không phải là đơn giản đối với học sinh. Do đó các kiến thức kĩ năng cần chuẩn bị cho học sinh là: + Từ 1 điểm cho trước ngoài 1 đoạn thẳng cho trước hãy dùng thước và compa hoặc thước và eke dựng 1 đường thẳng đi qua điểm cho trước và vuông góc với đoạn thẳng cho trước trong 2 trường hợp. Hình 4 Hình 5 A H B H A B + Từ đó rèn luyện kĩ năng vẽ các đường cao trong một tam giác ở 3 trường hợp sau: A Cho học sinh nhận xét: Ba đường thẳng chứa 3 đường cao trong 1 tam giác gặp nhau tại 1 điểm (nhận xét này giáo viên có thể nêu ra cho học sinh thừa nhận để học sinh vẽ chính xác hơn) . Trong tam giác vuông hai cạnh góc vuông chính là hai đường cao của 1 tam giác. Đỉnh góc vuông chính là giao điểm của ba đường cao(hình 7) Trong 1 tam giác có 1 góc tù thì chân đường cao hạ từ đỉnh xuống thuộc góc tù sẽ nằm ngoài tam giác (hình 8) + Ra 1 số bài tập như rèn luyên cho học sinh kĩ năng xác địnhk đường cao trong 1 tam giác và so sánh đường cao tương ứng tronh hai tam giác có diện tích bằnh nhau. a,Trong hình vẽ bên AH vuông góc BC, AH là đường cao của những tam giác nào? b,Xác dịnh đường cao thuận cạnh tương ứng của các tam giác sau đây trên hình 10. Hình 9 - ABC A - OAB - OAC P E - OBC (Hình 10) Biết BE AC CP AB; AH BC và AH, CP và BE cắt nhau tại O c,Cho tứ giác ABCD là 1 hình thang (ở hình 11)(AB//CD), những tam giác nào có đường cao bằng nhau? Hình 11 d,Cho diện tích tam giác ABM bằng diện tích ACM (SABM = SACM) hình 12. Hãy xác định đường cao của 2 tam giác đó. Đường cao chung là đường cao AH, cặp đường cao bằng nhau thì CE = BE. (Hình 12) Ta dựa vào công thức tính diện tích tam giác vì từ kĩ năng xác định đường cao để rút ra cách so sánh diện tích 2 tam giác có các nguyên tắc II. Những nguyên tắc cơ bản để so sánh diện tích hai tam giác: Nguyên tắc 1: Chung đỉnh Cho tam giác ABM và tam giác ACM có 2 cạnh MB và MC cùng nằm trên 1 đường thẳng có đỉnh chung là A khi đó có đường cao AH chung, muốn so sánh diện tích tam giác ACM thì chỉ cần so sánh MB với MC: Ta có công thức: SABM / SACM = MB/MC. Nếu MB = MC thì SABM = SACM Nguyên tắc 2: Đỉnh nằm trên đường thẳng song song với đáy. a, Hình 14 cho AD//BC, cho 2 tam giác ABC và ACD có 2 cạnh nằm trên 2 đườngthẳng song song với nhau thì: SABC // SADC = BC/AD Nếu BC = AD thì SABC = SADC (Hình 14) b, Hình 15 có AE // BD muốn so sánh diện tích 2 tam giác có 2 cạnh cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường thẳng chứa 2 cạnh thì ta chỉ so sánh hai đáy (ba đoạn bằng nhau Hình 15 c, A1, A2 cùng nằm trên 1 đường thẳng a song song với đáy BC. Khi đó: SA1BC = SA2BC. Tất cả các tam giác có đáy cố định a và có 1 đỉnh cao lại nằm trên đường thẳng song song với đáy thì có diện tích bằng nhau Hình 16 + Chúng ta chỉ dựa vào công thức tính diện tích hình tam giác, nêu ra 2 nguyên tắc trên. Vận dụng được các nguyên tắc này, ta giải được rất nhiều bài toán về tính diện tích hình tam giác hấp dẫn và lí thú. III. áp dụng nguyên tắc trên để giải 1 số bài toán về diện tích: (1) Từ một bài toán cơ bản: Trong sách toán nâng cao lớp 5 trang 17 bài toán 6 có nội dung như sau: Cho hình thang ABCD hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I, hãy xác định các cặp tam giác có diện tích bằng nhau. Thêo nguyên tắc 4c ta có : SABD = SABC (1) S là kí hiệu diện tích SACD = SDBC (2) Đặc biệt là từ (1) hoặc (2) suy ra SIAD = SIBC (3) A B I Hình 17 Từ bài toán này có thể mở rộng ra và áp dụng để giải nhiều bài toán khác. Bài toán 1a: Từ 1 đỉnh của 1 tứ giác lồi ABCD hãy kẻ một đường thẳng chia tứ giác đó thành 2 phần có diện tích bằng nhau + áp dụng bài toán cơ bản đưa SABCD = SAGD Bằng cách từ B kẻ BG // AC. Diện tích SAOB = SCOG nên suy ra: SABCD = SAGD A B O Hình 18 Bài toán 1b: Từ một điểm bất kì trên cạnh BC của 1 tam giác ABC. Hãy kẻ một đường thẳng chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau (hình 19) + Nếu M trùng với B hoặc C thì đơn giản. + Nếu M trùng với điểm I trung điểm của BC cũng vậy + M khác BC và I (hình 20) áp dụng bài toán cơ bản (1) nối A với M từ I kẻ IK // MA, IA cắt MA tại D Thì SOAK = SOIM ; SAIB = SAIC Nên SAKMB = SAIB = 1/2 SABC Vậy AB là đường thẳng phải kẻ Từ bài toán 1b này ta có thể mở rộng ra bài toán sau: Từ 1 điểm M bất kì nằm trên cạnh của 1 tứ giác lồi (M không trùng với 1 điểm nào của tứ giác), hãy kẻ : một đường thẳng đi qua điểm đó và chia tứ giác đã cho thành 2 phần có diện tích bằng nhau Hình 20 + Bước 1: chuyển SABCD thành SAGD (theo bài toán) + Bước 2: Từ 1 điểm M thuộc cạnh AD của tam giác GAD kẻ 1 đường thẳng chia tam giác đó thành 2 phần có diện tích bằng nhau(bài toán ra). Trong hình vẽ 21 thì I là trung điểm của AD và đường thẳng MK là đường cần dựng. Lưu ý: Từ 1 điểm M bất kì trên cạnh của 1 đa giác lồi ta có thể biến đa giác thành 1 đa giác có đỉnh là M và có diện tích bằng diện tích đa giác lúc đầu bởi bài toán cơ bản (1) SABC = SMGC Hình 21) SABCD = SGMC (Hình 22) Học sinh nắm chắc các nguyên tắc trên thì sẽ là cơ sở cho các em học hình tốt ở cấp hai bởi các định lí : Ba đường trung tuyến trong 1 tam giác,... Phần c: Kết luận Từ cách “nhìn nhận” xác định đáy và đường cao tương ứng của tam giác. Trên cơ sở công thức tính diện tích tam giác ta đề ra 2 nguyen tắc để so sánh diện tích 1 tam giác. Từ đó vận dụng để giải các bài toán. Bài tập về phàn này thì rất phong phú trong các tài liệu tham khảo toán ở tiẻu hạc như: Một trăm bài toán về chu vi và diện tích các hình lớp 4 –5, bồi dưỡng toán 5, toán năng cao lớp 5.. + Đây là những phần có tính chất năng cao nên chỉ phù hợp khi nói, viết, phải trình bày làm sao cho phù hợpvới chương trình kiến thức lớp 5 và phù hợp nhất là những học sinh khá toán lớp 5. Không những thế mà cũng cần thiết cho học sinh khá toán lớp trên. Với khả năng mức độ, thời gian hạn hẹp, kinh nghiệm còn ít. Nhưng vì phong trào chungtôi mạnh dạn trao đổi với đồng nghiệp một vài sáng kiến nhỏ này. Rất mong sự góp ý và giúp đỡ chân thành của các đồng chí, đồng nghiệp./.