Phương trình bậc hai với nghiệm nguyên

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI NGHIỆM NGUYÊN A.Lý thuyết I. Các kiến thức liên quan: 1) Tính chất chia hết của số nguyên. 2) Tính chất của số chính phương. 3) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 4) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có 2 nghiệm x1; x2 thì : ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2). II.Các phương pháp giải phương trình bậc 2 với nghiệm nguyên: - Phương pháp đánh giá +Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ 0 để chặn khoảng giá trị của biến. +Đưa về tổng các bình phương để đánh giá - Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương. - Đổi vai trò của ẩn - Đưa về phương trình ước số. - Tham số hóa để đưa về phương trình ước số. - Rút ẩn này theo ẩn kia, rồi tách phần nguyên. - Nếu phương trình có các nghiệm đều nguyên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-ét. Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 - xy + y2 = 2x - 3y - 2 ( 1) Giải: Coi (1) là phương trình bậc 2 đối với ẩn y ta được: y2 + ( 3 - x)y + ( x2 - 2x +2 ) = 0 (2) ∆ = - 3x2 + 2x + 1 Để phương trình (2) có nghiệm thì ∆ ≥ 0 Û - 3x2 + 2x + 1 ≥ 0 Û -1/3 ≤ x ≤ 1 mà x là số nguyên suy ra x Î{0; 1} +) Với x = 0 thay vào (2) ta được y2 + 3y + 2 = 0 ta có y1 = - 1; y2 = -2 +) Với x = 1 thay vào (2) ta được y2 + 2y + 1 = 0 ta có y3 = - 1 Kết luận: Vậy các nghiệm nguyên (x;y) của phương trình là : (0; -1); (0; -2); (1; -1) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 3xy - x -y + 3 = 0 (1) Giải: Viết phương trình đã cho về phương trình bậc hai đối với ẩn x ta được x2 + ( 3y - 1)x + ( 2y2 - y + 3) = 0 (2) Có ∆ = y2 - 2y -11 Xét điều kiện cần để phương trình 2 có nghiệm nguyên : ∆ là số chính phương Û y2 - 2y -11 = k2 ( k ÎN) Û (y - 1)2 - k2 = 12 Û ( y - 1 +k)(y - 1 - k) = 12 Do y - 1 + k và y - 1 - k cùng tính chẵn lẻ và y - 1 + k > y - 1 - k nên ta có bảng sau: y - 1 + k 6 -2 y - 1 - k 2 -6 y - 1 4 -4 y 5 -3 +) Với y = 5 thay vào phương trình (2) ta được x2 + 14x + 48 = 0 ta có x1 = -8; x2 = - 6 +) Với y = - 3 thay vào phương trình (2) ta được x2 - 10x + 24 = 0 ta có x3 = 6; x4 = 4 Kết luận: Nghiệm nguyên (x;y) của phương trình là: ( -8;5); (-6;5); (6;-3); (4;-3). Ví dụ 3:Cho phương trình: ( p là tham số) Tìm các số hữu tỉ p để phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên. Giải: Phân tích: nếu ta coi là phương trình bậc 2 với ẩn x thì ∆ = -8p2-68p -131 đến đây ta chặn được p nhưng không thể tìm được p. Do đó ta cần đổi vai trò của ẩn Coi phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn p ta có: ∆’ = -2x2 + 5x -2.... Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 - 2x - 11 = y2Û (x2 - 2x -1) - y2 = 12 Û (x - 1- y)(x - 1+y) = 12.... Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x - 3y = 2xy -11Û (2x+3)y = 5x + 11 do x nguyên 2x + 3 ≠ 0 Þ y = 2+(x+5)/(2x+3) .... Ví dụ : Giải phương trình nghiệm nguyên (1) ( HSG Bắc Ninh 2012 – 2013) Coi là phương trình bậc 2 ẩn x ta được (x2)2 – x2 (y2 + 4) – 2y4 – 7y2 – 5 = 0 có D = (y2 + 4)2  - 4(– 2y4 – 7y2 – 5 ) = 9y4 + 36y2 +36 = (3y2 + 6)2 nên (1) Û.. NX: Nếu vế phải của (1) là số nguyên khác 0 ta được phương trình ước số. Ví dụ: Tìm các số nguyên dương thoả mãn (1) Nhận xét: Nếu coi phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x ta được: 2x2 – x(y + 7) – y2 + 2y – 7 = 0 Có: D= (y +7)2 – 4.2(– y2 + 2y – 7 ) = 9y2 +2y + 105 Không thuận lợi. Do đó ta coi phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn y ta được: y2 + y(x – 2) – 2x2 – 7x + 7= 0 Có: D = (x – 2)2 – 4(– 2x2 – 7x + 7) = 9x2 +24x -24 D không là một bình phương vậy xử lý thế nào? Ví dụ 6:Cho phương trình : (m – 1 )x2 - ( 2m + 1 )x + m2 – 2m + 4 = 0 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có các nghiệm đều là số nguyên . Ví dụ 6: Tìm tất cả các số tự nhiên a sao cho phương trình : x2 - a2 x + a +1 = 0 có nghiệm nguyên . ( Bắc Ninh, ngày 14/7/2001) Giải: Với a = 0 phương trình đã cho vô nghiệm suy ra a Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của PT đã cho. Theo Vi-ét ta có: Với a nếu phương trình có 1 nghiệm nguyên thì nghiệm còn lại cũng là số nguyên Trừ từng vế của (1) và (2) ta được : Vì và nên: ≥ 1 và - 10; - 10(- 1)(- 1) 00 Mà a + 1 > 0 2 - a 0a , do a 0 < a a +) Với a = 1 pt đã cho trở thành x2 - x + 2 = 0 (PT này vô nghiệm) +) Với a = 2 pt đã cho trở thành x2 - 4x + 3 = 0 PT này có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 3 nguyên. Vậy với a = 2 thì PT đã cho có nghiệm nguyên. Bài tập: Bài 1:Tìm tất cả các giá trị nguyên của a sao cho với các giá trị đó phương trình : x2 + ax + a = 0 có nghiệm nguyên . Bài 2:Cho phương trình : (m – 1 )x2 - ( 2m + 1 )x + m2 – 2m + 4 = 0 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có các nghiệm đều là số nguyên . Bài 3:Tìm tất cả các số nguyên a để phương trình: x 2 – ( 3 + 2a ) x + 40 – a = 0 có nghiệm nguyên. (Vào 10 Bắc Ninh năm học 2001 - 2002) Bài 4: Tìm x, y nguyên thoả mãn: 7x2 + 13y2 = 1820 Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 2x6 – 2x3y + y2 = 64 Chuyên ngữ Hà Nội năm 2002 Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau: a) 2xy – 4x – y = 1 b) 2xy –x – y + 1 = 0 c)6x2 + 7y2 = 229 d) 8x2 – 5y2 + 10x + 4 = 0 Bài 7: Tìm các số hữu tỉ x để x2 + x + 6 là số chính phương. Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho: 2(x +y) + xy = x2 + y2 Sư phạm Hà Nội năm học 2007 - 2008