Lý thuyết khảo sát hàm số

đường thẳng d có dạng: 2 4 (0; 4)( ) 0 ( , ) ( , ) 3 2 8 (3;5)2 c c N l x y c d A d d N AB c N  + = − + + = ⇒ = ⇔ = ⇔ ⇒ = −   Với (3;5)N giả sử 0 0 ( ; )M x y . Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là: 0 0 0 '( )( )y y x x x y= − + Do tiếp tuyến đi qua N nên ta có: 2 3 2 0 0 0 0 0 0 5 (6 18 12)(3 ) 2 9 12 4x x x x x x= − + − + − + − 0 2 0 0 0 3( , ) ( 3) (4 3) 0 3 4 x loai vi N M x x x  = ≠ ⇔ − − = ⇔  = Vậy, 3 25 ; 4 32 M       GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 117 TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2009 HT 186. (ĐH A – 2009) Cho hàm số 2 (1) 2 3 x y x + = + . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. Giải Ta có, OAB∆ vuông cân tại O suy ra hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1± Gọi tọa độ tiếp điểm là ( ; ) o o M x y , ta có: 0 2 0 21 1 1(2 3) o x xx  = −− = ± ⇔  = −+  TH1: Với 0 0 1, 1x y= − = Phương trình tiếp tuyến y x=− (loại vì đi qua gốc tọa độ O nên không tồn tại OAB∆ ) TH2: 0 0 2; 0x y= − = Phương trình tiếp tuyến 2( / )y x t m=− − KL: 2y x=− − HT 187. (ĐH B – 2009) Cho hàm số: 4 22 4 (1)y x x= − .Với giá trị nào của ,m phương trình 2 2 2x x m− = có đúng 6 nghiệm thực phân biệt. Đ/s: 0 1m< < HT 188. (ĐH D – 2009) Cho hàm số 4 2(3 2) 3y x m x m= − + + có đồ thị là ( ) m C với m là tham số. Tìm m để đường thẳng 1y =− cắt đồ thị ( ) m C tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. Giải Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) m C và đường thẳng 4 21; (3 2) 3 1y x m x m=− − + + =− Đặt 2, 0t x t= ≥ Phương trình trở thành: 2 (3 2) 3 1 0t m t m− + + + = 1t⇔ = hoặc 3 1t m= + Yêu cầu bài toán tương đương với: 0 3 1 4 3 1 1 m m  < + <   + ≠ 1 1, 0 3 m m⇔− < < ≠ HT 189. (ĐH A – 2010) Cho hàm số 3 22 (1 ) (1),y x x m x m= − + − + với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3 , ,x x x thỏa mãn điều kiện: GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 118 2 2 2 1 2 3 4x x x+ + < Giải Phương trình hoành độ giao điểm: 3 22 (1 ) 0x x m x m− + − + = 2 2 1 ( 1)( ) 0 0(*) x x x x m x x m  =⇔ − − − = ⇔  − − = Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt, khác 1. Kí hiệu, 2 1 2 ( ) ; 1;g x x x m x x= − − = và 3 x là các nghiệm của (*). Yêu cầu bài toán khi và chỉ khi: 2 2 2 3 0 (1) 0 3 g x x ∆ > ≠  + < 1 4 0 1 0 1 4 1 2 3 m m m m  + >⇔ − ≠ ⇔ − < <  + < và 0m ≠ HT 190. (ĐH B – 2010) Cho hàm số 2 1 ( ) 1 x y C x + = + . Tìm m để đường thẳng 2y x m=− + cắt đồ thị ( )C tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ). Giải Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 2 1 x x m x + = − + + 2 1 ( 1)( 2 )x x x m⇔ + = + − + (do 1x =− không là nghiệm của phương trình) 22 (4 ) 1 0 (1)x m x m⇔ + − + − = 2 8 0m∆ = + > với mọi ,m suy ra đường thẳng 2y x m=− + luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m Gọi 1 2 2 2 ( ; ), ( ; )A x y B x y trong đó 1 2,x x là các nghiệm của (1): 1 12y x m= − + và 2 22y x m=− + Ta có: ( , ) 5 O AB m d = và 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5( 8) ( ) ( ) 5( ) 20 2 m AB x x y y x x x x + = − + − = + − = 2 ( , ) 81 . 2 4OAB O AB m m S ABd ∆ + = = , suy ra: 2 8 3 2 4 m m m + = ⇔ = ± HT 191. (D – 2010) Cho hàm số 4 2 6 ( )y x x C=− − + . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1 6 y x= − Đ/s: 6 10y x=− + GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 119 HT 192. (A – 2011) Cho hàm số 1 ( ) 2 1 x y C x − + = − . Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y x m= + luôn cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi 1 2 ,k k lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với ( )C tại A và B. Tìm m để tổng 1 2k k+ đạt giá trị lớn nhất. Giải Hoành độ giao điểm của :d y x m= + và (C) là nghiệm của phương trình: 1 2 1 x x m x − + + = − ( )(2 1) 1x m x x⇔ + − =− + (vì 1 2 x = không là nghiệm của phương trình) 22 2 1 0 (*)x mx m⇔ + − − = 2' 2 2 0, .m m m∆ = + + > ∀ Suy ra d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m Gọi 1 2 ,x x là các nghiệm của (*), ta có: 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4( ) 8 4( ) 21 1 (2 1) (2 1) 4 2( ) 1 x x x x x x k k x x x x x x + − − + + + =− − = − − −  − + +   Theo định lý Viet, suy ra: 2 2 1 2 4 8 6 4( 1) 2 2k k m m m+ = − − − = − + − ≤− Suy ra: 1 2 k k+ lớn nhất bằng 2− , khi và chỉ khi 1.m =− HT 193. (B – 2011) Cho hàm số 4 22( 1) (1)y x m x m= − + + (với m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. Giải 3 2 ( ) ' 4 4( 1) 4 ( 1) x y x m x x x m= − + = − − ( ) 2 0 ' 0 1 (1)x x y x m  == ⇔  = +  Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 1 (*)m⇔ >− Khi đó: ( ) ( )2 2(0; ), 1; 1 , 1; 1A m B m m m C m m m− + − − − + − − − Suy ra: 2 24( 1) 4 4 0OA BC m m m m= ⇔ = + ⇔ − − = 2 2 2m⇔ = ± (thỏa mãn (*)). Vậy giá trị cần tìm: 2 2 2m = ± HT 194. (D – 2011) Cho hàm số 2 1 ( ) 1 x y C x + = + . Tìm k để đường thẳng 2 1y kx k= + + cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. Giải Gọi : 2 1,d y kx k= + + suy ra hoành độ giao điểm của d với (C) là nghiệm của phương trình: 2 1 2 1 2 1 ( 1)( 2 1) 1 x kx k x x kx k x + + + = ⇔ + = + + + + (do 1x =− không là nghiệm) 2 (3 1) 2 0 (1).kx k x k⇔ + − + = GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 120 d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt Khi đó, và , là nghiệm của (1). (do ) Áp dụng định lý Viet đối với (1), suy ra: (thỏa mãn (*)) Vậy giá trị cần tìm: HT 195. (A,A1 – 2012) Cho hàm số 4 2 22( 1) (1)y x m x m= − + + , với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông. Giải Ta có: 3 2' 4 4( 1) 4 ( 1)y x m x x x m= − + = − − Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi 1 0 1 (*)m m+ > ⇔ >− Các điểm cực trị của đồ thị hàm số ( ) ( )2(0; ), 1; 2 1 , 1; 2 1A m B m m C m m− + − − + − − Suy ra: ( )21; ( 1)AB m m= − + − +


 và ( )21; ( 1)AC m m= + − +


 Ta có: AB AC= nên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi: . 0ABAC =





 4( 1) ( 1) 0.m m⇔ + − + = Kết hợp (*), ta được 0m = Đ/s: 0m = HT 196. (B – 2012) Cho hàm số 3 2 33 3 (1),y x mx m= − + m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. Giải Ta có: 2' 3 6 ; ' 0 0 2y x mx y x x m= − = ⇔ = ∨ = Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi 0m ≠ Các điểm cực trị của đồ thị hàm số: ( ) ( )3 30;3 ; 2 ;A m B m m− Suy ra: 33OA m= và ( , ) 2BOAd m= 448 3 48 2( / (*)) OAB S m m t m ∆ = ⇔ = ⇔ = ± Đ/s: 2m = ± HT 197. (D – 2012) Cho hàm số 3 2 2 2 2 2(3 1) (1), 3 3 y x mx m x m= − − − + là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị 1 2;x x sao cho: 1 2 1 22( ) 1.x x x x+ + = Giải Ta có: 2 2' 2 2 2(3 1)y x mx m= − − − , ,A B 2 0 00 3 2 2 0 (*)6 1 0 3 2 2 k kk k k k k  ≠   ≠ ≠   − + >      > + 1 1 ( ; 2 1)A x kx k+ + 2 2 ( ; 2 1)B x kx k+ + 1 2 ,x x ( , ) ( , ) 1 2 2 1 2 1 AOx B Ox d d kx k kx k= ⇔ + + = + + 1 2 ( ) 4 2 0k x x k⇔ + + + = 1 2 x x≠ (1 3 ) 4 2 0 3k k k− + + = ⇔ = − 3k = − GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 121 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình ' 0y = có hai nghiệm phân biệt 2 2 13 2 1313 4 0 13 13 m m m⇔ − > ⇔ > ∨ <− Ta có: 1 2 x x m+ = và 2 1 2 1 3 ;x x m= − Do đó, 21 2 1 22( ) 1 1 3 2 1x x x x m m+ + = ⇔ − + = 2 0 3 m m⇔ = ∨ = So sánh điều kiện (*) ta được: 2 3 m = Đ/s: 2 3 m = HT 198. (A,A1 – 2013) Cho hàm số 3 23 3 1 (1)y x x mx=− + + − , với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; )+∞ Giải Ta có: 2' 3 6 3y x x m= − + + Hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; )+∞ khi và chỉ khi ' 0, 0y x≤ ∀ > 2 2 , 0m x x x⇔ ≤ − ∀ > Xét: 2( ) 2f x x x= − với 0x > . Ta có: '( ) 2 2; '( ) 0 1f x x f x x= − = ⇔ = Lập bảng biến thiên (nhớ lập nhé) ta được giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán: 1m ≤− Đ/s: 1m ≤− HT 199. (B – 2013) Cho hàm số 3 22 3( 1) 6 (1),y x m x mx= − + + với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng 2.y x= + Giải Ta có: 2' 6 6( 1) 6 ; ' 0 1y x m x m y x x m= − + + = ⇔ = ∨ = Điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là 1m ≠ Ta có: 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số khi đó 3 2(1;3 1); ( ; 3 ).A m B m m m− − + Hệ số góc của đường thẳng AB là 2( 1)k m= − − Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng 2y x= + khi và chỉ khi 1k =− 0 2m m⇔ = ∨ = . Vậy giá trị m cần tìm 0; 2m m= = HT 200. (D – 2013) Cho hàm số 3 22 3 ( 1) 1 (1),y x mx m x= − + − + với m là tham số thực. Tìm m để đường thẳng 1y x=− + cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt. Giải Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đường thẳng 1y x=− + là: 3 22 3 ( 1) 1 1x mx m x x− + − + = − + 2 0 2 3 0 (*) x x mx m  =⇔  − + = Yêu cầu của bài toán ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0. GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 122 2 09 8 0 8 0 9 m m m m m   ⇔ ⇔  ≠ >   Đ/s: 80; 9 m m UPDATING