Hệ phương trình

1 4 2 x x y y x y ⎧ ⎛ ⎞+ =⎪ ⎜ ⎟+⎪ ⎝ ⎠⎨ ⎛ ⎞⎪ − =⎜ ⎟⎪ +⎝ ⎠⎩ Giải . ĐK có nghĩa của hệ : 0, 0x y≥ ≥ và 2 2 0x y+ ≠ . Dễ thấy , nếu ( ),x y là nghiệm của hệ đã cho thì phải có x >0, y>0 . Do đó : Hệ đã cho 1 2 1 3 1 4 2 1 7 x y x x y y ⎧⎛ ⎞+ =⎪⎜ ⎟+⎝ ⎠⎪⇔ ⎨⎛ ⎞⎪ − =⎜ ⎟⎪ +⎝ ⎠⎩ ⇔ ( ) ( ) 1 1 2 2 1 3 7 1 2 2 1 2 3 7 x y x y x y ⎧ = −⎪ +⎪⎨⎪ = +⎪⎩ Nhân (1) với (2) theo vế ta đ−ợc : ( )( ) ( )( )1 1 8 21 7 3 6 7 4 0 6 3 7 xy x y y x y x y x y x x y x y = − ⇔ = + − ⇔ − + = ⇔ =+ ( vì x >0, y>0) Thay vào (2) và giải ra ta đ−ợc : 11 4 7 22 8 7 , 21 7 x y + += = .Thử lại ta thấy thoả mãn yêu cầu bt.  Iii. Hệ ph−ơng trình 3 ẩn. ) 1. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ngãi 1995-1996) Giải hệ ph−ơng trình : 3 2 3 2 3 2 6 12 8 0 6 12 8 0 6 12 8 0 y x x z y y x z z ⎧ − + − =⎪ − + − =⎨⎪ − + − =⎩ ) 4. Giải hệ ph−ơng trình : 2 3 2 3 2 3 12 48 64 12 48 64 12 48 64 x x y y y z z z x ⎧ − + =⎪ − + =⎨⎪ − + =⎩ " 5. Giải hệ ph−ơng trình : 19 5 2001 19 5 2001 19 5 2001 1890 1890 1890 x y z z y z x x z x y y ⎧ + = +⎪ + = +⎨⎪ + = +⎩ Giải . Chúng ta sẽ chứng minh hệ ph−ơng trình trên có nghiệm duy nhất 0x y z= = = . 13 Giả sử ( ), ,x y z là một nghiệm của hệ ph−ơng trình khi đó ( ), ,x y z− − − cũng là một nghiệm của hệ ph−ơng trình , nên không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết : có ít nhất hai trong ba số , ,x y z không âm. Ví dụ 0, 0x y≥ ≥ . Từ ph−ơng trình thứ nhất ta suy ra 0z ≥ . Mặt khác nếu 0 1u ≥ + Nếu 1u > thì 2000 2000 2000 1000 18 41890 1 2. 2.u u u u u u+ > + > = > + Do đó 2001 19 51890u u u u+ > + với mọi u>0. Bởi vậy nếu cộng từng vế của HPT ta suy ra 0x y z= = = .đpcm ) 6. Tìm điều kiện cần và đủ của m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm duy nhất : ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 x m y y my y m z z mz z m x x mx ⎧ = + − +⎪ = + − +⎨⎪ = + − +⎩ " 7. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2004 –Bảng A ) Giải hệ ph−ơng trình sau : ( ) ( ) ( ) 23 23 23 2 30 16 x x y z y y z x z z x y ⎧ + − =⎪⎪ + − =⎨⎪ + − =⎪⎩ " 8. Giải hệ ph−ơng trình : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 1 2 1 1 2 1 1 2 1 x x y x y y z y z z x z ⎧ + = − +⎪⎪ + = − +⎨⎪ + = − +⎪⎩ Giải . Viết lại hệ đã cho d−ới dạng : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 2 1 f 2 2 1 f 2 2 1 f x x x y x g y y y y z hay y g z z z z x z g x ⎧ ⎧+ + = + =⎪ ⎪+ + = + =⎨ ⎨⎪ ⎪+ + = + =⎩⎩ Trong đó ( ) 3 2 f 2t t t t= + + và ( ) 3g 2 1t t= + . Nhận xét rằng g(t), f(t) là hàm đồng biến trên R vì : ( ) 2 f' 3 2 2 0,t t t= + + > ( ) 2g 6 0,t t t= ≥ ∀ ∈R. Suy ra hệ đã cho t−ơng đ−ơng với hệ : ( ) ( )4h 0 x y z x = =⎧⎨ =⎩ Trong đó ( ) 3 2 h 2 1t t t t= − − + . Nhận xét rằng ( ) h t liên tục trên R và : ( ) ( )h 2 0, h 0 0,− ( ) ( )h 1 0, h 2 0 nên ph−ơng trình ( )h 0t = có cả 3 nghiệm phân biệt đều nằm trong ( )2; 2− Đặt ( )2cos , 0;x u u π= ∈ . Khi đó sin 0u ≠ và (4) có dạng : ( ) 3 2 2cos , 0; 8cos 4cos 4cos 1 0 x y z u u u u u π⎧ = = = ∈⎨ − − + =⎩ hay ( ) ( )3 2 2cos , 0; sin 8cos 4cos 4cos 1 0 x y z u u u u u u π⎧ = = = ∈⎪⎨ − − + =⎪⎩ Hay ( )2cos , 0; sin4 sin3 x y z u u u u π⎧ = = = ∈⎨ =⎩ (5). 14 Giải hệ ph−ơng trình (5) ta thu đ−ợc 3 5 ; ; 7 7 7 u π π π⎧ ⎫∈⎨ ⎬⎩ ⎭ và ( )2cos , 0; 3 5 ; ; 7 7 7 x y z u u u π π π π ⎧ = = = ∈⎪⎨ ⎧ ⎫∈⎨ ⎬⎪ ⎩ ⎭⎩ " 9. Tìm tất cả các bộ ba số d−ơng ( ), ,x y z thoả mãn hệ ph−ơng trình : 2004 6 6 2004 6 6 2004 6 6 2 2 2 x y z y z x z x y ⎧ = +⎪ = +⎨⎪ = +⎩ Giải : Giả sử ( ), ,x y z là một bộ ba số d−ơng thoả mãn hệ PT đã cho . Không mất tính tổng quát , giả sử 0 x y z< ≤ ≤ . Nh− vậy : 2004 6 6 6 6 2004 6 6 6 6 2 2 x y z x x z x y z z ⎧ = + ≥ +⎨ = + ≤ +⎩ 2004 6 2004 6 1 1 1 xx x x y z zz z ≥⎧ ≥ ⎧⇒ ⇒ ⇒ = = =⎨ ⎨ ≤≤ ⎩⎩ Đảo lại, dễ thấy 1x y z= = = là một bộ ba số d−ơng thoả mãn yêu cầu bài toán . ) 10. Tìm điều kiện của m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm : 2 2 2 2 2 2 2 1 2 x y z xy yz zx y z yz x z xz m ⎧ + − + − − =⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩ ) 11. Giải hệ ph−ơng trình : 5 4 2 5 4 2 5 4 2 2 2 2 2 2 2 x x x y y y y z z z z x ⎧ − + =⎪ − + =⎨⎪ − + =⎩ ) 12. Giải hệ ph−ơng trình : ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 x y y y y z z z z x x x ⎧ + + =⎪⎪ + + =⎨⎪ + + =⎪⎩ " 13. Tìm tất cả các số thực a sao cho hệ ph−ơng trình sau có nghiệm thực x, y, z : 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z a x y z a ⎧ − + − + − = −⎪⎨ + + + + + = +⎪⎩ Giải. ĐK: 1, 1, 1x y z≥ ≥ ≥ Hệ ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với hệ ph−ơng trình : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 x x y y z z a x x y y z z ⎧ − + + + − + + + − + + =⎪⎨ + − − + + − − + + − − =⎪⎩ Đặt u = 1 1x x− + + ; 1 1v y y= − + + ; 1 1s z z= − + + Do 1, 1, 1x y z≥ ≥ ≥ nên 2, 2, 2u v s≥ ≥ ≥ . Ng−ợc lại nếu 2, 2, 2u v s≥ ≥ ≥ , ta có : 2 2 1 1 1 1 x x ux x + − − = =+ + − 2 2 1 2 1 4 1 1 2 4 x u x u u u ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ + = + ⇒ = + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ T−ơng tự đối với y, z . 15 Do đó bài toán của ta đ−a về bài toán t−ơng đ−ơng : Tìm tất cả các số thực a sao cho hệ ph−ơng trình sau có nghiệm 2, 2, 2u v s≥ ≥ ≥ : ( ) 2 11 1 1 1 u v s a u v s + + =⎧⎪⎨ + + =⎪⎩ + Điều kiện cần : Giả sử hệ ph−ơng trình (1) có nghiệm . Theo bất đẳng thức Bunhia ta có : ( ) 1 1 1 92 9 2 a u v s a u v s ⎛ ⎞= + + + + ≥ ⇒ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ + Điều kiện đủ : Giả sử 9 2 a ≥ . Chúng ta sẽ chứng minh hệ ph−ơng trình (1) có nghiệm Lấy 3s = ( thoả mãn 2s ≥ ) . Khi đó (1) t−ơng đ−ơng với : ( ) 2 3 3 2 3 . 2 u v a a u v + = −⎧⎪⎨ −=⎪⎩ ,u v⇔ là hai nghiệm của tam thức bậc hai : ( ) ( )2 3 2 32 2 3 2 a t a t −− − + ( )( )2 3 2 3 2 9 , 2 a a a u v − ± − −⇒ = Chú ý : Đặt ( ) ( ) ( )2 22 9 0 6 2 2 3 6h a h h h h= − ≥ ⇒ + − > + > + . Tức là : ( ) ( )( )2 3 2 2 2 3 2 9a a a− − > − − 2, 2u v⇒ > > . Nh− vậy hệ ph−ơng trình (1) có nghiệm 2, 2, 2u v s≥ ≥ ≥ . Tóm lại các số thực a cần tìm là tất cả các số thực 9 2 a ≥ . " 14. Giải hệ ph−ơng trình : 1 1 1 20 11 2007 1 x y z x y z xy yz zx ⎧ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = +⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨ ⎝ ⎠⎪ + + =⎩ " 15. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2005-2006 –Bảng A ) Giải hệ ph−ơng trình : ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 2 6.log 6 2 6.log 6 2 6.log 6 x x y x y y z y z z x z ⎧ − + − =⎪⎪ − + − =⎨⎪ − + − =⎪⎩ Giải . ĐK xác định , , 6x y z < . Hệ đã cho t−ơng đ−ơng với : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 log 6 1 2 6 log 6 2 2 6 log 6 3 2 6 x y x x y z y y z x z z ⎧ − =⎪⎪ − +⎪⎪ − =⎨ − +⎪⎪⎪ − =⎪ − +⎩ 16 Nhận thấy ( ) f x = 2 2 6 x x x− + là hàm tăng, còn ( ) ( )3g log 6x x= − là hàm giảm với x<6. Nếu ( ), ,x y z là một nghiệm của hệ ph−ơng trình ta chứng minh x=y=z.Không mất tính tổng quát giả sử { }max , ,x x y z= thì có hai tr−ờng hợp : 1) x y z≥ ≥ . Do ( )g x là hàm giảm, suy ra : ( ) ( ) ( )3 3 3log 6 log 6 log 6y z x− ≥ − ≥ − x z y⇒ ≥ ≥ . Do y z≥ nên z y= . Từ (1) và (2) suy ra : x=y=z. 2) x z y≥ ≥ . T−ơng tự ( ) ( ) ( )3 3 3log 6 log 6 log 6y x z− ≥ − ≥ − z x y⇒ ≥ ≥ . Do x z≥ nên z x= . Từ (1) và (3) suy ra : x=y=z. Ph−ơng trình ( ) ( ) f gx x= có nghiệm duy nhất x=3. Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất : x=y=z=3. " 16. ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 2005-2006 –Bảng B ) Giải hệ ph−ơng trình : 3 2 3 2 3 2 3 2 5 3 2 5 3 2 5 x x x y y y y z z z z x ⎧ + + − =⎪ + + − =⎨⎪ + + − =⎩ Giải . Giả sử { }max , ,x x y z= . Xét hai tr−ờng hợp : 1) x y z≥ ≥ Từ hệ trên ta có : 3 2 3 2 3 2 5 3 2 5 x x x x z z z z ⎧ + + − ≤⎨ + + − ≥⎩ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 0 1 11 2 1 0 x x x zz z ⎧ ⎡ ⎤− + + ≤ ≤⎧⎪ ⎣ ⎦⇒ ⇒⎨ ⎨ ≤⎡ ⎤ ⎩⎪ − + + ≥⎣ ⎦⎩ 2) x z y≥ ≥ Từ hệ trên ta có : 3 2 3 2 3 2 5 3 2 5 x x x x y y y y ⎧ + + − ≤⎨ + + − ≥⎩ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 0 1 11 2 1 0 x x x yy y ⎧ ⎡ ⎤− + + ≤ ≤⎧⎪ ⎣ ⎦⇒ ⇒⎨ ⎨ ≤⎡ ⎤ ⎩⎪ − + + ≥⎣ ⎦⎩ Cả hai tr−ờng hợp đều cho 1x z y= = = . Thử lại ta thấy 1x z y= = = là nghiệm của hệ ph−ơng trình . Tóm lại hệ đã cho có nghiệm duy nhất : 1x z y= = = . ) 17. Giải hệ ph−ơng trình : ⎧ + + − − − =⎪⎪⎪⎪ + + + + + =⎨⎪⎪ + + − − − =⎪⎪⎩ 1 1 1 8 3 1 1 1 118 9 1 1 1 728 27 x y z x y z x y z x y z x x y y z z x x y y z z 17 " 18 . Giải hệ ph−ơng trình : ( )2 2 2 2 2 2 3 8 8 8 2 4 2 x y y x z x x y yz x y xy yz x z ⎧ + = − +⎪ + + = −⎨⎪ + + + = + +⎩ Giải . Hệ đã cho t−ơng đ−ơng với : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 0 1 2 1 0 4 4 1 2 1 x x y y y z x x y z x y y z x z ⎧ + + + =⎪⎪ + + + =⎨⎪ + + + = + + +⎪⎩ Xét : ( ) ( ) ( ); , ; , 1; 2 1a x y b x y y z c x z= = + + = + +G G G 2 2. 0, . 0, 4a b a c b c⇒ = = =G G G G G G + Nếu 0a =G G thì 10, 2 x y z= = = − . + Nếu 0a ≠G G thì bG và cG cộng tuyến nên : 2c b= ±G G , từ đó ta có : 10, 2 x y z= = = . Tóm lại hệ có hai nghiệm : 1 1 1 0; 0; , 0; ; 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .  iV. Hệ ph−ơng trình n ẩn. ( n >3, n∈N ) " 1. Giải hệ ph−ơng trình : 1996 1 2 3 1996 2 3 4 1996 1995 1996 1 1996 1996 1 2 ......... x x x x x x x x x x x x ⎧ + =⎪ + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎪ + =⎩ Giải : Gọi X là giá trị lớn nhất của các nghiệm , 1,...1996ix i = và Y là giá trị bé nhất của chúng. Thế thì từ ph−ơng trình đầu ta có : 2X 19961 2 3x x x≥ + = Từ đó đối với các ph−ơng trình của hệ ta có : 2X 1996 , 1,2,....,1996kx k≥ ∀ = Hay là ta có : 2X 1996X≥ suy ra : 19952 X≥ ( vì X >0 ) (1) Lập luận một cách t−ơng tự ta cũng đi đến : 19952 Y≤ (2) Từ (1) và (2) suy ra 1995 1995 X Y 2= = Nghĩa là ta có : 19951 2 1996.... 2x x x= = = = " 2. Giải hệ ph−ơng trình : 1 1 2 2 1 2 1 2 ... .... n n n n x ax a x a b b b x x x c −− −⎧ = = =⎪⎨⎪ + + + =⎩ với 1 2 1 , , ..., 0, 0 n n i i b b b b = ≠ ≠∑ 18 Giải . Đặt : 1 1 2 2 1 2 ... n n n x ax a x a t b b b −− −= = = = Ta có : 1 1 1 n n n i i i i i i i i i x tb a x a t b = = = = + ⇒ = +∑ ∑ ∑ 1 1 1 1 n in n i i i n i i i i c a c a t b t b = = = = ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⇒ = + ⇒ = ∑∑ ∑ ∑ 1 1 n i i i i i n i i c a x a b b = = ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⇒ = + ∑ ∑