Hình học giải tích - Chuyên đề: Vectơ trong không gian

CHUYÊN ĐỀ 8 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Các định nghĩa và phép toán của vectơ trong không gian cũng giống như trong mặt phẳng, ta cần lưu ý đến các vấn đề cơ bản thông dụng như : . Qui tắc 3 điểm : A, B, C thì ∀ ABJJJG + BCJJJG = ACJJJG . Cộng 2 vectơ cùng gốc là một vectơ cùng gốc và là đường chéo hình bình hành có 2 cạnh là 2 vectơ đã cho. . I là trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M bất kỳ nào ta luôn có: MI = JJJG 2 MA MB+JJJJG JJJJG . G là trọng tâm của ΔABC ⇔ GAJJJG + GBJJJG + GCJJJG = 0G . Ngoài ra ta còn có : . Ba vectơ khác gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trong một mặt phẳng . 0 G . Bất kỳ vectơ a 0 nào đồng phẳng với hai vectơ không cùng phương , trong không gian, đều có thể phân tích theo G ≠ G 1eG 2eG 1e G , 2e G có nghĩa: a = G α 1eG + β 2eG (α ,β ∈ R) và sự phân tích trên là duy nhất . . Bất kỳ vectơ a nào trong không gian cũng có thể phân tích được theo 3 vectơ không đồng phẳng , , có nghĩa : G ≠ 0G 1e G G G 2e 3e a = + βG α 1eG 2eG + γ 3eG (α ,β , γ ∈ R) . G được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD + + GC + ⇔ GAJJJG GBJJJG JJJG GDJJJG = 0G Ghi chú : 1) Nếu một trong 3 vectơ , aG b G , cG là 0G thì chúng đồng phẳng. 2) a , b , c đồng phẳng ⇔ G G G , . 0a b c⎡ ⎤ =⎣ ⎦ G G G 1 3) OA , OB , đồng phẳng JJJG JJJG OC JJJG ⇔ O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng. Ví dụ 1: Cho một hình lăng trụ ABCA′ B′ C′ . Gọi I, I′ lần lượt là trọng tâm của ΔABC và Δ A′ B′ C′ , O là trung điểm của I I′ . a) Chứng minh rằng + + OBOA JJJG OA′JJJJG JJJG + OB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG = 0G b) Gọi G là trọng tâm của hình tứ diện ABCC′ và M là trung điểm của A′ B′ . Chứng minh rằng O, M, G thẳng hàng. c) Tính tỉ số OM OG JJJJG JJJG Giải a) + OA + + OA JJJG ′JJJJG OBJJJG OB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG = 0G I là trọng tâm của ABC ⇒ Δ IAJJG + IBJJG + ICJJG = 0G ( + ) + ( IO + OB ) + (⇒ IOJJG OAJJJG JJG JJJG IOJJG + OCJJJG ) = 0G OA + + OC = 3OI ⇒ JJJG OBJJJG JJJG JJG Tương tự, là trọng tâm của I′ Δ A′ B′ C′ OA + + OC = 3OI⇒ ′JJJJG OB′JJJJG ′JJJJG ′JJJG Vậy OA + JJJG OA′JJJJG + OB + JJJG OB′JJJJG + OCJJJG + OC′JJJJG = = 3OI JJG + 3OI′JJJG = 3(OIJJG + OI′JJJG ) = 0 G (vì 0 là trung điểm I I′ ) b) O, M, G thẳng hàng G là trọng tâm của tứ diện ABCC′ ⇒ GA + + GC + JJJG GBJJJG JJJG GC′JJJJG = 0G ⇒ ( + OA ) + (GO + ) + (GOJJJG JJJG JJJG OBJJJG GOJJJG + OCJJJG ) + (GOJJJG + OC′JJJJG ) = 0 G ⇒ OA + + OC + OCJJJG OBJJJG JJJG ′JJJJG = 4OGJJJG M là trung điểm của A B′ ′ ⇒ OA + = 2OM ′JJJJG OB′JJJJG JJJJG ⇒ OA + + OC + OCJJJG OBJJJG JJJG ′JJJJG + OA′JJJJG + OB′JJJJG = 4OGJJJG + 2OMJJJJG 2 ⇒ 0 = 4 + 2OM G OGJJJG JJJJG ⇒ OM = –2 JJJJG OGJJJG ⇒ OM cùng phương với OGJJJJG JJJG ⇒ OM , OG cùng giá (vì cùng gốc O) JJJJG JJJG ⇒ O, M, G thẳng hàng. c) Tỉ số JJJJG JJJGOM OG OM JJJJG = –2 OG JJJG ⇒ OM OG JJJJG JJJG = –2 Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A′ B′ C′ D′ với AA′JJJJG = aG , ABJJJG = bG , /ACJJJJG = . Hãy biểu thị các vectơ cG AD JJJG , AC′JJJJG JJJJG JJJJG, , theo các vectơ aB D′ BD′ G , bG , cG . Giải Ta có với hình hộp ABCD. A′ B′ C′ D′ thì : AD JJJG = AC′JJJJG + /C D′JJJJJG + D D′JJJJG = cG – b G – aG AC′JJJJG = A A′JJJJG + /ACJJJJG + /C CJJJJG AC′JJJJG = –2aG + cG B D′JJJJG = B B′JJJJG + BAJJJG + ADJJJG = – aG –b G + cG – – b G aG = – 2aG – 2b G + cG BD′JJJJG = BAJJJG + ADJJJG + DD′JJJJG = –b G + ( cG – – a ) + b G G aG = – 2b G + cG * * * D′ A B′ ′ cG B C D A a C′ G b G 3