Giáo án Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Bài 3: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 3: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ MỤC TIÊU - Hiểu được khái niệm tích vô hướng của hai vectơ , biết được rằng tích của hai vectơ là một số thực. - Hiểu được các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ. - Nắm được biểu thức toạ độ của tích vô hướng của hai vectơ . - Xác định đúng góc giữa hai vectơ bất kì, tính được tích vô hướng của hai vectơ A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Hãy nêu cách tính cường độ lực : Cho ba lực cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của đều bằng 30 N và góc . Khi đó cường độ lực của là bao nhiêu ? Sử dụng qui tắc hình bình hành tìm được tổng hợp lực của . Từ đó tính được cường độ lực của Vì sao xe 1 chuyển động chậm hơn xe 2 ? Quan sát 2 chiếc xe cùng cân nặng dịch chuyển từ A đến B dưới tác động của lực (cùng độ lớn) theo 2 phương khác nhau. Chưa tính được B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 1. Định nghĩa VD1 : Hãy nêu cách tính công A của lực : Trong vật lý , ta biết rằng nếu có 1 lực tác động lên một vật tại điểm O và làm cho vật di chuyển 1 quãng đường OO’ thì công A của lực được tính theo công thức : Trong toán học, giá trị A trên được gọi là tích vô hướng của hai vectơ Học sinh áp dụng công thức để tính ĐỊNH NGHĨA Cho hai vectơ và khác vectơ . Tích vô hướng của và là một số, kí hiệu là ., được xác định bởi công thức sau : Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ và bằng vectơ ta qui ước: CHÚ Ý 1/ Với và khác vectơ . Ta có : 2/ Khi tích vô hướng được kí hiệu và số này gọi là bình phương vô hướng của vectơ và A B C H VD 2 : Cho tam giác đều cạnh. là đường cao. Tính tích vô hướng a) b) c) Áp dụng công thức tính tích vô hướng của 2 vectơ: a) b) c) 2. Các tính chất của tích vô hướng: VD 3: Hãy nhắc lại tính chất của phép nhân giữa các số a, b,c Giao hoán Kết hợp Phân phối của phép nhân với phép cộng a.b = b.a a.(b.c) = (a.b).c a.(b + c) = a.b + a.c KẾT LUẬN: Người ta chứng minh được các tính chất sau của tích vô hướng: Với 3 vec to bất kỳ và mọi số k ta luôn có: (Tính chất giao hoán) (Tính chất kết hợp) NHẬN XÉT: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vecto ta suy ra: VD 4: Cho đều khác .Khi nào tích vô hướng Là số dương Là số âm Bằng 0 Khi Khi Khi hay 3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: VD5 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho . Hãy dự đoán xem: KẾT LUẬN: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vecto: .Khi đó tích vô hướng của VD6 : Vậy trong mặt phẳng tọa độ Oxy hai vecto đều khác vuông góc với nhau khi nào? Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vecto: khác vuông góc với nhau khi và chỉ khi NHẬN XÉT: VD 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2;4), B(1;2), C(6;2) . a/Tính: b/Chứng minh rằng: Giải: a/Tính Ta có: b/Chứng minh rằng : Ta có: Vậy: 4. ỨNG DỤNG: VD8 : a) Cho . Tính suy ra và b) Cho . Tính suy ra và c) Nêu nhận xét tổng quát từ kết quả trên. a) b) KẾT LUẬN a/ Độ dài của vectơ: Độ dài của vectơ được tính theo công thức : VD 9 : Cho và a) Viết công thức tính b) Viết công thức tính c) Từ công thức hãy rút theo a1, a2, b1, b2 a) = a1.b1 + a2.b2 b) = c) KẾT LUẬN b/ Góc giữa hai vectơ: Cho và đều khác ta có : IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN VD 10 : Cho , tìm góc VD 11 : Cho A(4; 0) , B(-1 ; 5) a) Tìm tọa độ b) Tìm độ dài suy ra độ dài AB c) Viết công thức tính độ dài a) = (-5; 5) b) = AB c) KẾT LUẬN c/ Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm A(xA ; yA) và B(xB; yB) được tính theo công thức : VD 12 : Cho M(-6;2) , N(1 ; 1), khi đó C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1:Cho tam giác có cạnh . Góc . Tính tích vô hướng A. B. C. D. Câu 2:Cho tam giác đều có cạnh trên lấy sao cho . Tính tích vô hướng A. B. C. D. Câu 3:Cho vectơ . Tính tích vô hướng : A. B. C. D. Câu 4:Cho tam giác có . Tính tích vô hướng A. B. C. D. Câu 5:Cho tam giác có . là trọng tâm tam giác. Tính tích vô hướng A. B. C. D. Câu 6:Tính góc giữa 2 vectơ A. B. C. D.. Câu 7: Cho hình vuông có. Tính độ dài cạnh hình vuông . A. B. C. D. Câu 8: Cho tam giác đều có . A.. B. C. D. Câu 9 :Cho . Tính A. B. C. D. Câu 10:Cho tam giác , . Tính : A. B. C. D. 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho A(1 ; 3) , B(4 ; 2) a/ Tìm tọa độ điểm D thuộc trục Ox sao cho DA – DB b/ Tính chu vi tam giác OAB c/ Chứng tỏ OA vuông góc với AB từ đó tính diện tích tam giác OAB Bài 2: Trong mặt phẳn Oxy tìm góc giữa hai vectơ trong các trường hợp sau: a/ b/ Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông Bài 4 : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là điểm đối xứng với A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông tại C. D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG Bài toán 1. Một nguyên nhân là do góc tạo bởi lực của xe 1 với phương ngang lớn hơn của xe 2 nên công do sinh ra ở xe 1 nhỏ hơn công sinh ra ở xe 2. Bài toán 2. Cho tam giác có là trọng tâm. Chứng minh : E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG Em có biết? Tích vô hướng (tên tiếng Anh: dot product hoặc scalar product) là khái niệm trang bị cho một không gian vectơ H trên trường K (K là trường số phức hay số thực) để có thể biến nó thành một không gian Hilbert.Đây là tiên đề hóa để xây dựng khái niệm tích vô hướng từ một số tính chất cơ bản của tích vô hướng thông thường của 2 vectơ hình học trong mặt phẳng (hay không gian) nhằm mô tả khái niệm góc (trực giao) của 2 vectơ trong một không gian vectơ trừu tượng. Định nghĩa hình học Trong không gian Euclide, một vectơ Euclide là một đối tượng hình học có độ lớn và hướng và được biểu diễn bằng một mũi tên. Độ lớn của vectơ là chiều dài của vectơ và hướng của vectơ là hướng mà mũi tên chỉ đến. Độ lớn của vectơ  được ký hiệu là {\displaystyle \left\|\mathbf {A} \right\|} . Tích vô hướng của hai vectơ Euclide A and B được định nghĩa như sau: