Giáo án môn Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình - Bài 4: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình sau: a. b. c. Bài 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm của các hệ bất phương trình sau: a. b. Bài 3: Cho hệ bất phương trình Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG Bài 1: (Bài toán mở đầu ) Trong hoạt động chào mừng ngày thành lập Đoàn 26/3, lớp 10A tham gia một gian hàng ẩm thực. Trong gian hàng này, lớp 10A bán hai loại nước giải khát bao gồm nước cam và nước táo. Ban pha chế chuẩn bị và tính toán lượng sản phẩm pha được trên 1 phần nguyên liệu gồm 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 10000 tiền lãi, mỗi lít nước táo nhận được 15000 tiền lãi. Hỏi trên mỗi phần nguyên liệu, cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để được số tiền lãi nhiều nhất ? Giải: Trong bài toán trên, gọi lần lượt là số lít nước cam và nước táo cần pha. Viết tất cả các điều kiện của . Đk: Hãy xây dựng bất phương trình mô tả mối liên hệ giữa số lít nước mỗi loại cần pha với các nguyên liệu cho phép. Số tiền lãi thu được là Số gam đường cần dùng là Số gam hương liệu cần dùng là Số lít nước cần dùng là Vậy các giá trị của x và y phải thỏa tất cả các điều kiện : Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác Phải pha số lượng nước như thế nào để số tiền lời thu được là nhiều nhất? Số tiền lãi thu được là (nghìn đồng). Bài toán trở thành nài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên miền nghiệm của hệ phương trình (*). T đạt giá trị lớn nhất khi tại một trong các đỉnh của tứ giác . Ta có O(0; 0), A(7; 0), B(6; 3), C(4; 5), D(0; 6). Từ đó suy ra: T(0; 0) = 0 T(7; 0) = 70000 T(6; 3) =105000 T(4; 5) =115000 T(0; 6) =90000 Vậy phương án pha 4 lít nước cam, 5 lít nước táo trên 1 phần nguyên liệu sẽ có đượ tiền lãi cao nhất. Bài 2: Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa. Nơi cho thuê xe chỉ có 10 xe hiệu TOYOTA và 9 xe hiệu FORD. Một chiếc xe hiệu TOYOTA có thể chở 20 người và 0,6 tấn hàng. Một chiếc xe hiệu FORD có thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng. Tiền thuê một xe hiệu TOYOTA là 4 triệu đồng, tiền thuê một xe hiệu một xe hiệu FORD là 3 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất? A. 5 xe hiệu TOYOTA và 4 xe hiệu FORD . B. 4 xe hiệu TOYOTA và 5 xe hiệu FORD . C. 5 xe hiệu TOYOTA và 5 xe hiệu FORD . D. 4 xe hiệu TOYOTA và 4 xe hiệu FORD . Giải: x y O I A B C 10 7 14 9 6 15 Gọi lần lượt là số xe loại TOYOTA, loại FORD cần thuê Từ bài toán ta được hệ bất phương trình (*) Tổng chi phí T(x, y) = 4x + 3y (triệu đồng) Thực chất của Bài toán này là tìm x, y nguyên không âm thoả mãn hệ (*) sao cho T(x, y) nhỏ nhất. Bước tiếp theo là ta tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình Miền nghiệm là miền tứ giác lồi IABC. Ta cần xác định toạ độ (x, y) của một điểm thuộc miền tứ giác IABC (kể cả biên) sao cho T(x, y) = 4x + 3y đạt cực tiểu. Xét họ đường thẳng cho bởi phương trình: 4x + 3y = T (TR) hay , ta thấy đường thẳng này song song với đường thẳng (T0). Khi T tăng, đường thẳng này tịnh tiến song song lên phía trên. Khi T giảm, đường thẳng này tịnh tiến song song xuống phía dưới. Giá trị nhỏ nhất của T đạt được tại đỉnh I của tứ giác IABC là giao điểm của hai đường thẳng 2x + 5y = 30 và 2x + y = 14. Toạ độ của I là (xI = 5; yI = 4). Như vậy thuê 5 xe hiệu TOYOTA và 4 xe hiệu FORD thì chi phí vận tải là thấp nhất. E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG 1. Sơ lược về sự ra đời của lý thuyết tối ưu Từ những năm 287 đến 212 trước Công nguyên, nhà Vật lý học nổi tiếng Archimeds đã đưa ra bài toán tìm đới cầu có diện tích bề mặt cho trước sao cho thể tích của nó là lớn nhất. Cũng như những bài toán thực tiễn khác, từ xa xưa con người đà quan tâm tới các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất hay tìm một phương án tốt nhất trong các phương án có thể, nhằm đạt mục tiêu cao nhất trong một điều kiện hay một hoàn cảnh nào đó. Các bài toán tối ưu đó đã ra đời từ rất sớm với sự đóng góp của các nhà toán học Tiền bối như Fermat (1601-1665), Leibnitz (1646-1716), Euler (1707-1783), Dirichle (1805-1859), Tuy nhiên, mãi đến những thập kỷ 30 và 40 của thế kỷ XX, Tối ưu hóa mới được hình thành với tư cách là một lý thuyết độc lập theo các hướng nghiên cứu khác nhau. Ngày nay, nhằm đáp ứng và thúc đẩy sự phát triển của kinh tế, khoa học và kỹ thuật, hàng loạt bài toán thực tế được nảy sinh như bài toán lập kế hoạch vận tải hàng hóa, thiết kế mạng lưới giao thông, định tuyến tối ưu mạng viễn thông, bố trí các địa điểm lắp đặt các nhà máy, sao cho hiệu quả kinh tế thu được là cao nhất. Quy hoạch tuyến tính là một trong những lớp bài toán tối ưu quan trọng nhất và được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Thế nhưng mãi đến năm 1947, G. B. Dantzig mới đưa ra được mô hình toán học này khi nghiên cứu các bài toán lập kế hoạch cho không quân Mỹ. Ngay sau khi Dantzig đưa ra quy hoạch tuyến tính, người ta thấy rất nhiều bài toán thực tế thuộc các lĩnh vực khác nhau có thể mô tả toán học là quy hoạch tuyến tính. 2. Em có biết? GS. Hoàng Tụy – “Cha đẻ”của lý thuyết tối ưu toàn cục  Giải thưởng Constantin caratheodory của Hội quốc tế về tối ưu toàn cục (Intemational society of global optimization) được thành lập năm 2011, Hội đồng khoa học của giải thưởng đã quyết định chọn người đầu tiên để trao giải là GS. Hoàng Tụy, công nhận ông là nhà toán học đã có công khai sinh và đóng góp cơ bản xây dựng lý thuyết tối ưu toàn cục. GS. Hoàng Tụy sinh năm 1927 tại làng Xuân Đài, Điện Bàn, Quảng Nam. Trong hoàn cảnh kháng chiến chống Pháp rất khó khăn, ông vừa dạy học ở trường phổ thông và sư phạm vừa tự học chương trình đại học về toán của Liên Xô. Năm 1956 ông được cử làm cán bộ giảng dạy  đại học sư phạm Hà Nội,  tháng 8/1957 được cử sang thực tập ở Trường đại học tổng hợp Matscơva. Tại đây ông đã hoàn thành luận án tiến sĩ toán - lý và bảo vệ vào tháng 3/1959. Về nước, ông dạy tại Trường đại học tổng hợp Hà Nội và làm chủ nhiệm khoa toán, cho đến năm 1968 chuyển sang Uỷ ban khoa học kỹ thuật Nhà nước phụ trách Phòng nghiên cứu toán học, tiền thân của Viện toán học sau này mà GS. Lê Văn Thiêm và ông là Viện trưởng trong hai mươi năm đầu. Chính ông là người đề xuất mở các lớp phổ thông  chuyên toán đầu tiên cho học sinh có năng khiếu toán và trong nhiều năm là người thầy mẫu mực của các lớp đó ở Trường đại học tổng hợp Hà Nội (hồi đó trường sơ tán ở Đại Từ và các lớp phổ thông chuyên toán gọi là các lớp Ao – lớp nhỏ nhất của khoa Toán, còn gọi là khoa A). Năm 1984, GS.Hoàng Tuỵ được GS. D. Hinrichsen, Trường đại học tổng hợp Bremen (CHLB Đức), mời đến làm việc và báo cáo trong seminar về kết quả nghiên cứu bài toán tối Ưu. Sinh viên hôm đó rất thán phục nội dung toán học và tính sư  phạm cao trong bài giảng của ông. Họ cho rằng, các giáo sư toán hoc Việt Nam đều là nhà sư phạm giỏi, viết bảng cũng rất đẹp! Là tác giả của 170 công trình khoa học được công bố trên các tạp chí toán học quốc tế có uy tín, GS. Hoàng Tuỵ được thế giới công nhận là “cha đẻ” của lý thuyết tối ưu toàn cục, trong đó có khái niệm quan trọng “Tuy’s cut” (lát cắt Tuỵ) mang tên ông. Nhân dịp sinh nhật lần thứ 70 của GS. Hoàng Tuỵ, một cuộc hội thảo quốc tế ba ngày (từ 20 đến 22/8/1997) đã được tổ chức tại Viện công nghệ Linkoping, Thuỵ Điển  để vinh danh ông, với chủ đề: “Từ tối ưu địa phương đến tối ưu toàn cục”. Một số công trình trình bày trong hội thảo này được tập hợp thành một cuốn sách đề tặng GS. Hoàng Tuỵ, do nhà xuất bản Kluwer in (là một nhà xuất bản lớn về khoa học và kỹ thuật trên thế giới, sau này đã sát nhập vào Springer). Năm 2007,  nhân dịp GS Hoàng Tuỵ 80 tuổi, một lần nữa một hội thảo quốc tế lớn được tổ chức ở Pháp để mừng thọ và vinh danh ông. Ngày nay, nhiều ý tưởng, định lý của ông về tối ưu, và đặc biệt là tối ưu toàn cục, đã trở thành  kinh điển. Cuốn sách Global Optimization - Deterministic Approches (Tối ưu toàn cục - tiếp cận tất định) dày 694 trang, do GS.Hoàng Tuỵ viết chung với GS. Reiner Horst (CHLB Đức)ø trình bày chủ yếu những kết quả của ông, đã được nhà xuất bản Springer in lần đầu năm 1990, lần thứ hai năm 1993, lần thứ ba (có sửa chữa) năm 1996. Đây là cuốn sách chuyên khảo có hệ thống chặt chẽ về chuyên ngành tối ưu toàn cục, được xem là công cụ nhiên cứu quan trọng nhất cho bất cứ ai đi vào chuyên ngành này. Theo giáo sư người Nhật Hiroshi Konno, cuốn sách ấy như một kiểu “kinh thánh” trong ngành, và thực tế, nhiều người bắt đầu các công trình nghiên cứu nghiêm túc của mình về tối ưu toàn cục chính là nhờ được cổ vũ bởi cuốn sách mở đường.  Một nhà toán học Nhật khác gọi GS.Hoàng Tuỵ là “Ông già Noel đến từ một đất nước phương Nam”, vì ông có mái tóc trắng như tuyết và cứ mỗi lần đến Nhật Bản lại mang tới cho các nhà toán học xứ sở hoa anh đào nhiều ý tưởng mới, hấp dẫn như những món quà mà ông già Noel mang lại. Ý tưởng đầu tiên về việc mở lớp phổ thông chuyên toán ở Việt Nam thuộc về GS.Hoàng Tụy, lúc đó ông là chủ nhiệm khoa toán, Trường  Đại học Tổng hợp Hà Nội. Ban đầu được gọi là “Lớp toán đặc biệt", sau đó đổi tên là “Lớp toán dự bị” rồi "Lớp chuyên toán". Chính ông cũng là một trong số những nhà toán học đầu tiên của Việt Nam tham khảo kinh nghiệm và nhờ sự giúp đỡ của một số bạn bè quốc tế  để phân tích, cân nhắc, đề xuất, cuối cùng là năm 1974, Việt Nam đã cử đoàn gồm 5 học sinh giỏi đầu tiên đi dự thi Olympic toán quốc tế (IMO 1974), ngay lần đầu tiên đó Hoàng Lê Minh đã giành huy chương vàng, Vũ Đình Hòa huy chương bạc, Đặng Hoàng  Trung và Tạ Hồng Quảng huy chương đồng, còn Nguyễn Quốc Thắng chỉ thiếu 1 điểm thì được huy chương đồng. Với những đóng góp to lớn cho ngành toán học Việt Nam, năm 1996, GS.Hoàng Tuỵ được Nhà nước trao tặng Giải thưởng Hồ Chí Minh. Năm 2010, ông nhận được giải thưởng Phan Chu Trinh vềø giáo dục.