Giáo án Hình học Lớp 12 - Chương 3, Bài 2: Phương trình mặt phẳng

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM TRONG HỆ TỌA ĐỘ Oxyz TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ Oxyz TÒA NHÀ TRỤ SỞ LIÊN HỢP QUỐC CẦU THANG RUỘNG BẬC THANG Ta đã biết tọa độ của điểm, tọa độ của véc tơ trong không gian, vậy với mặt phẳng thì biểu diễn dưới dạng tọa độ thế nào? B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC. VÉC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG. +) HĐ1: Khởi động. GỢI Ý Mối quan hệ giá của véc tơ với mặt phẳng (a). Giá của véc tơ thế nào với mặt phẳng (a)? Vuông góc với (a). +) HĐ2: Hình thành kiến thức. Định nghĩa. Cho mặt phẳng (a). Nếu véc tơ khác và có giá vuông góc với mặt phẳng (a) thì gọi là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (a). +) HĐ3: Củng cố. GỢI Ý HĐ3.1. Chọn câu trả lời đúng? HĐ3.2. Một mặt phẳng có bao nhiêu véctơ pháp tuyến? Chú ý: Nếu là VTPT của (P) thì (k ¹ 0) cũng là VTPT của (P). BÀI TOÁN. (TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ) +) HĐ1: Khởi động. GỢI Ý Trong không gian Oxyz cho hai véctơ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng . Biết HĐ1.1. Tính và kết luận về giá của vectơ với giá của vectơ ? HĐ1.2. Tính và kết luận về giá của vectơ với giá của vectơ ? HĐ1.3. So sánh vectơ và vectơ ? HĐ1.4. Biết hai véctơ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng và . Khi đó có kết luận gì mối quan hệ giữa và mp (a). Vì sao ? +) HĐ2: Hình thành kiến thức: Tích có hướng của hai véctơ. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng và hai véctơ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng . Khi đó là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng . Ghi chú. Véc tơ xác định như trên gọi là tích có hướng (hay tích véc tơ) của hai véc tơ và , ký hiệu là hoặc . Tích vô hướng của hai véc tơ có kết quả là 1 số, tích có hướng của hai véc tơ có kết quả là 1 vectơ. +) HĐ3: Củng cố. GỢI Ý HĐ3.1. Cho hai véctơ và thì A. B. C. D. B. HĐ3.2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3). Hãy tìm tọa độ của một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). (1;2;2) HĐ3.3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3). Khi đó tọa độ của ba điểm này có thỏa mãn phương trình x + 2y + 2z – 6 = 0 không? Ta nói phương trình trên là phương trình của mặt phẳng (ABC), vậy phương trình mặt phẳng có tồn tại. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG. +) HĐ1: Khởi động. GỢI Ý HĐ1.1. Trong không gian Oxyz, cho điểm và khác . Khi đó có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm véc tơ pháp tuyến? Điều kiện cần và đủ để điểm thuộc mặt phẳng là gì? Ta có M Î (P) Û Û HĐ1.2. Trong không gian Oxyz, cho điểm thỏa mãn phương trình (trong đó các hệ số không đồng thời bằng 0). Chứng minh tập hợp các điểm là một mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến . Do các hệ số không đồng thời bằng 0 nên ta chọn điểm sao cho . Gọi là mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm véc tơ pháp tuyến. Ta có: +) HĐ2: Hình thành kiến thức. Định nghĩa. Phương trình có dạng , trong đó các hệ số không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Nhận xét. a) : Þ có một véc tơ pháp tuyến là . b) Phương trình của mặt phẳng qua và có véc tơ pháp tuyến là: +) HĐ3: Củng cố. GỢI Ý HĐ3.1. Hãy tìm một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng HĐ3.2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng với Phương trình tổng quát của mặt phẳng là HĐ3.3. Cho mặt phẳng : . Nếu thì vị trí tương đối của gốc tọa độ O và là gì? HĐ3.4. Cho mặt phẳng : . Nếu thì vị trí tương đối của trục Ox và là gì? (tương tự với hoặc ) HĐ3.5. Cho mặt phẳng : . Nếu thì vị trí tương đối của mặt phẳng (Oxy) và là gì? HĐ3.6. Cho mặt phẳng : . Khi các hệ số A, B, C, D đều khác 0 hãy xác định giao điểm của và các trục tọa độ? cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm có tọa độ là (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c). Nhận xét: Nếu các hệ số A, B, C, D đều khác 0 thì có thể đưa phương trình của (P) về dạng: (*) (*) đgl phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn. C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP. Bài toán. GỢI Ý Đọc tất cả các véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABB’A’) trong hình vẽ sau: Tìm một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, với A(2; 1; 1), B(2; –1; –1). Cho , . Tính Xác định một VTPT của các mặt phẳng: a) b) Lập phương trình của mặt phẳng đi qua các điểm: a) A(1; 1; 1), B(4; 3; 2), C(5; 2; 1) b) A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3) a) b) D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG. Bài toán 1. Kiểm tra tính đồng phẳng của 4 điểm trong không gian? E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG. CHÙM MẶT PHẲNG Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d, biết . Khi đó, tập hợp các mặt phẳng () chứa đường thẳng d nói trên được gọi là chùm mặt phẳng xác định bởi và và kí hiệu là . Người ta chứng minh được phương trình của chùm có dạng: với