Giáo án Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác - Trường THPT Hồng Ngự 3

BÀI 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC (MỤC 3, 4) 1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG. Yêu cầu 1: Cám em lấy một tờ giấy và cắt thành một hình tam giác thường. Yêu cầu 2: Các em hãy tính diện tích tam giác vừa cắt được Gợi ý: có thể dùng thước đo và tính diện tích. Yêu cầu 3: Nêu thêm một vài công thức tính diện tích tam giác bất kì mà em biết. 2. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 2.1. Hoạt động 1: Nêu công thức tính diện tích tam giác theo một cạnh và chiều cao tương ứng? Công thức 2.2. Hoạt động 2: Cho tam giác ABC có và góc C. Dựa vào công thức tính diện tích ở hoạt động 1, hãy xây dựng công thức tính diện tích tam giác ABC theo và góc . Từ diện tích Và Suy ra công thức Tương tự suy ra công thức: 2.3. Hoạt động 3: Dựa vào công thức diện tích vừa xây dựng ở hoạt động 2 và định lí sin, hãy xây dựng một công thức tính diện tích tam giác ABC theo độ dài 3 cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ công thức Và công thức định lí sin, ta có: Suy ra: 2.4. Hoạt động 4: Gọi là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Hãy a) Tính diện tích tam giác IBC theo và , IAC theo và , IAB theo và . b) Hãy xây dựng một công thức tính diện tích tam giác ABC theo và độ dài 3 cạnh . Hướng dẫn: a) , , b) (với ) Suy ra: (với ) 2.5. Hoạt động 5: Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau: (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC) (công thức Hê – rông) 2.6. Ví dụ: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh và góc góc . Tính diện tích tam giác ABC. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các cạnh a) Tính diện tích tam giác ABC. b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết cạnh . Tính góc A, cạnh và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 3. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Bài 1: Tính diện tích tam giác ABC biết số đo ba cạnh lần lượt là 7, 9, 12. Bài 2: Cho tam giác ABC các cạnh a) Tính diện tích tam giác ABC. b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 3: Cho tam giác ABC có . a) Tính cạnh và các góc của tam giác đó. b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC. 4. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG. Yêu cầu học sinh 1. Tìm hiểu một số bài toán thực tế về đo khoảng cách 2. Thực hiện xây dựng lời giải cho hai bài toán sau: Bài toán 1. Đo chiều rộng của một khúc sông Bài toán 2. Đo chiều cao của thân tháp trên núi Đáp án: Bài toán 1. Đo chiều rộng của một khúc sông 1. Tìm hiểu yêu cầu bài toán: Đo chiều rộng của một khúc sông. 2. Xây dựng mô hình toán học và giải bài toán: + Lấy hình ảnh cụ thể để minh họa: (Hình 1). + Gọi d là chiều rộng (mặt nước) của khúc sông cần đo. + Xây dựng tam giác ABC như sau (Hình 4): – Chọn điểm B là một gốc cây cách mép nước ước lượng khoảng ở phía bên kia bờ sông đoạn ta khảo sát đo đạc để biết chiều rộng của khúc sông (ta phải ước lượng khoảng cách vì ở phía bên kia sông nên ta không thể đo trực tiếp được). – Chọn điểm A ở vị trí phía bờ sông đoạn ta khảo sát đo đạc để biết chiều rộng của khúc sông, điểm A cách mép nước . – Phía bờ sông có chọn điểm A ta chọn tiếp điểm C. 3. Tiến hành đo đạc để lấy số liệu: + Sử dụng thước đo chiều dài để đo khoảng cách hai điểm A và C, ta được: AC=l; + Sử dụng thước đo góc để đo hai góc của tam giác ABC là: do đó; 4. Tính toán trên số liệu đo được: + Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có: + Suy ra: 5. Kết luận: Khúc sông có chiều rộng khoảng Ví dụ 1: Đo chiều rộng của sông đoạn phía trên cầu cách cầu khoảng 200m về phía phải. Trước hết ta xây dựng mô hình toán học như trên rồi đo đạc để lấy kết quả số liệu như sau: Trước hết ta chọn điểm B là một gốc cây ở phía bên kia bờ sông với khoảng cách từ gốc cây đến mép nước ước lượng (vì ở phía bên kia sông nên ta không thể đo trực tiếp được); sử dụng thước đo chiều dài để xác định khoảng cách từ điểm A đến mép nước là , khoảng cách giữa hai điểm A và C là , sử dụng thước đo góc để đo các góc của tam giác ABC, có kết quả . Giải: + Gọi d là chiều rộng (mặt nước) của khúc sông cần đo. + Xét tam giác ABC, có , + Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có: . Suy ra: hay . Do đó chiều rộng của sông đoạn phía bên phải cách cầu khoảng 200m là khoảng . Bài toán 2: Đo chiều cao của thân tháp trên núi 1. Tìm hiểu yêu cầu bài toán: Đo chiều cao của thân tháp trên núi. 2. Xây dựng mô hình toán học và giải bài toán: + Lấy hình ảnh cụ thể để minh họa: Cột cờ là một cột cờ quốc gia nằm ở đỉnh núi có độ cao khoảng 1.700m so với mực nước biển. + Gọi h là chiều cao của thân tháp cột cờ trên núi cần đo. + Gọi điểm O là đỉnh của thân tháp; C là điểm đáy của thân tháp; hai điểm A, B là hai điểm ở thung lũng dưới núi là hai vị trí được chọn để xây dựng các tam giác ABC, ABO sao cho bốn điểm A, B, C, O đồng phẳng. Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng AB. 3. Tiến hành đo đạc để lấy số liệu: + Đặt . + Sử dụng thước đo chiều dài để đo khoảng cách hai điểm A, B là: l. + Sử dụng thước đo góc để đo các góc sau: , , . 4. Tính toán trên số liệu đo được: + Xét tam giác ABC, có AB=l, , . Do đó ta có: . Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta có: Þ. -Xét tam giác HBC vuông tại H, có , , ta có: hay (1) + Xét tam giác ABO, có AB=l, ,. Do đó ta có: . Áp dụng định lí sin vào tam giác ABO, ta có: Þ. -Xét tam giác HBO vuông tại H, có , , ta có: hay (2) + Từ (1) và (2), ta có: 5. Kết luận: Vậy chiều cao của thân tháp cột cờ trên đỉnh núi là: Ví dụ 2: Đo chiều cao của thân tháp cột cờ trên núi. Trước hết, ta xây dựng mô hình toán học như trên rồi đo đạc để lấy kết quả số liệu, với số liệu như sau: Gọi điểm O là đỉnh của thân tháp; C là điểm đáy của thân tháp; hai điểm A, B là hai điểm ở thung lũng dưới núi là hai vị trí được chọn để xây dựng các tam giác ABC, ABO sao cho bốn điểm A, B, C, O đồng phẳng. Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng AB. Sử dụng thước đo chiều dài để đo khoảng cách giữa hai điểm A và B ta được: AB=15m. Sử dụng thước đo góc để đo các góc: , , . Giải: + Gọi h là chiều cao của thân tháp cột cờ trên núi cần đo. + Xét tam giác ABC, có AB=15m, , . Do đó ta có: . Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta có: Þ. -Xét tam giác HBC vuông tại H, có , , ta có: hay (*) + Xét tam giác ABO, có AB=15m, ,. Do đó ta có: . Áp dụng định lí sin vào tam giác ABO, ta có: Þ. -Xét tam giác HBO vuông tại H, có , , ta có: hay (**) + Từ (*) và (**), ta có: Vậy chiều cao của thân tháp cột cờ trên đỉnh núi là khoảng: 20.51m