Một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Ax = với x > 0. Lời giải:Ta có Ax = = 8x + . Ta thấy 8x và là hai đại lượng lấy giá trị dương áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương là 8x và ta có: 8x + dấu = xẩy ra khi 8x = = > x = .Vậy GTNN Ax = 8 với x = . . Các bài tập áp dụng : Bài 1: Cho biểu thức : Q = . Tìm GTLN của Q. Bài 2: Biểu thức : P = có giá trị lớn nhất không ? Hãy chứng tỏ khẳng định của mình. Bài 3: Cho biểu thức : A = . Với x -1 , x >0 .Hãy tìm GTNN của A. Bài 4: Cho biểu thức : B= . Tìm GTLN của B. Bài 5: Cho biểu thức: F = . Với x >0. Hãy tìm GTNN của F. Bài 6: Cho biểu thức: A = . Hãy tìm GTLN của A. Bài 7: Cho biểu thức: Y = . Với x > 0 . Hãy tìm GTNN của Y. Bài 8: Cho biểu thức: Y = . Tìm GTNN cua Y. Hướng dẫn giải và đáp số : Bài 1:Ta có : Q = . Vậy GTLN của Q = , với x= 0,5. Bài 2: Ta có P = 1 - . Vì 0 với mọi x nên P 1. Vậy GTLN của P= 1 khi x=1. Bài 3:Ta có : A= 1 - . Để A đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt GTLN muốn vậy x+ + 2 phải đạt GTNN. Mà x> 0 nên > 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x và ta có : x + = 2 .Dấu = xẩy ra khi x = => x= 1; x = -1 (Loại ). Vậy GTNN của A = 1 - , với x= 1. Bài 4: Ta có : B= = 1+ . Ta thấy B có GTLN thì phải đạt giá trị lớn nhất , và do đó (x-3)2 + 3 phải đạt giá trị nhỏ nhất . Ta có (x- 3)2 + 3 3 với mọi x . Vậy GTLN của B = , với x = 3. Bài 5: Ta có F = . Với x >0 chia tử cho mẫu ta có F = vì x > 0 Nên > 0; > 0 . áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : + =; Dấu = xẩy ra khi x = 4. Vậy GTNN của F = 5 + = ; với x = 4. Bài 6: Ta có : A = với x 0 thì A = . A đạt GTLN khi + x2 nhỏ nhất , ta thấy x2 và là hai số dương nên theo bất đẳng thức Côsi ta có: x2 + = 2 . Dấu = xẩy ra khi x4 = 1 => x= 1; x = -1. Vậy GTLN của A = , với x= 1; x = -1. Bài 7: Ta có : Y = . Với x > 0 Y = x + + 10 + 10 = 18 ( Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x và ). Dấu = xẩy ra khi x = 4. Vậy GTNN của Y = 18; với x = 4 . Bài 8: Ta có : Y = ( với x 1) Y = ( x + )2 - . Dấu = xẩy ra khi x = - . Vậy GTNN của Y = -; với x = - .