Giáo án môn Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Bài 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Bài toán 1: Hãy đo chiều cao của một cây thông. Cây thông bên đường Lê Đại Hành, thành phố Đà Lạt (Hình 1) Hình 1 Bài toán 2: Hãy đo khoảng cách hai chiếc thuyền trên biển Cột Hải đăng Kê Gà thuộc xã Tân Thành, huyện Hàm Thuận Nam, Bình Thuận (Hình 2) được xây dựng từ năm 1897–1899 và toàn bộ bằng đá. Tháp đèn có hình bát giác, cao 66m so với mực nước biển. Trên biển có hai chiếc thuyền cách nhau một khoảng d cần xác định khoảng cách. Hình 2 Bài toán 3:Hãy đo chiều cao của thân tháp trên núi: Cột cờ Lũng Cú là một cột cờ quốc gia nằm ở đỉnh Lũng Cú hay còn gọi là đỉnh núi Rồng (Long Sơn) có độ cao khoảng 1.700m so với mực nước biển, thuộc xã Lũng Cú, huyện Đồng Văn, tỉnh Hà Giang, nơi điểm cực Bắc của Việt Nam (Hình 3). Hình 3 B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 1/Định lí côsin trong tam giác a) Khởi động Trong DABC cho biết hai cạnh AB, AC và góc A, hãy tính cạnh BC. b) Hình thành kiến thức mới: Định lí Trong tam giác ABC bất kì với ta có: Hệ quả: Từ định lí côsin ta suy ra: Gọi ma, mb, mc là đường trung tuyến của DABC xuất phát từ A, B, C. Ta có: = c/ Ví dụ: Ví dụ 1: Cho D ABC có , b = 85m, c = 54m. Tính a, , : Giải : Þ cos= - 0,2834 Þ = 106o28’ Ví dụ 2: Cho DABC có a = 7, b = 8, c = 6. Tính độ dài các đường trung tuyến của DABC. Giải : 2.Định lí sin trong tam giác a) Khởi động: Cho tam giác ABC vuông ở A nội tiếp trong đường trong đường tròn bán kính R và có BC=a, CA=b, AB=c. Chứng minh rằng: b) Hình thành kiến thức mới: Định lí Trong tam giác ABC bất kì với và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có: c/ Ví dụ: Ví dụ : Cho D ABC có, b = 210cm. Tính , các cạnh còn lại và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Giải: - Ta có: 3.Công thức tính diện tích tam giác a) Khởi động: Hãy viết các công thức tính diện tích tam giác theo một cạnh và đường cao tương ứng. b) Hình thành kiến thức mới: Cho tam giác ABC, kí hiệu: + Độ dài ba cạnh là: ; + là các đường cao của tam giác ABC lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C; + S là diện tích của tam giác ABC; + R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC; + Nửa chu vi tam giác ABC là ; Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau: ; (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (công thức Hê rông) (5) c/ Ví dụ: Cho DABC có các cạnh a = 13 m, b = 14 m, c = 15 m. a/ Tính diện tích tam giác ABC. b/Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. Giải: a) Ta có: b) 4. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc: a) Giải tam giác: là tìm một số yếu tố của tam giác khi biết các yếu tố khác. Ví dụ 1: Cho D ABC có, cạnh a = 17,4 m. Tính góc , các cạnh b,c. - Ta có: - Định lí sin trong tam giác: = Ví dụ 2:. Cho D ABC có cạnh a= 49,4cm , b=26,4cm và .Tính góc , các cạnh c. - Theo định lí côsin ta có: Vậy - Ta có: b) Ứng dụng vào việc đo đạc: Bài toán 1: Đo chiều cao của một cái tháp mà không thể đến được chân tháp. - Giả sử CD=h là chiều cao của tháp và C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho A, B, C thẳng hàng. Ta đo được khoảng cách AB và các góc . Chẳng hạn, AB=24m, , . Khi đó chiều cao h của tháp được tính như sau: Giải: - Ta có: - Ap dụng định lí sin trong tam giác ABD ta có: - Trong tam giác vuông CAD ta có: h=CD=AD.sin61,4(m) Bài toán 2: Tính khoảng cách từ một địa điểm trên bờ sông đến một gốc cây trên một cù lao ở giữa sông. - Giả sử cần phải đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo được khoảng cách AB, góc và . Chẳng hạn, ta đo được AB=40(m), , . Giải: Khi đó khoảng cách AC được tính như sau: - Ta có: - Ap dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: . Vậy . C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 1. ABC có a = 8 , c = 3 , B = 600 . Độ dài cạnh b bằng : A. 49 B. C.7 D. 2. ABC có BC = 3 , AC = 7 , AB = 8. Góc B bằng : A.600 B.300 C.450 D.720 3. ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng R. Tìm mệnh đề sai : A. B. C.c= 2Rsin(A+B) D. b = RsinA 4. Gọi S là diện tích ABC . Tìm mệnh đề đúng : A. S = a. ha B.S = abcosC C. S = D.S = absinC 5. ABC có a = 6 , b = 4 , c= 2. M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho BM = 3. Độ dài AM bằng : A. B.9 C.3 D. 6. Cho ABC thỏa mãn hệ thức b + c =2a. Tìm mệnh đề đúng : A. cosB + cosC = 2cosA B. sinB + sinC = 2sinA C. sinB + sinC = 1/2sinA D. sinB + cosC = 2sinA 7. 1 tam giác có 3 cạnh là 13, 14,15. Bán kính đường tròn nội tiếp là : A. 84 B. C.42 D. 8. 1 tam giác có 3 cạnh 26,28 , 30. Bán kính đường tròn nội tiếp r là : A. 16 B.8 C.4 D.4 9. 1 tam giác có 3 cạnh 52 , 56 , 60 . Bán kính vòng tròn ngoại tiếp R là : A.65/8 B.40 C.32,5 D.65/4 10. A(1;-2) , B(2;3) , C(0;1) . Diện tích ABC là : A. 13/2 B.13 C.26 D.13/4 11. Cho ABC , biết a = 17,4 , B = 44033’ , C = 640 . Cạnh b bằng : A. 16,5 B. 12,9 C. 15,6 D. 22,1 12. Cho ABC , biết a = 16,8 , B = 56013’ , C = 710 . Cạnh b bằng : A. 29,9 B.14,1 C.17,5 D.19,9 13. Cho ABC , biết a = 49,4 ; b= 26,4 ; C = 47020’. Cạnh c bằng : A.64 B. 37 C.28,5 D.136,9 D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG Bài toán 1: Hãy đo chiều cao của một cây thông. Cây thông bên đường Lê Đại Hành, thành phố Đà Lạt (Hình 1) Hình 1 * Tìm hiểu yêu cầu bài toán: Đo chiều cao của một cây. * Xây dựng mô hình toán học và giải bài toán: Hình 1 + Xây dựng tam giác ABH vuông tại H, trong đó B ứng với vị trí của điểm cao nhất của cây, A ứng với vị trí trên mặt đất cách gốc cây một khoảng AH, H thuộc thân cây sao cho H là hình chiếu của A trên thân cây, O ứng với vị trí của gốc cây. (Hình 2) * Tiến hành đo đạc để lấy số liệu: + Sử dụng thước đo góc để đo góc ; + Sử dụng thước đo chiều dài để đo khoảng cách AH=d và đo khoảng cách OH=l; *Tính toán trên số liệu đo được: + Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: Þ + Do đó *Kết luận: Chiều cao của cây là: Bài toán 2: Hãy đo khoảng cách hai chiếc thuyền trên biển Cột Hải đăng Kê Gà thuộc xã Tân Thành, huyện Hàm Thuận Nam, Bình Thuận (Hình 2) được xây dựng từ năm 1897–1899 và toàn bộ bằng đá. Tháp đèn có hình bát giác, cao 66m so với mực nước biển. Trên biển có hai chiếc thuyền cách nhau một khoảng d cần xác định khoảng cách. * Tìm hiểu yêu cầu bài toán: Đo khoảng cách hai chiếc thuyền trên biển. * Xây dựng mô hình toán học và giải bài toán: + Xây dựng tam giác ABH như sau: A là vị trí ở đỉnh tháp dùng để đo góc; B là vị trí của chiếc thuyền 1; C là vị trí của chiếc thuyền 2; H là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng nước (giả sử mặt nước trong phạm vi khảo sát đo là phẳng). * Tiến hành đo đạc để lấy số liệu: + Đặt , . h + Gọi Ab’ là tia song song và cùng hướng với tia HB, tia Ac’ là tia song song và cùng hướng tia HC. + Xác định chiều cao:. + Sử dụng thước đo góc để đo các góc sau: * Tính toán trên số liệu đo được: + Xét tam giác ABH vuông tại H, có AH=h, (so le trong), ta có: hay . + Xét tam giác ACH vuông tại H, có AH=h, (so le trong), ta có: hay . + Xét tam giác ABC có , . Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có: Þ Þ * Kết luận: Vậy khoảng cách giữa chiếc thuyền 1 và chiếc thuyền 2 là: Nhận xét: Ta có thể tính được , từ cách xây dựng tam giác như ở trên. Từ đó có thể biết được chiếc thuyền 1và chiếc thuyền 2 cách chân tháp bao nhiêu. Bài toán 3:Hãy đo chiều cao của thân tháp trên núi: Cột cờ Lũng Cú là một cột cờ quốc gia nằm ở đỉnh Lũng Cú hay còn gọi là đỉnh núi Rồng (Long Sơn) có độ cao khoảng 1.700m so với mực nước biển, thuộc xã Lũng Cú, huyện Đồng Văn, tỉnh Hà Giang, nơi điểm cực Bắc của Việt Nam (Hình 3). Hình 3 * Tìm hiểu yêu cầu bài toán: Đo chiều cao của thân tháp trên núi. * Xây dựng mô hình toán học và giải bài toán: Hình 7 + Gọi h là chiều cao của thân tháp cột cờ trên núi Lũng Cú cần đo. + Gọi điểm O là đỉnh của thân tháp; C là điểm đáy của thân tháp; hai điểm A, B là hai điểm ở thung lũng dưới núi là hai vị trí được chọn để xây dựng các tam giác ABC, ABO sao cho bốn điểm A, B, C, O đồng phẳng. Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng AB. (Hình 8) * Tiến hành đo đạc để lấy số liệu: + Đặt . + Sử dụng thước đo chiều dài để đo khoảng cách hai điểm A, B là: l. + Sử dụng thước đo góc để đo các góc sau: , , . * Tính toán trên số liệu đo được: + Xét tam giác ABC, có AB=l, , . Do đó ta có: . Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta có: Þ. -Xét tam giác HBC vuông tại H, có , , ta có: hay (1) + Xét tam giác ABO, có AB=l, ,. Do đó ta có: . Áp dụng định lí sin vào tam giác ABO, ta có: Þ. -Xét tam giác HBO vuông tại H, có , , ta có: hay (2) + Từ (1) và (2), ta có: *Kết luận: Vậy chiều cao của thân tháp cột cờ trên đỉnh núi Lũng Cú là: E. HOẠT ĐỘNG MỞ RỘNG: