Kinh nghiệm giảng dạy chuyên ñềtiếp tuyến của ñường cong y = f(x) và bài toán liên quan

: y = 1 2 3 x − ⇒ f’(x0). 1 13 = − ⇔ f’(x0) = -3 20 11 3( 2)x⇔ − = − ⇔+ 0 0 2 0 0 0 3 3 3 31 2 2( 2) 5 7 3x-114 2 2 x y y x x y x y   = − =  = − − + = ⇔ ⇔ ⇒   = −  = − = −    *) Cách 2: Gọi )(∆ là ñường thẳng cần tìm, vì ( ∆ ) vuông góc với ñường thẳng (d) nên phương trình ñường thẳng ( )∆ có dạng: y = 3− x+b. Đường thẳng )(∆ là tiếp tuyến của (C) khi 2 1 31 3 3 32 2 1 7 3 111 3( 2) 2 x x b b y xx y xb x  + + = − + =  = − −+ ⇔ ⇒  = − − − = − = − +  b) (d1): 3 394) 3 63(2 −+−−−= xy (d2): 312 36) 3 36(2 − + + + +−= xy Bài 10. Cho hàm số y = 2 2 x+mx m x m − + (C). a. Chứng minh rằng nếu ñồ thị (C) cắt Ox tại x = x0 thì hệ số góc của tiếp tuyến tại ñó là k = 0 0 2x 2m x m − + . b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể ñồ thị hàm số cắt Ox tại hai ñiểm và hai tiếp tuyến tại hai ñiểm ñó vuông góc với nhau. Gi¶i a, Ta có y = x – 3m + mx mm + +23 . Để (Cm) có tiếp tuyến - Trang 17 - )1( 3 1 0 03 2     −≠ ≠ ⇔≠+⇔ m m mm Khi ñó: y’=1- )2()( 22 )( 31)()( 3 2 0 2 0 2 0 2 0 2 02 2 mx mmmxx mx mm xk mx mm + −−+ = + + −=⇒ + + Nếu y(x0) =0 2 0 0 0 2 x +m 0x m x m − ⇔ = + 2 2 0 0 0 0 0 0 2 x 0 2 x 0 0 x m m x m m x m x m  − + = = +  ⇔ ⇔  + ≠ + ≠   (3) Từ (2), (3) mx mx mx mx mx mmmxmmxk + − = + − = + −−+− =⇒ 0 0 2 0 22 0 2 0 2 00 22 )( 22 )( 222 b, Theo yêu cầu bài ta có    ≠+ =+− 03 )1(02 2 2 mm mmxx có hai nghiệm phân biệt       −≠    < > ⇔ 3 1 0 1 m m m gọi A(x1 ;y(x1)), B(x2 ;y(x2)) là hai giao ñiểm 1)(')(')(2)(';)(2)(' 21 2 2 2 1 1 1 −=⇒+ − = + − =⇒ xyxy mx mx xy mx mx xy 05)(351))(( ))((4 2 2121 21 21 =++−⇔−= ++ −− ⇔ mxxmxx mxmx mxmx .(*) Vì x1; x2 là nghiệm của phương trình (1)    = = ⇔⇒    = =+ ⇔ 5 0(*)2 21 21 m m mxx mxx so sánh với ñiều kiện m=5 3. Viết phương trình tiếp tuyến qua A(xA;yA). Phương pháp chung : *) C¸ch 1: Gi¶ sö hoµnh ®é tiÕp ®iÓm lµ x 0 khi ®ã ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm M cã d¹ng y=f(x 0 )(x-x 0 )+y 0 .(d) Nếu ñồ thị hàm số y = f(x) = )( )( xv xu cắt trục hoành tại ñiểm x =x0 thì hệ số góc của tiếp tuyến tại ñiểm x0 là k = )( )(' 0 0 xv xu - Trang 18 - T×m x 0 ; y 0 : V× A n»m trªn ®−êng th¼ng (d) ta cã y A =f(x 0 )(x A -x 0 )+y 0 *) C¸ch 2: +) Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) qua A víi hÖ sè gãc k cã d¹ng y = k(x-x A )+y A +) T×m k: §Ó (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®−êng cong (C) khi    = =+− kxf xfyxxk AA )(' )()( cã nghiÖm. Bài 11(Đ61). Cho hàm số y = x3-3x2+2. Lập phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến ñó qua A( )2; 9 23 − . Giải Cách 1. Gọi M(x0 ;y0) là ñiểm nằm trên ñồ thị, phương trình tiếp tuyến tại ñiểm M có dạng : y=f (x 0 )(x-x 0 )+y 0 ⇔ y = (3x 20 - 6x0)(x – x0) + x 3 0 - 3x 2 0 + 2 (d) Vì A nằm trên (d), ta có -2 = (3x 20 - 6x0)( 239 – x0) + x 3 0 - 3x 2 0 + 2 ⇔ (x 0 – 2)(3x 20 - 10x0 + 3) = 0⇔ 0 0 0 0 0 0 3 2 2 2 1 8 3 3 x y x y x y    = =   = ⇔ = −    = =    Với x0 = 3 ⇒ f’(x0) = 9 ⇒Phương trình tiếp tuyến y = 9x-25 Với x0 = -2 ⇒ f’(x0) = 0 ⇒Phương trình tiếp tuyến y = -2. Với x0 = 1 3 ⇒ f’(x0) = 53− ⇒Phương trình tiếp tuyến y = 5 61 3 27 x− + . Cách 2. Phương trình ñường thẳng (d) qua ñiểm A với hệ số góc k có dạng y = k(x-xA)+yA. Để (d) là tiếp tuyến của ñường cong khi                      +−= −= −= ⇒ −= = = ⇒ = = = ⇒     =− −−=+− 27 61 3 5 259 2 3 5 9 0 3 1 3 2 63 2) 3 2(23 2 23 xy xy y k k k x x x kxx xkxx *) Chú ý:Cho hàm số )0( 2 ≠ + ++ = bd edx cbxaxy ñiều kiện ñể ñường thẳng - Trang 19 - Bài 12 : Cho y = x+2+ 1 1 +x a, Lập phương trình tiếp tuyến qua A(0;1- 3 ) b, Chứng minh rằng qua A có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Giải. a, Phương trình tiếp tuyến qua A có dạng y=kx+1- 3 (d). Để (d) là tiếp tuyến của (C) khi : 2 2 1 12 1 3 2 ( 1) 1 3 1 1 1 11 1( 1) ( 1) x kx x k x k x x k k x x   + + = + − + + = + − + − + +  ⇔    − = − = + +   2 2 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 3 31 1 (*)( 1) 4 k k x x k kk k x   − − = =   + +⇔ ⇔  − +  − = − = +  (*) 2 2(2 3) 1 0k k⇔ + − − = 1 2 3 2 2 2 3 ( 3 2 2 2 3 ) 1 3 3 2 2 2 3 ( 3 2 2 2 3 ) 1 3 k y x k y x   = − − − = − − − + −  ⇔ ⇒   = − + − = − − − + − (d): y=kx+m là tiếp tuyến của ñường cong (C). Viết lại (C): y= edx x + ++ γβα . Điều kiện ñể (d) là tiếp tuyến của (C) khi       = + − += + ++ )2()( )1( 2 kedx d mkx edx x γ α γβα Viết (1) dưới dạng ( )k kex dx e m dx e d d γ α β+ + = + − + + (3) Thay (2) vào (3) (lưu ý chỉ thay ))( edx d k + , ñược )4()( 2 11 )()( 1 2 βαγ γ α γβα −++−= + ⇒+−      + −+= + ++ m d e d ke edx m d ke edx d edx dedx x Thay (4) vào (2) ta ñược f(k)=Ak2+Bk+C=0 (5) Khi ñó theo yêu cầu cụ thể của bài ñưa về giải hoặc biện luận ñiều kiện cho của phương trình. - Trang 20 - b, Vì hệ số góc của hai tiếp tuyến là nghiệm của phương trình (*) ⇒k1.k2=-1 . Bài 13: Cho y = x mmxx +−2 a, Khi m=1. Lập phương trình tiếp tuyến của ñồ thị qua M(2;-1). Chứng minh rằng các tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau. b, Xác ñịnh m ñể từ M có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Giải a, Phương trình ñường thẳng ñi qua M có dạng y=k(x-2)-1 (d). Để ñường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi      =− −−=+− k x kkx x x 2 11 1211       −− + + = −− − − = ⇒       + + = − − = ⇒       −− = +− = ⇒ 1)2( 53 51 1)2( 53 51 53 51 53 51 2 51 2 51 2 1 xy xy k k x x b, Để ñường thẳng trên là tiếp tuyến của (Cm) khi    = = ⇒      =− −−=+− 5 1 1 1)2( 2 m m k x m xk x m mx Bài 14: Cho hàm số y= 1 12 + ++ x xx a, Lập phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến ñó ñi qua A(1; ) 2 3 b, Tìm trên ñường thẳng y = -1 những ñiểm mà từ ñó có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Giải a, Phương trình ñường thẳng y = k(x-1)+ 2 3 (d). Để ñường thẳng ( ∆ ) là - Trang 21 - tiếp tuyến của ñường cong khi     +−=⇒ = = ⇒       = + − +−= + + 2 3)1( 4 3 4 3 1 )1( 11 2 3)1( 1 1 2 xyk x k x xk x x b, Gọi M(a;-1) là ñiểm mà ñường thẳng ñi qua ⇒ phương trình ñường thẳng ∆ : y=k(x-a)-1. Để ∆ là tiếp tuyến của (C)       = + − −−−+= + + ⇔       = + − −−= + ++ ⇔ )2()1( 11 )1(1)1( 1 1 )1( 11 1)( 1 1 22 2 k x kakxk x x k x axk x xx Thay (2) vào (1) ta có 2 1 1 1 1(1 )( 1) 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 (3) 1 2 x x k ka x x k ka x x x x k ak x + = − + − − − ⇔ + = + − − − − + + + + + ⇔ = − + Thay (3) vào (2) ta có 044)1() 2 (1 222 =−++⇔=+−− kkakkak (*) Để qua M có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến và hai tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt    −= = ⇔    ±=+ ∀ ⇔     = + >++ ⇔    −= >∆ 3 1 211)1( 4 0)1(44 1. 0 2 2 21 a a a a a a kk Bài 15. Cho hàm số y = x4 – x2 + 1. Tìm trên trục tung những ñiểm mà từ ñó có thể kẻ ñược ba tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số. Giải Gọi A(0 ;y0) là ñiểm nằm trên trục tung. Phương trình ñường thẳng (d) ñi qua A với hệ số góc k có dạng y = kx + y0. Để ñường thẳng (d) tiếp xúc với ñồ thị (C) của hàm số 4 2 0 3 1 x+y 4x 2x=k x x k − + = ⇔  − có nghiệm. Khử k ta ñược phương trình: 3x4 – x2 + y0 – 1 = 0. (1) - Trang 22 - Đặt t = x2 ta có 2 03 1 0 (2) 0 t t y t  − + − =  ≥ Để phương trình (1) có ba nghiệm khi phương trình (2) phải có một nghiệm t = 0 và một nghiệm t > 0. 0 0 2 0 1 0 0 3 0 1 3 y y t t t t =  − =  =⇔ ⇔  − =  =  Với t = 0 0 0x k⇒ = ⇒ = Với t = 21 1 3 2 3 3 3 3 9 x x k⇒ = ⇒ = ± ⇒ = ± . Vậy trên trục tung chỉ có ñiểm A(0 ;1) mà qua A có thể kẻ ñược ba tiếp tuyến với ñồ thị (C). - Trang 23 - Phần 3. KẾT LUẬN. Đề tài này ñã ñược bản thân tôi và các ñồng nghiệp cùng ñơn vị thí ñiểm trên các em có nhu cầu ôn thi tốt nghiệp và ôn thi Đại học – Cao ñẳng. Kết quả thu ñược rất khả quan, các em học tập một cách say mê hứng thú. Một số em ñã ñạt ñược những thành tích tốt qua những ñợt thi tốt nghiệp và các ñợt thi Đại học – Cao ñẳng. Tuy nhiên với phương pháp này người thầy phải biết vận dụng sáng tạo các phương pháp, luôn không ngừng tìm tòi, tham khảo các tài liệu, tham khảo ñồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại và cho học sinh các bài tập ñịnh hướng ñể các em học tập, tìm hiểu. Đối tượng học sinh ôn thi tốt nghiệp và ôn thi Đại học – Cao ñẳng, luôn tin tưởng ở thầy, có ñiều kiện học tập, nghiên cứu. Trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu bản thân tôi cùng với sự giúp ñỡ của các ñồng nghiệp ñã ñúc rút ra ñược một số kinh nghiệm ; Thông qua ñề tài này mong hội ñồng khoa học và các ñồng nghiệp kiểm ñịnh và góp ý ñể ñề tài ngày hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh. Xin chân thành cảm ơn! Lào Cai, ngày 04 tháng 05 năm 2011 Người viết Lê Thị Hiền - Trang 24 - Phần 4. DANH MỤC TƯ LIỆU THAM KHẢO. Khi chuẩn bị chuyên ñề trên tôi ñã sử dụng những tài liệu tham khảo sau: 1. SGK Đại số 11 – Nâng cao, SGK Đại số 11 - Cơ bản. 2. SBT Đại số 11 – Nâng cao, SBT Đại số 11 – Cơ bản. 3. SGV Đại số 12 – Nâng cao, SGV Đại số 12 – Cơ bản. 4. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách giáo khoa. 5. Tài liệu ôn thi Đại học - Cao ñẳng theo chuyên ñề của nhà xuất bản Hà Nội. 6. Các bài giảng luyện thi môn Toán – của nhà xuất bản Giáo dục.