Giáo án môn Đại số và Giải tích Lớp 11 - Chương 4: Giới hạn - Bài 2: Giới hạn của hàm số

Chương 4 Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ MỤC TIÊU HS nắm được: + Khái niệm giới hạn của hàm số. + Định lý về giới hạn. + Giới hạn của hàm số ở vô cực và giới hạn vô cực của hàm số. + Tính được giới hạn của hàm số tại 1 điểm. + Tính được giới hạn tại A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG x 5 4,345 3,96 2,194 1,398 0,999999 0,99 0,3801 -3,52 -7,96 f(x) 10 8,69 7,92 4,388 2,796 1,999998 1,98 0,7602 -7,04 -15,92 Em có nhận xét gì về giá trị của x và f(x) ? x 1,0494 1,0395 1,0296 1,0197 1,0098 0,9999 0,99 0,9801 0,9702 0,9603 f(x) 2,0988 2,079 2,0592 2,0394 2,0196 1,9998 1,98 1,9602 1,9404 1,9206 B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM a. Khởi động Xét hàm số 1) Biến x gồm những giá trị khác 1, lập thành một dãy số (xn), xn ®1 x .. f(x) a. Chứng minh rằng b.Tìm giới hạn của dãy số . 2) Chứng minh rằng với dãy số bất kì và ta luôn có b. Hình thành kiến thức mới 1. Định nghĩa 1 Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\ Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x nếu với dãy số (x ) bất kì, Và x , ta có f(x ). Kí hiệu hay f(x) khi x c. ví dụ VD1: Cho hàm số Chứng minh rằng Giải : Hàm số xđ: Giả sử (x ) dãy số bất kì và do đó Nhận xét ,với c là hằng số 2. Định lí về giới hạn hữu hạn a.Định lí 1 a)Giả sử và khi đó . b)Nếu và thì và b.VD3:Tính Giải : 3. Giới hạn một bên a.Định nghĩa 2 a) Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0;b) Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f(x) khi x nếu với dãy số (x ) bất kì, và x , ta có f(x ). Kí hiệu . a) Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0) Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=f(x) khi x nếu với dãy số (x ) bất kì, và x , ta có f(x ). Kí hiệu . Định lí 2 khi và chỉ khi . b.VD4 Cho hàm số Tìm , , ( nếu có ). Giải: Vậy không tồn tại vì II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC a. Khởi động Cho hµm sè cã ®å thÞ nh­ h×nh sau: Quan s¸t ®å thÞ vµ cã nhËn xÐt g× vÒ gi¸ trÞ cña hµm sè khi , . Trả lời: +/ Khi th× gi¸ trÞ cña hµm sè tiÕn ®Õn 0 +/ Khi th× gi¸ trÞ cña hµm sè tiÕn ®Õn . +/ Khi th× gi¸ trÞ cña hµm sè tiÕn ®Õn . b, Hình thành kiến thức mới Định nghĩa a) Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a,) Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x nếu với dãy số (x ) bất kì, x >a và x , ta có f(x ). Kí hiệu hay f(x) khi x b) Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng () Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x nếu với dãy số (x ) bất kì, x <a và x , ta có f(x ). Kí hiệu hay f(x) khi x c. Ví dụ VD5: Tính caùc giôùi haïn sau : a) b) Giải: Chia cả tử và mẫu cho x lũy thừa cao nhất rồi áp dụng ĐL 1. a) Chú ý a)Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có c = c =0 b) Ñònh lyù veà giôùi haïn höõu haïn cuûa haøm soá khi vaãn coøn ñuùng khi b) VD6: Tìm Giải: Chia cả tử và mẫu cho x2, ta có III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 1. Giới hạn vô cực Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là - ∞ khi nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và , ta có . Kí hiệu: hay khi . Nhận xét: 2. Một vài giới hạn đặc biệt a) với k nguyên dương. b) nếu k là số lẻ c) nếu k là số chẵn. 3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực a, Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) Nếu và ( hoặc - ∞ ) thì được tính theo quy tắc cho trong bảng sau: L > 0 + ∞ + ∞ - ∞ - ∞ L < 0 + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ b, Quy tắc tìm giới hạn của thương f(x)/g(x) Dấu của g(x) L ± ∞ Tuỳ ý 0 L > 0 0 + + ∞ - - ∞ L < 0 + - ∞ - + ∞ Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp , Ví dụ VD7: Tính caùc giôùi haïn: Ta có (x3-2x) =x3(1-) = .Vì x3 = ; VD8: Tính caùc giôùi haïn: 1) 2) G: 1, = .Vì x4 = ; 2) = Vì Chú ý * PP THÖÔØNG DUØNG ÑEÅ KHÖÛ CAÙC DAÏNG VO ÑÒNH : Daïng : Nhaân vôùi bieåu thöùc lieân hôïp ñeå khöû caên hoaëc phaân tích ra thöøa soá , ruùt goïn bieåu thöùc laøm maãu baèng 0 . Daïng : Ñaët soá haïng coù baäc cao nhaát ôû töû vaø maãu laøm thöøa chung , ruùt goïn coù theå caàn xeùt kó x+ hay x- ? Daïng : Nhaân vôùi bieåu thöùc lieân hôïp ñeå khöû caên vaø sau ñoù thöôøng chuyeån veà daïng . C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1. bằng a. 5 b. 7 c. 9 d. 2. bằng a. b. 5 c. 9 d. 10 3. bằng a. b. 1 c. 2 d. 4. bằng a. 5 b. 1 c. d. 5. bằng a. b. c. d. 6. bằng a. b. 2 c. 1 d. 7. Cho . Khi đó a. b. c. d. 8. Cho . Khi đó a. b. c. d. 9. bằng a. b. c. d. 10. bằng a. b. 5 c. d. 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1: Cho haøm soá f(x) = Tìm a ñeå f(x) coù giôùi haïn khi x->1 vaø tìm giôùi haïn ñoù. D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG Bài 1: Tính caùc giôùi haïn sau : a) ; b) c) d) Bài 2: Tính caùc giôùi haïn sau : a) . b) . Bài 3: Tính caùc giôùi haïn : a) b) c) E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG Bài 7: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d′ lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A′B′ của nó tới quang tâm O của thấu kính (h.54). Công thức thấu kính là  a) Tìm biểu thức xác định hàm số d′=φ(d). b) Tìm , ,.Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được. Hướng dẫn giải: a) Từ hệ thức  b) =vì d-f>0 khi Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn lớn hơn f thì ảnh của nó dần tới dương vô cực.  = vì d-f<0 khi Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn nhỏ hơn f thì ảnh của nó dần tới âm vô cực. = Ý nghĩa: Nếu vật thật AB ở xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó ở ngay trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F' và vuông góc với trục chính).