Hệ thức Vi-Et

HỆ THỨC VI-ET I. KIẾN THỨC a. có hai nghiệm thì: b. Tìm hai số u và v biết rằng: thì u và v là nghiệm của pt II. BÀI TẬP 1. Cho phương trình ẩn x: ( với m là tham số ). a. Tìm m để phương trình trên có nghiệm kép. . Tính nghiệm kép đó với m vừa tìm được. 2. Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2 +mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức . 3. Cho phương trình , (x là ẩn, m là tham số). a. Giải phương trình đã cho với b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng lập phương của hai nghiệm đó bằng 27. 4. Cho x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình : 2x2 – 5x + 1 = 0 . Tính M = x12 + x22 5. Cho phương trình ( là ẩn, m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm sao cho:. 6. Cho ph­¬ng tr×nh: x2 + 2(m – 1)x – 2m – 3 = 0 (m lµ tham sè). a. Chøng minh ph­¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 . b. T×m gi¸ trÞ cña m sao cho (4x1 + 5)(4x2 + 5) + 19 = 0. 7. Cho phương trình x2 – (2m +1) x + m2 + m = 0 (*) a. Khi m = 0 giải phương trình (*) b. Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 và cả hai nghiệm này đều là nghiệm của phương trình x3 +x2 = 0. Dạng 3: Định lí Viet 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm Ví dụ : Cho ; lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên Theo hệ thức VI-ÉT ta có vậy là nghiệm của phương trình có dạng: Bài tập áp dụng: x1 = 8 x2 = -3 x1 = 36 x2 = -104 x1 = x2 = x1=2 x2=5 x1=-5 x2=7 x1=-4 x2=-9 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : và Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: Vậy pt cần lập có dạng: hay Bài tập áp dụng : 1. Gi¶ sö x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: . Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh, h·y lËp mét ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ: 3x1 vµ 3x2 -2x1 vµ -2x2 vµ vµ vµ vµ vµ vµ vµ vµ 2. Cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm và 3. Cho phương trình : có 2 nghiệm . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn và (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho). 4. Cho phương trình bậc hai: có các nghiệm . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm sao cho : a) và b) và 5. Gäi p; q lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh. H·y lËp mét ph­¬ng tr×nh bËc hai víi c¸c hÖ sè nguyªn cã nghiÖm lµ: vµ 6. Gäi p; q lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh. H·y lËp mét ph­¬ng tr×nh bËc hai víi c¸c hÖ sè nguyªn cã nghiÖm lµ: vµ 7. Gäi p; q lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh. H·y lËp mét ph­¬ng tr×nh bËc hai víi c¸c hÖ sè nguyªn cã nghiÖm lµ: vµ 8. Gäi p; q lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh. H·y lËp mét ph­¬ng tr×nh bËc hai víi c¸c hÖ sè nguyªn cã nghiÖm lµ: vµ 9. Gi¶ sö x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: . Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh, h·y lËp mét ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ: -x1 vµ -x2 4x1 vµ 4x2 vµ vµ vµ vµ vµ vµ vµ vµ vµ x12x2 vµ x1x22 3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chung Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :(điều kiện để có hai số đó là S2 4P ³ 0 ) V í dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4 Vì a + b = 3 và ab = 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : giải phương trình trên ta được và Vậy nếu a = 1 thì b = 4 nếu a = 4 thì b = 1 Bài tập áp dụng 1. T×m hai sè khi biÕt tæng cña chóng b»ng 27, tÝch cña chóng b»ng 180. T×m hai sè khi biÕt tæng cña chóng b»ng 1, tÝch cña chóng b»ng 5. T×m hai sè khi biÕt tæng cña chóng b»ng 33 , tÝch cña chóng b»ng 270. T×m hai sè khi biÕt tæng cña chóng b»ng 4, tÝch cña chóng b»ng 50. T×m hai sè khi biÕt tæng cña chóng b»ng 6 , tÝch cña chóng b»ng -315. 2. T×m hai sè u, v biÕt: u + v = 32; uv = 231 u + v = -8; uv = -105 u + v = 2; uv = u + v = 42; uv = 441 u - v = 5; uv = 24 u + v = 14; uv = 40 u + v = -7; uv = 12 u + v = -5; uv = -24 u + v = 4; uv = 19 u - v = 10; uv = 24 u2 + v2 = 85; uv = 18 u - v = 3; uv = 180 u2 + v2 = 5; uv = -2 u2 + v2 = 25; uv = -12 4. Tính giá trị các biểu thức nghiệm Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức ( =.) ( = =. ) ( = = ) ( = = ..) 1. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính 1. 2. 3. 4. b) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính: 1. 2. c) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính: 1. 2. d) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính: 1. 2. 3. 4. e) Cho phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính 2. Cho ph­¬ng tr×nh: . Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh h·y tÝnh: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) 3. Giống yêu cầu bài 2 đối với pt: 4. Giống yêu cầu bài 2 đối với pt: 5. Giống yêu cầu bài 2 đối với pt: 6. Cho ph­¬ng tr×nh: . Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh h·y tÝnh: a) Tæng b×nh ph­¬ng c¸c nghiÖm b) Tæng nghÞch ®¶o c¸c nghiÖm c) Tæng lËp ph­¬ng c¸c nghiÖm d) B×nh ph­¬ng tæng c¸c nghiÖm e) HiÖu c¸c nghiÖm f) HiÖu b×nh ph­¬ng c¸c nghiÖm 5. Tìm giá trị tham số của phương trình thõa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ¹ 0 và D ³ 0) Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số). Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. Ví dụ: Cho phương trình : Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à : Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: và từ giả thiết: . Suy ra: Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : Bài tập áp dụng 1.Cho pt . TÝnh gi¸ trÞ cña m biÕt pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶: 2.Cho pt . T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ mét trong c¸c hÖ thøc sau: a) b) c) d) 3. Cho pt . T×m m ®Ó pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ . Khi ®ã t×m cô thÓ hai nghiÖm cña pt? 4. a) T×m k ®Ó pt: cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ b) T×m m ®Ó pt: cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ c) T×m k ®Ó pt: cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ d) T×m m ®Ó pt: cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ 5. Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm kh¸c 0 cña pt: . Chøng minh: 6.Cho phương trình : Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 7. Cho phương trình : Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức: 8.Cho phương trình : . Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : ài tập áp dụng 1.Cho pt. TÝnh gi¸ trÞ cña m biÕt pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶: 2.Cho pt. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ mét trong c¸c hÖ thøc sau: a) b) c) d) 3. Cho pt. T×m m ®Ó pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶. Khi ®ã t×m cô thÓ hai nghiÖm cña pt? 4. a) T×m k ®Ó pt: cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ b) T×m m ®Ó pt: cã hai nghiÖm x1; x2 thhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhfffffffffffffffffffffffffffffhfhfhfhfhhfhfho¶ pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶. Khi ®ã t×m cô thÓ hai nghiÖm cña pt? 4. a) T×m k ®Ó pt: cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ b) T×m m ®Ó pt: cã hai nghiÖm x1; x2 thhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhfffffffffffffffffffffffffffffhfhfhfhfhhfhfho¶ pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶. Khi ®ã t×m cô thÓ hai nghiÖm cña pt? 4. a) T×m k ®Ó pt: cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ b) T×m m ®Ó pt: cã hai nghiÖm x1; x2 thhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhfffffffffffffffffffffffffffffhfhfhfhfhhfhfho¶ c) T×m k ®Ó pt: cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ d) T×m m ®Ó pt: cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ 5. Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm kh¸c 0 cña pt:. Chøng minh: 6.Cho phương trình :