Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 11 năm học 2013 – 2014 môn: toán thời gian: 180 phút

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HÀ TĨNH KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180 PHÚT. Câu I (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: 2. Nhận dạng tam giác ABC biết: Câu II (3,0 điểm) 1. Tìm giới hạn: 2. CMR phương trình: luôn có nghiệm. 3. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức sau có bao nhiêu số hạng: Câu III (1,0 điểm) Một bà bán cá có 5 con cá trắm, 4 con cá gáy, 3 con cá trôi, 3 con cá gỗ. Bà đem tặng cho 7 khách hàng 7 con cá. Tìm xác suất để sau khi bà tặng, số cá của bà vẫn còn đủ bốn loại. Câu IV (3,0 điểm) Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) đường kính AB. Gọi d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Lấy S cố định trên d, điểm M thay đổi trên (C). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SM. a) Chứng minh . b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng KH và MB. Chứng minh AI là tiếp tuyến của (C). c) Tìm vị trí của M trên (C) để diện tích tam giác KAB đạt giá trị lớn nhất. Câu V (1,0 điểm): Cho: . Chứng minh rằng: . Dấu “=” xảy ra khi nào? -------------Hết------------- Câu II2: Hướng dẫn: Đặt sau đó dùng hàm liên tục chứng minh. Câu II3: Khai triển từng nhị thức. Những số hạng rút gọn được là những số hạng có cùng số mũ. Giải ra có 3 số hạng trùng số mũ ( Một số bị loại do i âm). . Suy ra 10- n chia hết cho 3 suy ra 10-n bằng 0, 3, 6, 9. loại 10-n bằng 9 Đáp số: 21+ 11-3 = 29. Câu III: Tặng hết cá trắm: Tặng hết cá gáy: Tặng hết cá trôi: Tặng hết cá gỗ: Tặng hết cá trắm và cá gáy: Tặng hết cá gáy và cá trôi: Tặng hết cá trắm và cá gáy Đáp số: Số PA thuận lợi là: 26439840. Câu IV: BM vg AM, BM vg SA: BM vg SAM: BM vg AK; AK vg SMB;AK vg SB, SB vg AH: SB vg AHK: SB vg KH. Câu b. IA vg SA, IA vg SB, IA vg SAB, IA vg AB suy ra dccm. Câu c. T giác KAB vuông tại K. Đặt SA= h; SAM vuông đường cao KA Tính được AM. ĐK xác định M cách A 1 đoạn Câu V. Đặt a= sin2x, b=cosx.. : 2. Giải phương trình: Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: SBD: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh các trường THPT chuyên) Đáp án gồm 5 trang Câu Nội dung Điểm I 4điểm I.1 (2 điểm) 0,5 0,5 0,5 0,5 I.2 (2 điểm) +) Nếu thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm 0,25 +) Nếu ta đặt thay vào hệ ta được 0,25 0,5 0,5 +) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn 0,25 +) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn, thay vào (1) ta có . Do đó nghiệm của hệ là 0,25 II 2điểm II.1 (1 điểm) Nhận xét. Nếu thì . Dấu bằng xảy ra khi 0,25 Sử dụng nhận xét trên ta có 0,5 . Dấu bằng xảy ra khi . 0,25 II.2 (1 điểm) Đặt ta có 0,25 Khi đó theo phần II.1 ta có 0,25 Khi đó 0,25 Đẳng thức xảy ra khi Vậy (với xác định bởi (1) và (2)) 0,25 III 1điểm +) Trước hết ta tính n(A). Với số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau thì chữ số đầu tiên có 9 cách chọn và có cho 7 vị trí còn lại. Vậy 0,25 +) Giả sử ta thấy tổng các phần tử của B bằng nên số có chín chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 sẽ được tạo thành từ 8 chữ số đôi một khác nhau của các tập nên số các số loại này là . 0,5 Vậy xác suất cần tìm là . 0,25 IV 2điểm * Dễ thấy , do đó O là trung điểm của . 0,5 * * Do BM=MN; 0,5 Do đó , mà Vậy 0,5 Cùng với ta được 0,5 V 1điểm Từ (1) suy ra (2) 0,25 Khi đó Xét dãy , (n=1,2,) được xác định như sau: và . 0,25 Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi luôn có với (3) Thật vậy, khi thì theo (2), ta có ngay (3) Giả sử mệnh đề (3) đúng với . Khi đó Vậy (3) đúng với . 0,25 Tiếp theo ta chứng minh . Thật vậy, ta thấy ngay . Do đó:, suy ra dãy tăng ngặt. Dãy tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Đặt thì với , suy ra . Vậy .Do ®ã tõ (3) suy ra víi mäi (®pcm). 0,25