Vì vế trái của các ph-ơng trình trong hệ không âm nên ph-ơng chỉ có nghiệm : , , , 0 xyzt= .
Xét hàm số : () ( )
2
f1ss=-, ta có : ( ) ( ) f' 2 1 ss= - . Do đó hàm số tăng trên khoảng ( ) 1;+8và giảm
trên [ ] 0; 1( Do f(s) liên tục trên R ).
Không mất tính tổng quát, giả sử : { } min , , , x xyzt = .
+ Nếu () ( ) 1; , , , 1; xxyzt ?+8? ?+8, do đó theo bài toán tổng quát 1, hệ có nghiệm
duy nhất : 23 xyzt ====+.
+ Nếu [ ] 0; 1 x? ( ) 0 f 1 02 1 x y ?= =? = =, hay [ ] 0;1 y? , t-ơng tự [ ] ,0;1 zt ??.
Vậy [ ] ,,, 0;1 xyzt? . Do đó ta có :
18 trang |
Chia sẻ: baoan21 | Lượt xem: 1429 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Hệ phương trình, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
1 4 2
x
x y
y
x y
⎧ ⎛ ⎞+ =⎪ ⎜ ⎟+⎪ ⎝ ⎠⎨ ⎛ ⎞⎪ − =⎜ ⎟⎪ +⎝ ⎠⎩
Giải . ĐK có nghĩa của hệ : 0, 0x y≥ ≥ và 2 2 0x y+ ≠ .
Dễ thấy , nếu ( ),x y là nghiệm của hệ đã cho thì phải có x >0, y>0 . Do đó :
Hệ đã cho
1 2
1
3
1 4 2
1
7
x y x
x y y
⎧⎛ ⎞+ =⎪⎜ ⎟+⎝ ⎠⎪⇔ ⎨⎛ ⎞⎪ − =⎜ ⎟⎪ +⎝ ⎠⎩
⇔
( )
( )
1 1 2 2
1
3 7
1 2 2
1 2
3 7
x y x y
x y
⎧ = −⎪ +⎪⎨⎪ = +⎪⎩
Nhân (1) với (2) theo vế ta đ−ợc :
( )( ) ( )( )1 1 8 21 7 3 6 7 4 0 6
3 7
xy x y y x y x y x y x
x y x y
= − ⇔ = + − ⇔ − + = ⇔ =+ ( vì x >0, y>0)
Thay vào (2) và giải ra ta đ−ợc :
11 4 7 22 8 7
,
21 7
x y
+ += = .Thử lại ta thấy thoả mãn yêu cầu bt.
Iii. Hệ ph−ơng trình 3 ẩn.
) 1. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ngãi 1995-1996)
Giải hệ ph−ơng trình :
3 2
3 2
3 2
6 12 8 0
6 12 8 0
6 12 8 0
y x x
z y y
x z z
⎧ − + − =⎪ − + − =⎨⎪ − + − =⎩
) 4. Giải hệ ph−ơng trình :
2 3
2 3
2 3
12 48 64
12 48 64
12 48 64
x x y
y y z
z z x
⎧ − + =⎪ − + =⎨⎪ − + =⎩
" 5. Giải hệ ph−ơng trình :
19 5 2001
19 5 2001
19 5 2001
1890
1890
1890
x y z z
y z x x
z x y y
⎧ + = +⎪ + = +⎨⎪ + = +⎩
Giải . Chúng ta sẽ chứng minh hệ ph−ơng trình trên có nghiệm duy nhất 0x y z= = = .
13
Giả sử ( ), ,x y z là một nghiệm của hệ ph−ơng trình khi đó ( ), ,x y z− − − cũng là một nghiệm của
hệ ph−ơng trình , nên không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết : có ít nhất hai trong ba số , ,x y z
không âm. Ví dụ 0, 0x y≥ ≥ . Từ ph−ơng trình thứ nhất ta suy ra 0z ≥ .
Mặt khác nếu 0 1u ≥ +
Nếu 1u > thì 2000 2000 2000 1000 18 41890 1 2. 2.u u u u u u+ > + > = > +
Do đó 2001 19 51890u u u u+ > + với mọi u>0.
Bởi vậy nếu cộng từng vế của HPT ta suy ra 0x y z= = = .đpcm
) 6. Tìm điều kiện cần và đủ của m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm duy nhất :
( )
( )
( )
2 3 2
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
x m y y my
y m z z mz
z m x x mx
⎧ = + − +⎪ = + − +⎨⎪ = + − +⎩
" 7. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2004 –Bảng A )
Giải hệ ph−ơng trình sau :
( )
( )
( )
23
23
23
2
30
16
x x y z
y y z x
z z x y
⎧ + − =⎪⎪ + − =⎨⎪ + − =⎪⎩
" 8. Giải hệ ph−ơng trình :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2 3
2 3
1 2 1
1 2 1
1 2 1
x x y x
y y z y
z z x z
⎧ + = − +⎪⎪ + = − +⎨⎪ + = − +⎪⎩
Giải . Viết lại hệ đã cho d−ới dạng :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 2 3
3 2 3
3 2 3
2 2 1 f
2 2 1 f
2 2 1 f
x x x y x g y
y y y z hay y g z
z z z x z g x
⎧ ⎧+ + = + =⎪ ⎪+ + = + =⎨ ⎨⎪ ⎪+ + = + =⎩⎩
Trong đó ( ) 3 2 f 2t t t t= + + và ( ) 3g 2 1t t= + . Nhận xét rằng g(t), f(t) là hàm đồng biến
trên R vì : ( ) 2 f' 3 2 2 0,t t t= + + > ( ) 2g 6 0,t t t= ≥ ∀ ∈R.
Suy ra hệ đã cho t−ơng đ−ơng với hệ : ( ) ( )4h 0
x y z
x
= =⎧⎨ =⎩
Trong đó ( ) 3 2 h 2 1t t t t= − − + . Nhận xét rằng ( ) h t liên tục trên R và : ( ) ( )h 2 0, h 0 0,−
( ) ( )h 1 0, h 2 0 nên ph−ơng trình ( )h 0t = có cả 3 nghiệm phân biệt đều nằm trong ( )2; 2−
Đặt ( )2cos , 0;x u u π= ∈ . Khi đó sin 0u ≠ và (4) có dạng :
( )
3 2
2cos , 0;
8cos 4cos 4cos 1 0
x y z u u
u u u
π⎧ = = = ∈⎨ − − + =⎩ hay
( )
( )3 2
2cos , 0;
sin 8cos 4cos 4cos 1 0
x y z u u
u u u u
π⎧ = = = ∈⎪⎨ − − + =⎪⎩
Hay
( )2cos , 0;
sin4 sin3
x y z u u
u u
π⎧ = = = ∈⎨ =⎩ (5).
14
Giải hệ ph−ơng trình (5) ta thu đ−ợc
3 5
; ;
7 7 7
u
π π π⎧ ⎫∈⎨ ⎬⎩ ⎭ và
( )2cos , 0;
3 5
; ;
7 7 7
x y z u u
u
π
π π π
⎧ = = = ∈⎪⎨ ⎧ ⎫∈⎨ ⎬⎪ ⎩ ⎭⎩
" 9. Tìm tất cả các bộ ba số d−ơng ( ), ,x y z thoả mãn hệ ph−ơng trình :
2004 6 6
2004 6 6
2004 6 6
2
2
2
x y z
y z x
z x y
⎧ = +⎪ = +⎨⎪ = +⎩
Giải :
Giả sử ( ), ,x y z là một bộ ba số d−ơng thoả mãn hệ PT đã cho . Không mất tính tổng quát ,
giả sử 0 x y z< ≤ ≤ . Nh− vậy :
2004 6 6 6 6
2004 6 6 6 6
2
2
x y z x x
z x y z z
⎧ = + ≥ +⎨ = + ≤ +⎩
2004 6
2004 6
1
1
1
xx x
x y z
zz z
≥⎧ ≥ ⎧⇒ ⇒ ⇒ = = =⎨ ⎨ ≤≤ ⎩⎩
Đảo lại, dễ thấy 1x y z= = = là một bộ ba số d−ơng thoả mãn yêu cầu bài toán .
) 10. Tìm điều kiện của m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm :
2 2 2
2 2
2 2
1
2
x y z xy yz zx
y z yz
x z xz m
⎧ + − + − − =⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
) 11. Giải hệ ph−ơng trình :
5 4 2
5 4 2
5 4 2
2 2
2 2
2 2
x x x y
y y y z
z z z x
⎧ − + =⎪ − + =⎨⎪ − + =⎩
) 12. Giải hệ ph−ơng trình :
( )
( )
( )
3 2 2
3 2 2
3 2 2
3 3 3
3 3 3
3 3 3
x y y y
y z z z
z x x x
⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + =⎪⎩
" 13. Tìm tất cả các số thực a sao cho hệ ph−ơng trình sau có nghiệm thực x, y, z :
1 1 1 1
1 1 1 1
x y z a
x y z a
⎧ − + − + − = −⎪⎨ + + + + + = +⎪⎩
Giải. ĐK: 1, 1, 1x y z≥ ≥ ≥
Hệ ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với hệ ph−ơng trình :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1 2
x x y y z z a
x x y y z z
⎧ − + + + − + + + − + + =⎪⎨ + − − + + − − + + − − =⎪⎩
Đặt u = 1 1x x− + + ; 1 1v y y= − + + ; 1 1s z z= − + +
Do 1, 1, 1x y z≥ ≥ ≥ nên 2, 2, 2u v s≥ ≥ ≥ . Ng−ợc lại nếu 2, 2, 2u v s≥ ≥ ≥ , ta có :
2 2
1 1
1 1
x x
ux x
+ − − = =+ + −
2
2
1 2 1 4
1 1
2 4
x u x u
u u
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ + = + ⇒ = + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
T−ơng tự đối với y, z .
15
Do đó bài toán của ta đ−a về bài toán t−ơng đ−ơng : Tìm tất cả các số thực a sao cho hệ
ph−ơng trình sau có nghiệm 2, 2, 2u v s≥ ≥ ≥ :
( )
2
11 1 1
1
u v s a
u v s
+ + =⎧⎪⎨ + + =⎪⎩
+ Điều kiện cần : Giả sử hệ ph−ơng trình (1) có nghiệm . Theo bất đẳng thức Bunhia ta có :
( ) 1 1 1 92 9
2
a u v s a
u v s
⎛ ⎞= + + + + ≥ ⇒ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠
+ Điều kiện đủ : Giả sử
9
2
a ≥ . Chúng ta sẽ chứng minh hệ ph−ơng trình (1) có nghiệm
Lấy 3s = ( thoả mãn 2s ≥ ) . Khi đó (1) t−ơng đ−ơng với : ( )
2 3
3 2 3
.
2
u v a
a
u v
+ = −⎧⎪⎨ −=⎪⎩
,u v⇔ là hai nghiệm của tam thức bậc hai : ( ) ( )2 3 2 32 2 3
2
a
t a t
−− − +
( )( )2 3 2 3 2 9
,
2
a a a
u v
− ± − −⇒ =
Chú ý : Đặt ( ) ( ) ( )2 22 9 0 6 2 2 3 6h a h h h h= − ≥ ⇒ + − > + > + . Tức là :
( ) ( )( )2 3 2 2 2 3 2 9a a a− − > − − 2, 2u v⇒ > > .
Nh− vậy hệ ph−ơng trình (1) có nghiệm 2, 2, 2u v s≥ ≥ ≥ .
Tóm lại các số thực a cần tìm là tất cả các số thực
9
2
a ≥ .
" 14. Giải hệ ph−ơng trình :
1 1 1
20 11 2007
1
x y z
x y z
xy yz zx
⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = +⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨ ⎝ ⎠⎪ + + =⎩
" 15. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2005-2006 –Bảng A )
Giải hệ ph−ơng trình :
( )
( )
( )
2
3
2
3
2
3
2 6.log 6
2 6.log 6
2 6.log 6
x x y x
y y z y
z z x z
⎧ − + − =⎪⎪ − + − =⎨⎪ − + − =⎪⎩
Giải . ĐK xác định , , 6x y z < . Hệ đã cho t−ơng đ−ơng với :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 2
3 2
3 2
log 6 1
2 6
log 6 2
2 6
log 6 3
2 6
x
y
x x
y
z
y y
z
x
z z
⎧ − =⎪⎪ − +⎪⎪ − =⎨ − +⎪⎪⎪ − =⎪ − +⎩
16
Nhận thấy ( ) f x =
2 2 6
x
x x− + là hàm tăng, còn ( ) ( )3g log 6x x= − là hàm giảm với x<6.
Nếu ( ), ,x y z là một nghiệm của hệ ph−ơng trình ta chứng minh x=y=z.Không mất tính
tổng quát giả sử { }max , ,x x y z= thì có hai tr−ờng hợp :
1) x y z≥ ≥ . Do ( )g x là hàm giảm, suy ra : ( ) ( ) ( )3 3 3log 6 log 6 log 6y z x− ≥ − ≥ −
x z y⇒ ≥ ≥ . Do y z≥ nên z y= . Từ (1) và (2) suy ra : x=y=z.
2) x z y≥ ≥ .
T−ơng tự ( ) ( ) ( )3 3 3log 6 log 6 log 6y x z− ≥ − ≥ −
z x y⇒ ≥ ≥ . Do x z≥ nên z x= . Từ (1) và (3) suy ra : x=y=z.
Ph−ơng trình ( ) ( ) f gx x= có nghiệm duy nhất x=3.
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất : x=y=z=3.
" 16. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2005-2006 –Bảng B )
Giải hệ ph−ơng trình :
3 2
3 2
3 2
3 2 5
3 2 5
3 2 5
x x x y
y y y z
z z z x
⎧ + + − =⎪ + + − =⎨⎪ + + − =⎩
Giải . Giả sử { }max , ,x x y z= . Xét hai tr−ờng hợp :
1) x y z≥ ≥
Từ hệ trên ta có :
3 2
3 2
3 2 5
3 2 5
x x x x
z z z z
⎧ + + − ≤⎨ + + − ≥⎩
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 2 1 0 1
11 2 1 0
x x x
zz z
⎧ ⎡ ⎤− + + ≤ ≤⎧⎪ ⎣ ⎦⇒ ⇒⎨ ⎨ ≤⎡ ⎤ ⎩⎪ − + + ≥⎣ ⎦⎩
2) x z y≥ ≥
Từ hệ trên ta có :
3 2
3 2
3 2 5
3 2 5
x x x x
y y y y
⎧ + + − ≤⎨ + + − ≥⎩
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 2 1 0 1
11 2 1 0
x x x
yy y
⎧ ⎡ ⎤− + + ≤ ≤⎧⎪ ⎣ ⎦⇒ ⇒⎨ ⎨ ≤⎡ ⎤ ⎩⎪ − + + ≥⎣ ⎦⎩
Cả hai tr−ờng hợp đều cho 1x z y= = = . Thử lại ta thấy 1x z y= = = là nghiệm của hệ ph−ơng trình .
Tóm lại hệ đã cho có nghiệm duy nhất : 1x z y= = = .
) 17. Giải hệ ph−ơng trình :
⎧ + + − − − =⎪⎪⎪⎪ + + + + + =⎨⎪⎪ + + − − − =⎪⎪⎩
1 1 1 8
3
1 1 1 118
9
1 1 1 728
27
x y z
x y z
x y z
x y z
x x y y z z
x x y y z z
17
" 18 . Giải hệ ph−ơng trình :
( )2 2
2
2 2
2
3 8 8 8 2 4 2
x y y x z
x x y yz
x y xy yz x z
⎧ + = − +⎪ + + = −⎨⎪ + + + = + +⎩
Giải . Hệ đã cho t−ơng đ−ơng với :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
0
1 2 1 0
4 4 1 2 1
x x y y y z
x x y z
x y y z x z
⎧ + + + =⎪⎪ + + + =⎨⎪ + + + = + + +⎪⎩
Xét : ( ) ( ) ( ); , ; , 1; 2 1a x y b x y y z c x z= = + + = + +G G G 2 2. 0, . 0, 4a b a c b c⇒ = = =G G G G G G
+ Nếu 0a =G G thì 10,
2
x y z= = = − .
+ Nếu 0a ≠G G thì bG và cG cộng tuyến nên : 2c b= ±G G , từ đó ta có : 10,
2
x y z= = = .
Tóm lại hệ có hai nghiệm :
1 1 1
0; 0; , 0; ;
2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .
iV. Hệ ph−ơng trình n ẩn. ( n >3, n∈N )
" 1. Giải hệ ph−ơng trình :
1996
1 2 3
1996
2 3 4
1996
1995 1996 1
1996
1996 1 2
.........
x x x
x x x
x x x
x x x
⎧ + =⎪ + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎪ + =⎩
Giải : Gọi X là giá trị lớn nhất của các nghiệm , 1,...1996ix i = và Y là giá trị bé nhất của chúng.
Thế thì từ ph−ơng trình đầu ta có :
2X 19961 2 3x x x≥ + =
Từ đó đối với các ph−ơng trình của hệ ta có : 2X 1996 , 1,2,....,1996kx k≥ ∀ =
Hay là ta có : 2X 1996X≥ suy ra : 19952 X≥ ( vì X >0 ) (1)
Lập luận một cách t−ơng tự ta cũng đi đến : 19952 Y≤ (2)
Từ (1) và (2) suy ra 1995 1995 X Y 2= =
Nghĩa là ta có : 19951 2 1996.... 2x x x= = = =
" 2. Giải hệ ph−ơng trình :
1 1 2 2
1 2
1 2
...
....
n n
n
n
x ax a x a
b b b
x x x c
−− −⎧ = = =⎪⎨⎪ + + + =⎩
với 1 2
1
, , ..., 0, 0
n
n i
i
b b b b
=
≠ ≠∑
18
Giải . Đặt : 1 1 2 2
1 2
... n n
n
x ax a x a
t
b b b
−− −= = = =
Ta có :
1 1 1
n n n
i i i i i i
i i i
x tb a x a t b
= = =
= + ⇒ = +∑ ∑ ∑ 1
1 1
1
n
in n
i
i i n
i i
i
i
c a
c a t b t
b
=
= =
=
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⇒ = + ⇒ =
∑∑ ∑ ∑
1
1
n
i
i
i i i n
i
i
c a
x a b
b
=
=
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⇒ = +
∑
∑
File đính kèm:
- HePTtuTHTT.pdf