Một số bài toán về tam thức bậc 2

Một số bài toán về tam thức bậc 2 Bài 1:(THTT số 5-1999 trang 10) Giả sử a; b ; c là các số thực thoả mãn đk | a(b-c) | > | b2 - ac | + | c2 - ab | và phương trình bậc 2 : ax2 + bx + c = 0 có nghiệm thực . Chứng minh rằng : 3 > (x1 + 1)2 + (x2 + 1)2 + (x1x2 + 1)2 (x1 và x2 là nghiệm của phương trình bậc 2 đã cho) Giải: do aạ0 do đó a2ạ0 ta có: Bài 2: Tìm m sao cho luôn có x <0 thoả mãn hệ thức: x(1-x2)2 1 – x3 1+x3 m = : ( + x )( - x) 1+x2 1-x 1+x Giải: x(1-x2)2 1 +x – x3 -x2 1 –x –x2+ x3 m = : x 1+x2 1-x 1+x x(1-x2)2 (1 + x)(1 -x2) (1 –x)( 1 –x2) m = : x 1+x2 1-x 1+x x m = Hay mx2 - x + m = 0 1+x2 Vậy ta cần tìm m để phương trình trên luôn có nghiệm âm. Trường hợp m = 0 => x = 0 ( không thoả mãn) Trường hợp m ≠ 0 phương trình đã cho trở thành phương trình bậc 2. Để phương trình có nghiệm thì D = 1 - 4m2 ³ 0 ú 1 ³ 4m2 ú 1/4 ³ m2 ú 1/2 ³ m (*) Khi D ³ 0 áp dụng định lý vi ét ta thấy x1x2 = 1 > 0 vậy nếu phương trình có nghiệm < 0 thì cả 2 nghiệm âm (kể cả trường hợp nghiệm kép) => x1 = x2 = 1/m < 0 ú m < 0 (**) Kết hợp (*) và (**) ta có m Ê 1/2 Kết hợp ĐK x ạ -1 ta có m + 1 + m ạ 0 hay m ạ -1/2 Vậy điều kiện m thoả mãn bài ra là -1/2 < m < 0 x + 1 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: y = x2 + x + 1 Giải : TXĐ : với mọi x thuộc R Phương trình đã cho trở thành: yx2 + yx + y = x + 1 yx2 + (y-1)x + y -1 = 0 để biểu thức đã cho có cực trị thì phương trình phải có nghiệm. Nếu y = 0, PT đã cho trở thành : - x - 1 = 0 ú x = -1 vậy PT có nghiệm (-1;0) Nếu Y ạ 0 PT trở thành phương trình bậc 2 ẩn số x , để PT có nghiệm thì: D = (y - 1)2 - 4y(y-1) ³ 0 ú (y-1)( y -1 -4y) ³ 0 ú (y - 1)(-1 - 3y) ³ 0 vậy -1/3 Ê y Ê 1 ( Ngoài đồng, trong khác) => Max y = 1 , đạt được khi D = 0 => x1 = x2 = -b/a = (1-y)/y = 0 (hoặc thay y = 1 vào ta có x2 = 0 hay x= 0 ) Miny = -1/3 đạt đươc khi D = 0 => x1 = x2 = -b/a = (1-y)/y = 0 Bài 5: Tương tự bài 3: Tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các số thực a, b, c thoả mãn hệ PT a2 +b2 +c2 =2 ab + bc + ca = 1 Hướng dẫn giải: Từ đẳng thức (a+b+c)2 = a2 +b2 +c2 + 2(ab + bc + ca) ta có Hoặc : Hoặc a +b +c =2 a +b +c = - 2 ab + bc + ca = 1 ab + bc + ca = 1 Giải như bài 3.