Ôn tập tuyển sinh 10 chương II: Đường tròn

, đường cao hay các đường trung trực của một tam giác nào đó. Sử dụng định lí đảo của định lí Talet đảo mở rộng: Nhiều đường thẳng định ra trên hai đường thẳng song song những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy tại một điểm. III/ MỘT SỐ VÍ DỤ - BÀI TẬP CƠ BẢN Ví dụ 1: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ( B ,C thuộc (O)). Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OB và cắt AC tại D. 1/ Chứng minh AB // DO 2/ Chứng minh DA = DO. 3/ Nếu OA = 2R và I là giao điểm của (O) với OA. Chứng minh DI là tiếp tuyến của (O;R) Giải 1/ AB là tiếp tuyến của (O) (gt) ⇒ AB⊥OB mà DO ⊥OB (gt). Do đó AB // DO . 2/ AB // DO (cmt) ⇒ (so le trong) AB , AC là tiếp tuyến của (O) (gt) ⇒ ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ nên ∆AOD cân tại D. Vậy DA = DO. 3/ OA = 2R (gt) , OI = R nên I là trung điểm của OA suy ra ∆AOD cân tại D có DI là trung tuyến nên cũng là đường cao ⇒ DI⊥OI , I ∈ (O) .Vậy DI là tiếp tuyến tại I của (O). Ví dụ 2 : Cho (O; 6cm) và điểm A trên đường tròn. Qua A kẻ tiếp tuyến Ax , trên đó lấy điểm B sao cho AB = 8 cm. a/ Tính OB ; b/ Qua A kẻ đường vuông góc với OB , cắt đường tròn (O) ở C. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Hdg: a/ AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm A nên ABAO. Tam giác ABC vuông tại A: OB2 = OA2+ AB2 = 62+ 82 = 100 Suy ra OB = 10 cm. b/ OB là đường cao trong tam giác cân AOC nên là phân giác của góc AOC, do đó . AOB = COB (c.g.c) nên , suy ra BCOC tại C Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Ví dụ 3: Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC. Các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt là M, N, S. a/ Chứng minh AB +AC - BC = 2AM; b/ Cho AB = 4cm, BC =7cm, CA = 5 (cm).Tính độ dài các đoạn AM, BM, CS. Hdg: a/ Theo tính chất hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm, ta có: AM= AS , BM =BN , CN = CS Do đó: AB +AC - BC = (AM +BM)+(AS + SC) – (BN +NC) = AM + AM +(BM– BN)+ (SC – NC ) = 2AM Vậy AB +AC - BC = 2AM b/ Theo câu a, ta có: 2AM = AB +AC - BC = 4 + 5 – 7 = 2 AM =1 cm BM = AB – AM = 4 – 1 = 3 (cm). CS = AC – AS = AC – AM = 5 – 1 = 4 (cm) Ví dụ 4: Cho nửa đường tròn (O;R) , đường kính AB. Hai tiếp tuyến Ax , By trên cùng một nữa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn . Trên cung AB lấy điểm M , tiếp tuyến tại M cắt Ax, By, lần lượt ở C, D. Chứng minh: 1/ AC // BD. ; 2/ OC ⊥OD ( ). 3/ CD = AC + BD. ; 4/ Vẽ OC cắt AM tại H, OD cắt MB tại K . Tứ giác OHMK là hình gì ? Vì sao? 5*/ Gọi N là giao điểm của AD và BC .Chứng minh AC // MN 6/ Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn. 7*/ Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác COD . Giải 1/ Ax, By là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt) ⇒ Ax ⊥AB , By ⊥AB ⇒ Ax // By. Vậy AC // BD. 2/ Do Ax, By , CD là các tiếp tuyến cắt nhau tại C, D nên : CA = CM ; OC là tia phân giác của góc AOM. DB = DM ; OD là tia phân giác của góc BOM. Mà góc AOM và góc BOM kề bù nhau Suy ra = 900 hay OC⊥OD. 3/ Do CA = CM ; DB = DM (cmt) nên CA + DB = CM + DM .Vậy CD = AC + BD. 4/ Do CA = CM ; DB = DM (cmt) và OA =OM = OB = R nên OC , OD lần lượt là đường trung trực của AM và MB ⇒ (t/c đưởng trung trực) đồng thời = 900( cmt) Vậy tứ giác OHMK là hình chữ nhật (3 góc vuông). {Chú ý thêm : OHMK là hình vuông ⇒ M là điểm chính giữa cung AB} 5/ Do AC//BD (cmt) nên ∆ACN ∆DBN (hệ quả Talet) ⇒ (đ/n ∆ ) Mà AC = CM , BD = DM (cmt) . Do đó : ⇒ AC // MN (định lí Talet đảo). 6/ Xét ∆CDO vuông tại O () đường cao OM = R (CD là tiếp tuyến tại M): Theo hệ thức giữa đường cao và hình chiếu : OM2 = CM.MD = AC.BD = R2 (vì AC = CM , BD = DM) Vậy tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn. 7/ Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆COD . Do tam giác COD vuông tại O nên O’ là trung điểm cạnh huyền CD. Do AB là đường kính đương tròn (O) nên O là trung điểm AB Vì thế OO’ là đường trung bình của hình thang ACDB (AC//DB) ⇒ OO’ // AC , mà AC⊥AB (t/c tiếp tuyến) suy ra OO’⊥AB tại O.Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác COD . Ví dụ 5: Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC). Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E (D khác B, E khác C). Vẽ AF vuông góc BC tại F .Đường thẳng vuông góc với DE tại D cắt đường tròn (O) ở K (khác D) Chứng minh: 1/ Ba đường thẳng AF, BE, CD đồng quy. ; 2/ Ba điểm E, O, K thẳng hàng. Giải 1/ Xét (O): (gnt chắn nửa đường tròn) ⇒AB⊥CD Hay CD là đường cao của ∆ABC (gnt chắn nửa đường tròn) ⇒AC⊥BE Suy ra BE là đường cao của ∆ABC Do đó ba đường cao CD, BE, AF của ∆ABC đồng quy tại H (trực tâm) 2/ Xét (O): Góc EDK là góc nội tiếp mà (DE⊥DK) ⇒ EK là đường kính của đường tròn (O).Vậy E, O, K thẳng hàng. Ví dụ 6: Cho đường tròn (O;R), A là điểm thuộc đường tròn (O), vẽ đường tròn tâm I đường kính OA. Dây AB của (O) cắt (I) ở C (C khác A) . 1/ Hãy xác định vị trí của hai đường tròn (O) và (I). 2/ Chứng minh rằng AC = BC. 3/ Cho biết AB = R.Tính số đo góc AOB và tính diện tích tam giác AOB theo R Giải 1/ Ta có OI = OA – IA hay d = R – r . Vậy đường tròn (O) và đường tròn (I) tiếp xúc trong. 2/ Xét (I): (gnt chắn nửa đường tròn) ⇒AB⊥OC ⇒ AC = BC ( định lí đường kính vuông góc dây) 3/ Ta có AC = BC = AB = Xét ∆AOC vuông tại C : sinAOC = = sin 600 ⇒ OC = OA. cosAOC = R.cos 600 = .R. Bên cạnh ∆AOB cân tại O (vì OA = OB =R) có OC là đường cao nên cũng là phân giác góc AOB ⇒ Vậy diện tích tam giác OAB : SOAB = AB. OC = . R. R = (đvdt). IV/ BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) đường kính AB cắt BC ở D (D khác B).Vẽ AH ⊥OC tại H, AH cắt (O) ở E (E khác A). Chứng minh rằng: a/ OC // BE ; b/ CE là tiếp tuyến của đường tròn (O). Cho đường tròn tâm O đường kính AB.Đường thẳng xy tiếp xúc (O) tại A. Điểm K thuộc (O) và khác A,B. Tiếp tuyến tại K của (O) cắt xy tại M. BK kéo dài cắt xy tại C a/ Chứng minh: BC//OM. b/ Chứng minh M là trung điểm của BC. c/ Vẽ KH vuông góc với AB tại H và KH cắt BM tại I.Chứng minh :I là trung điểm của KH. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Trên đoạn OB lấy điểm C, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC. Gọi M là trung điểm đoạn AC , vẽ dây DE vuông góc với AB tại M. Gọi K là giao điểm của BD và đường tròn (O’) (K khác B). Chứng minh rằng: a/ AD // CK. ; b/ ADCE là hình thoi. ; c/ E, C, K thẳng hàng. ; d/ MK là tiếp tuyến của đường tròn (O’) Cho đường tròn (O;R) , đường kính AB. Gọi M là một điểm tùy ý trên đường tròn, xy là tiếp tuyến của đường tròn tại A .Qua M kẻ MP vuông góc AB ,MQ vuông góc xy. a/ Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao? b/ Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh OI vuông góc AM ; c/ Khi điểm M di chuyển trên đường tròn (O) thì điểm I chuyển động trên đường nào? Vì sao? Cho đường tròn (O; 5cm) , đường kính AB, tiếp tuyến Bx. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho , tia AC cắt Bx ở E. a/Chứng minh BC2 =AC.CE ; b/ Tính độ dài đoạn BE. Cho đường tròn (O;R) , đường kính AB. M là một điểm nằm giữa O và B.Đường thẳng kẻ qua trung điểm E của AM vuông góc với AB cắt đường tròn (O) ở C và D. a/ Tứ giác ACMD là hình gì? Vì sao? b/ Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt tia AO ở I. Chứng minh ID là tiếp tuyến của (O). Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N. a/ Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân. b/ Hạ OI vuông góc với MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O). c/ Chứng minh AM.BN = R2 d/ Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất. Vẽ hình minh hoạ. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Trên Ax lấy điểm P, trên By lấy điểm Q sao cho .Gọi P’ là giao điểm của các tia đối của các tia OP, By. a/ Tam giác QPP’ là tam giác gì ? Vì sao ? b/ Chứng minh PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O;OA). Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O ;R) (OA> 2R) . Vẽ AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm).Vẽ dây cung BD của đường tròn (O), BD // AC. Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D). F là giao điểm của AC và BE. Chứng minh: a/ OA ⊥BC và AB2 = AD. AE ; b/ BE.CD = BD.CE c*/ F là trung điểm của đoạn thẳng AC. Cho hai đường tròn (O ;R) và (O’ ;r) (R > r) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B∈(O), C∈(O’)). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC tại M. a/ Chứng minh rằng  = 900. ; b/ Chứng minh rằng M thuộc đường tròn đường kính OO’. c/ Tính BC theo R, r. ; d*/ Gọi D là giao điểm của CA và đường tròn (O). Tính AB, AC theo R, r. ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH VĨNH LONG NĂM HỌC : 2009 – 2010 ------------------ Bài 5 (4 đ) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm tùy ý trên nửa đường tròn không trùng với A, B .Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax và By lần lượt tại C và D. a/ Chứng minh tứ giác OACM là tứ giác nội tiếp. b/ Chứng minh CD = AC + BD. c/ OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F . Chứng minh FE = R. d/ Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác COD. ----------- Hết ---------- ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TỈNH VĨNH LONG NĂM HỌC : 2010 – 2011 Bài 6 (2 đ) Cho đường tròn (O) bán kính R = 3 và A là điểm nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 5. Kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). a/ Chứng minh OA⊥BC. b/ Đường thẳng CO cắt (O) tại D. Chứng minh BD // AO. c/ Tính chu vi tam giác ABC. ---------- Hết --------- ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TỈNH VĨNH LONG NĂM HỌC : 2011 – 2012 ------------------ Bài 6 (2 đ) Cho đường tròn (O) bán kính OA = R và dây CD là đường trung trực của OA. a/ Chứng minh OCAD là hình thoi. Tính . b/ Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C cắt đường thẳng OA tại I . Tính CI theo R. ---------- Hết ---------