Hướng dẫn giải bài toán cực trị số phức

Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) CỰC TRỊ SỐ PHỨC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Bất đẳng thức tam giác: •j z1 + z2j ≤ jz1j + jz2j, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≥ 0. •j z1 − z2j ≤ jz1j + jz2j, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≤ 0. •j z1 + z2j ≥ jjz1j − jz2jj, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≤ 0. •j z1 − z2j ≥ jjz1j − jz2jj, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≥ 0. 2 2 2 2 2. Công thức trung tuyến: jz1 + z2j + jz1 − z2j = 2(jz1j + jz2j ) 3. Tập hợp điểm: •j z − (a + bi)j = r: Đường tròn tâm I(a; b) bán kính r. •j z − (a1 + b1i)j = jz − (a2 + b2i)j: Đường trung trực của AB với A(a1; b1);B(a2; b2). •j z − (a1 + b1i)j + jz − (a2 + b2i)j = 2a: – Đoạn thẳng AB với A(a1; b1);B(a2; b2) nếu 2a = AB. – Elip (E) nhận A; B làm hai tiêu điểm với độ dài trục lớn là 2a nếu 2a > AB. x2 y2 p Đặc biệt jz + cj + jz − cj = 2a: Elip (E): + = 1 với b = a2 − c2. a2 b2 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Phương pháp đại số VÍ DỤ 1 (Sở GD Hưng Yên 2017). Cho số phức z thỏa mãn jz − 1 − 2ij = 4. Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của jz + 2 + ij. Tính S = M 2 + m2. A. S = 34 B. S = 82 C. S = 68 D. S = 36 LỜI GIẢI 1. Ta có ( p p jz + 2 + ij ≤ 4 + 3 2 = M 4 = jz + 2 + i − (3 + 3i)j ≥ jjz + 2 + ij − j3 + 3ijj = jjz + 2 + ij − 3 2j ) p : jz + 2 + ij ≥ 3 2 − 4 = m Khi đó S = M 2 + m2 = 68: Đáp án là C. VÍ DỤ 2 (Sở GD Hà Tĩnh 2017). Trong các số phức z thỏa mãn jz − (2 + 4i)j = 2, gọi z1 và z2 là số phức có mô đun lớn nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của hai số phức z1 và z2 bằng A. 8i B. 4 C. −8 D. 8 1 LỜI GIẢI. Ta có p p p 2 ≥ jjzj − j2 + 4ijj = jjzj − 2 5j ) 2 5 − 2 ≤ jzj ≤ 2 5 + 2: p p 1 Giá trị lớn nhất jzj là 2 5 − 2 khi z = k(2 + 4i) với (k − 1) 5 = 1 ) k = 1 + p . Do đó 5  1  z1 = 1 + p (2 + 4i): 5 p p 1 Giá trị nhỏ nhất jzj là 2 5 − 2 khi z = k(2 + 4i) với (1 − k) 5 = 1 ) k = 1 − p . Do đó 5  1  z2 = 1 − p (2 + 4i): 5  1   1  Như vậy, tổng hai phần ảo của z1; z2 là 4 1 + p + 4 1 − p = 8: 5 5 Đáp án là D. VÍ DỤ 3 (THPT Chuyên Thái Nguyên 2017 L3). Cho số phức z thỏa mãn jz2 + 4j = 2jzj. Kí hiệu M = maxp jzj; m = min jzj. Tìmp mô đun của số phức pw = M + mi. p A. jwj = 2 3 B. jwj = 3 C. jwj = 2 5 D. jwj = 5 LỜI GIẢI. Ta có p 2jzj ≥ jzj2 − 4 , jzj2 − 2jzj − 4 ≤ 0 ) jzj ≤ 1 + 5 = M: và p 2jzj ≥ 4 − jzj2 , jzj2 + 2jzj − 4 ≥ 0 ) jzj ≥ −1 + 5 = m: p p Vậy jwj = M 2 + m2 = 2 3. Đáp án là A. VÍ DỤ 4 (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc 2017). Trong các số phức z thỏa mãn j2z+zj = jz−ij, −1 tìm số phứcp có phần thực không âm sao cho jz j đạt giáp trị lớn nhất. p 6 i i 3 i 6 i A. z = + B. z = C. z = + D. z = + 4 2 2 4 8 8 8 LỜI GIẢI. Gọi z = a + bi (a ≥ 0) thì z = a − bi. Khi đó p 1 9a2 + b2 = pa2 + (b − 1)2 , 2b = 1 − 8a2 , b = − 4a2: 2 1 p Ta có jz−1j = lớn nhất khi và chỉ khi jzj = a2 + b2 nhỏ nhất. jzj p 1 2 1  32 7 7 7 jzj2 = a2 + − 4a2 = 16a4 − 3a2 + = 4a2 − + ≥ ) jzj ≥ : 2 4 8 64 64 8 p 8 3 6 p <>a2 = ) a = 6 i Do đó số phức z cần tìm thỏa mãn 32 8 . Vậy z = + . 1 1 8 8 :>b = − 4a2 = 2 8 Đáp án là D. 2 Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) Phương pháp hình học VÍ DỤ 5 (THPT Phan Bội Châu-Đăk Lăk 2017). Cho số phức z thỏa mãn jz −3−4ij = 1. Mô đun lớn nhất của số phức z là: A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 LỜI GIẢI. y N I M x O Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(3; 4) bán kính r = 3. Khi đó jzj = OM với O là gốc tọa độ. Do đó max jzj = OI + r = 5 + 1 = 6: Đáp án là B. VÍ DỤ 6 (THPT Đồng Quan-Hà Nội 2017,THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam 2017). Trong các số phức z thỏa mãn jz − 2 − 4ij = jz − 2ij. Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất A. z = 2 − 2i K B. z = 1 + i C. z = 2 + 2i D. z = 1 − i LỜI GIẢI. y A I B H x O Gọi A(2; 4);B(0; 2), tập hợp các điểm z thỏa mãn giả thiết đề bài là đường trung trực d của AB có phương trình x + y − 4 = 0. Khi đó jzj = OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên d là H(2; 2). Đáp án là C. VÍ DỤ 7 (THPT Trần Phú-Hà Nội 2017). Cho số phức z thỏa mãn jz + 3j + jz − 3j = 10. Giá trị nhỏ nhất của jzj là A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 LỜI GIẢI. Gọi A(−3; 0);B(3; 0) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công thức trung tuyến thì MA2 + MB2 AB2 jzj2 = MO2 = − : 2 4 3 Ta có (MA + MB)2 MA2 + MB2 ≥ = 50 2 Do đó r50 36 m = − = 4: 2 4 Vậy min jzj = 4. Đáp án là B. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phương pháp đại số BÀI 1 (Sở GD Long An 2017). Cho số phức z thỏa mãn jz − 2 − 3ij = 1. Tìm giá trị lớn nhất của jzpj. p p p A. 1 + 13 B. 13 C. 2 + 13 D. 13 − 1 BÀI 2 (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3). Tìm giá trị lớn nhất của jzj biết −2 − 3i   z + 1 = 1:  3 − 2i  p A. 2 B. 2 C. 1 D. 3 BÀI 3 (THPT Nguyễn Huệ-Huế 2017 L2, Hà Huy Tập-Hà Tĩnh 2017 L2). Cho số phức 2 z thỏa mãn jz − ij = 1. Tìm giáp trị lớn nhất của jzj. p p A. 2 B. 5 C. 2 2 D. 2 BÀI 4 (Chuyênp Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3). Xác định số phức z thỏa mãn jz − 2 − 2ij = 2 mà jzj đạt giá trị lớn nhất A. z = 1 + i B. z = 3 + i C. z = 3 + 3i D. z = 1 + 3i BÀI 5 (THPT Yên Khánh A-Ninh Bình 2017,THPT Kim Liên-Hà Nội 2017). Cho số phức zpthỏa mãn jz − 2 − 3ij = 1. Giá trị nhỏ nhất của jz + 1 + ij là p A. 13 − 1 B. 4 C. 6 D. 13 + 1 BÀI 6 (THPT Đống Đa-Hà Nội 2017). Cho số phức z thỏa mãn jz2 + 2z + 2j = jz + 1 − ij. Biểu thứcp jzj có giá trị lớn nhất là p p A. 2 + 1 B. 2 C. 2 + 2 D. 2 − 1 BÀI 7 (THPT Hùng Vương-Phú Thọ 2017). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện jz − 1j = j(1 + i)zpj. Đặt m = jzj, tìm giá trị lớn nhất của m. p p A. 2 + 1 B. 1 C. 2 − 1 D. 2  4i BÀI 8 (THPT Chuyên Lào Cai 2017 L2). Cho số phức z thỏa mãn z +  = 2. Gọi M; m  z  lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏp nhất của jzj. TínhpM + m? p A. 2 B. 2 5 C. 13 D. 5 4 Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) BÀI 9 (THPT Hưng Nhân-Thái Bình 2017 L3). Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn ( jz + 3 − 4ij = 1 1 : jz2 + 6 − ij = 2 Tính tổng Giá trị lớn nhất và Giáp trị nhỏ nhất của biểu thức jz1 − z2j. p A. 18 B. 6 2 C. 6 D. 3 2 BÀI 10 (Sở GD Điện Biên 2017,Gia Lộc-Hải Dương 2017 L2). Cho số phức z thỏa 2z − i mãn jzj ≤ 1. Đặt A = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 + iz A. jAj 1 BÀI 11 (Sở GD Hải Dương 2017). Cho số phức z thỏa mãn z:z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = jz3 + 3z + zj − jz + zj. 15 3 13 A. . B. C. D. 3 4 4 4 BÀI 12 (Chuyên Ngoại Ngữ-Hà Nội 2017). Cho số phức z thỏa mãn jzj = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểup thức T = jz + 1j + 2jzp− 1j p p A. max T = 2 5 B. max T = 2 10 C. max T = 3 5 D. max T = 3 2 BÀI 13 (Sở GD Bắc Ninh 2017). Cho số phức z thỏa mãn jzj = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Tp= jz + 1j + 3jz − 1j p p A. max T = 3 10 B. max T = 2 10 C. max T = 6 D. max T = 4 2 p BÀI 14 (Chu Văn An-Hà Nội 2017 L2). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện jz − 1j = 2. Tìm giá trị lớn nhấtp của T = jz + ij + jz − 2 − ij p A. max T = 8 2 B. max T = 4 C. max T = 4 2 D. max T = 8 Phương pháp hình học BÀI 15 (Sở GD Đà Nẵng 2017). Cho số phức z thỏa mãn jz − 1 + 2ij = 3. Mô đun lớn nhất của số phức z là: q p q p p p 15(14 − 6 5) p p 15(14 + 6 5) A. 14 + 6 5 B. C. 14 − 6 5 D. 5 5 BÀI 16 (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc 2017 L3). Cho số phức z thỏa mãn jz −1−2ij = 1. Tìm giáp trị nhỏ nhất của jzj p A. 2 B. 1 C. 2 D. 5 − 1 BÀI 17 (Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương 2017 L3). Cho số phức z; w thỏa mãn jz − 1 + 2ij = jz +p 5ij; w = iz + 20. Giá trị nhỏ nhất m của jwj làp 3 10 p 10 p A. m = B. m = 7 10 C. m = D. m = 2 10 2 2  5   3  BÀI 18 (THPT Cổ Loa-Hà Nội 2017 L3). Cho số phức z thỏa mãn z + − 2i = z + + 2i.  2   2  Biết biểu thức Q = jz − 2 − 4ij + jz − 4 − 6ij đạt giá trị nhỏ nhất tại z = a + bi (a; b 2 R). Tính P = a − 4b 1333 691 A. P = −2 B. P = C. P = −1 D. P = 272 272 5  2  BÀI 19 (THPT Cao Nguyên-Dăk Lăk 2017). Cho số phức z thỏa mãn iz +  +  1 − i  2  iz +  = 4. Gọi M và m lần lượt là Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của jzj. Tính  i − 1 M:m p p A. Mm = 2 B. Mm = 1 C. Mm = 2 2 D. Mm = 2 3 BÀI 20 (Lương Đức Trọng 2017). Xét số phức z thỏa mãn 4jz + ij + 3jz − ij = 10. Gọi M; m tươngp ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của jzj. Tính M + m 35 2 80 50 30 A. B. C. D. 15 7 11 7 BÀI 21 (THPT Thăngp Long-Hà Nội 2017 L2). Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn jz − 2j + jz + 2j = 4 2. Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M; N là điểm biểu diễn z và z. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tamp giác OMN. p p A. 1 B. 2 C. 4 2 D. 2 2 BÀI 22 (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2017 L3). Cho z1; z2 là hai nghiệm 8 phương trình j6 − 3i + izj = j2z − 6 − 9ij thỏa mãn jz − z j = . Giá trị lớn nhất của jz + z j 1 2 5 1 2 là 31 56 p A. B. C. 4 2 D. 5 5 5 D. LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN GIẢI BÀI TẬP 1. Ta có p p 1 ≥ jzj − j2 + 3ij = jzj − 13 ) jzj ≤ 1 + 13: Đáp án là A. GIẢI BÀI TẬP 2. Ta có −2 − 3i  −2 − 3i 1 ≥  z − 1 =   :jzj − 1 = jzj − 1 ) jzj ≤ 2:  3 − 2i   3 − 2i  Đáp án là B. GIẢI BÀI TẬP 3. Ta có 1 ≥ jz2j − jij = jzj2 − 1 ) jzj2 ≤ 2 ) jzj ≤ 2: Đáp án là D. GIẢI BÀI TẬP 4. Ta có p p p 2 ≥ jzj − j2 + 2ij = jzj − 2 2 ) jzj ≤ 3 2: p p p 3 Dấu "=" khi z = k(2 + 2i) với 2k 2 − 2 2 = 2 ) k = . Vậy k = 3 + 3i. 2 Đáp án là C. GIẢI BÀI TẬP 5. Ta có p jz + 1 + ij = jz + 1 − ij = j(z − 2 − 3i) + (3 + 2i)j ≥ jjz − 2 − 3ij − j3 + 2ijj = 13 − 1: p Vậy min jz + 1 + ij = 13 − 1. Đáp án là A. 6 Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) GIẢI BÀI TẬP 6. Ta có  z + 1 − i = 0 jz2 + 2z + 2j = j(z + 1)2 − i2j = jz + 1 − ij:jz + 1 + ij = jz + 1 − ij , jz + 1 + ij = 1 p • Nếu z = i − 1 thì jzj = 2. p p • Nếu jz + 1 + ij = 1 thì 1 ≥ jzj − j1 + ij = jzj − 2. Do đó jzj ≤ 1 + 2. Đáp án là A. GIẢI BÀI TẬP 7. Ta có jz − 1j = 2jzj ≤ jzj + 1 ) jzj ≤ 1: Do đó max jzj = 1. Đáp án là B. GIẢI BÀI TẬP 8. Ta có p 2jzj ≥ jzj2 − 4 , jzj2 − 2jzj − 4 ≤ 0 ) jzj ≤ 1 + 5 = M: và p 2jzj ≥ 4 − jzj2 , jzj2 + 2jzj − 4 ≥ 0 ) jzj ≥ −1 + 5 = m: p Vậy M + m = 2 5. Đáp án là B. GIẢI BÀI TẬP 9. Ta có p jz1 −z2j = j(z1 +3−4i)−(z2 +6−i)+(3+3i)j ≤ jz1 +2−4ij+jz2 +6−ij+j3+3ij = 3+3 2 = max : và p jz1 −z2j = j(z1 +3−4i)−(z2 +6−i)+(3+3i)j ≥ j3+3ij−jz1 +2−4ij−jz2 +6−ij = 3 2−3 = min : p Do đó tổng Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất là 6 2. Đáp án là B. GIẢI BÀI TẬP 10. Ta có 2A + i 2A + Aiz = 2z − i , (2 − Ai)z = 2A + i ) z = : 2 − Ai Đặt A = a + bi. Suy ra p jzj ≤ 1 ) j2A+ij ≤ j2−Aij , 4a2 +(2b+1)2 ≤ a2 +(b+2)2 , 3a2 +3b2 ≤ 3 ) jAj = a2 + b2 ≤ 1: Đáp án là B. GIẢI BÀI TẬP 11. Ta có jz3 + 3z + zj = jz3:z + 3z:z + z2j = jz2 + 3 + z2j = j(z + z)2 + 1j: Suy ra  12 3 3 P = (z + z)2 + 1 − (z + z) = z + z − + ≥ : 2 4 4 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là . 4 Đáp án là C. 7 GIẢI BÀI TẬP 12. Áp dụng công thức trung tuyến ta có j1 + 1j2 jz + 1j2 + jz − 1j2 = 2jzj2 + = 4: 2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì p T 2 ≤ (jz + 1j2 + jz − 1j2)(12 + 22) = 20 ) T ≤ 2 5: Đáp án là A. GIẢI BÀI TẬP 13. Áp dụng công thức trung tuyến ta có j1 + 1j2 jz + 1j2 + jz − 1j2 = 2jzj2 + = 4: 2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì p T 2 ≤ (jz + 1j2 + jz − 1j2)(12 + 32) = 40 ) T ≤ 2 10: Đáp án là B. GIẢI BÀI TẬP 14. Áp dụng công thức trung tuyến ta có j2 + 2ij2 jz + ij2 + jz − 2 − ij2 = 2jz − 1j2 + = 8: 2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì T 2 ≤ (jz + 1j2 + jz − 1j2)(12 + 12) = 16 ) T ≤ 4: Đáp án là B. GIẢI BÀI TẬP 15. y M x O I N Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = 3. Khi đó jzj = OM với O là gốc tọa độ. Do đó p max jzj = OI + r = 3 + 5: Đáp án là A. GIẢI BÀI TẬP 16. y N I M x O 8 Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678) Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = 1. Khi đó jzj = OM với O là gốc tọa độ. Do đó p K min jzj = OI − r = 5 − 1: Đáp án là D. GIẢI BÀI TẬP 17. y x A H B C Gọi A (1; −2) ;B (0; −5), tập hợp các điểm z thỏa mãn giả thiêt đề bài là đường trung trực d của AB có phương trình x + 3y + 10 = 0. Ta có jwj = jiz + 20j = jz − 20ij = CM p với M là điểm biểu diễn số phức z và C(0; 20). Do đó min jwj = d(C:∆) = 7 10. Đáp án là B. GIẢI BÀI TẬP 18. y N M A I x 0 B M  5   3  Gọi A − ; 2 ;B − ; −2 , tập hợp các điểm z thỏa mãn giả thiêt đề bài là đường trung 2 2 trực d của AB có phương trình x − 4y + 2 = 0. Xét hai điểm M(2; 4);N(4; 6) thì Q = IM + IN 58 28 với I 2 d. Do đó Q nhỏ nhất khi và chỉ khi I là giao điểm của M 0N với M 0 ; − là 17 17 62 24 62 24 điểm đối xứng của M qua d. Vậy I ; , ứng với z = + i. 17 17 17 17 Đáp án là A. GIẢI BÀI TẬP 19. Ta có  2 2  4 ≥ iz + + iz +  = j2izj = 2jzj ) M = 2:  1 − i i − 1 Theo giả thiết thì số phức z thỏa mãn  2   2  z +  + z +  = 4 , jz + 1 − ij + jz − 1 + ij = 4:  i(1 − i)  i(i − 1) 9 Gọi A(−1; 1);B(1; −1) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công thức trung tuyến thì MA2 + MB2 AB2 jzj2 = MO2 = − : 2 4 Ta có (MA + MB)2 MA2 + MB2 ≥ = 8 2 Do đó r8 8 p m = − = 2: 2 4 p Vậy Mm = 2 2. Đáp án là C. GIẢI BÀI TẬP 20. Gọi A(0; −1);B(0; 1) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công thức trung tuyến thì MA2 + MB2 AB2 jzj2 = MO2 = − : 2 4 p 10 − 4a Theo giả thiết 4MA + 3MB = 2 2. Đặt a = MA ) MB = . Do 3 j10 − 7aj 4 16 jMA − MBj = ≤ AB = 2 ) −6 ≤ 10 − 7a ≤ 6 , ≤ a ≤ : 3 7 7 Ta có 10 − 4a2 25a2 − 80a + 100 (5a − 8)2 + 36 MA2 + MB2 = a2 + = = : 3 9 9 36 34 1296 Do − ≤ 5a − 8 ≤ ) 0 ≤ (5a − 8)2 ≤ Suy ra 7 7 49 • MA2 + MB2 ≥ 4 nên jzj2 ≥ 1 ) jzj ≥ 1 = m. 1296 + 36 340 121 11 • MA2 + MB2 ≤ 49 = ) jzj2 ≤ ) jzj ≤ = M. 9 49 49 49 60 Vậy M + m = . 49 Đáp án là C. GIẢI BÀI TẬP 21. y M x A O B N Gọi điểm M biểu diễn số phức z = x + iy và N biểu diễn số phức z thì M; M 0 đối xứng 10