Giáo án Giải tích Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng - Bài 2: Tích phân

CHƯƠNG 3 BÀI 2: TÍCH PHÂN A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG 1) Một ô tô đang chạy với vận tốc thì người lái xe thấy một chướng ngại vật cách xe mình khoảng 15 m và đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển chậm dần đều với vận tốc , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi đến khi dừng hẳn, ô tô có va chạm với chướng ngại vật không? 2) Hãy nêu cách tính diện tích của tấm kính lắp vào ô cửa sổ như hình vẽ bên dưới. B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 1. Định nghĩa tích phân 1.1. Ký hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = t (1 £ t £ 5) 1. Hãy tính diện tích S của hình T khi t = 5. 2. Hãy tính diện tích S(t) của hình T khi t Î [1; 5]. 3. Hãy chứng minh S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1, t Î [1; 5] và diện tích S = S(5) – S(1). a b f(x) y x O A B 1.2. “Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a ; b] .Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b được gọi là hình thang cong So sánh các đại lượng: SMNPQ , SMNQE , SMNEF .A Định nghĩa tích phân: “Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu: Ta còn ký hiệu: . 1.3. Ví dụ: Tính các tích phân Câu 1. Tính tích phân Câu 2. Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Khẳng định nào dưới đây đúng ? A. B. C. D. Câu 3. Tính các tích phân: a) b) c) d) e) f) Tính chất So sánh kết quả của các bài toán trong ví dụ trên, thực hiện các phép toán. Kết quả của mỗi phép toán cho phép dự đoán một tính chất của tích phân. + Tính chất 1: + Tính chất 2: + Tính chất 3: 2. Tích phân đổi biến 2.1. Cho tích phân I = a) Tính I (bằng cách khai triển hằng đẳng thức) b) Đặt biến đổi thành . Tính c) So sánh kết quả hai cách làm trên. 2.2. Phương pháp tích phân đổi biến số Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên liên tục và sao cho hàm hợp xác định trên và là hai số thuộc Khi đó 2.3. Ví dụ a) Tính tích phân + Đặt + Đổi cận: + Khi đó b) Học sinh tính các tích phân: 1) 2) 3. Tích phân từng phần 3.1. Tính 2) 3.2. Định lí: Nếu và là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì Hay 3.3. Ví dụ a) Tính tích phân + Đặt + Khi đó b) Tính C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Câu 1. Tính tích phân . A. ln2. B. . C. . D. –ln2. Câu 2. Tính tích phân A. . B. . C.. D. . Câu 3. Tính tích phân A.. B. . C. . D. . Câu 4: Tính các tích phân sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Câu 5: giả sử một vật chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian, . Chứng minh rằng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm đến thời điểm là , trong đó là một nguyên hàm bất kỳ của trên khoảng . Chứng minh Gọi là quãng đường đi được của vật cho đến thời điểm . Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm đến thời điểm là . Mặt khác, ta đã biết , do đó là một nguyên hàm của . Thành thử, tồn tại hằng số sao cho . Vậy Câu 6. Giải bài toán ban đầu “Một ô tô đang chạy với vận tốc thì người lái xe đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển chậm dần đều với vận tốc , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?” Giải Chọn gốc thời gian là lúc bắt đầu đạp phanh, khi Khi xe dừng hẳn thì suy ra Vậy, từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được một quãng đường là Câu 7: Một ô tô chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian, v(t) = 2t + 3t2 . Tính quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 1(h) đến thời điểm t = 5(h). Học sinh làm: Ta có s(t)=t2 + t3 +C => Quãng đường đi được là S = D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG Bài 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc thì người lái xe đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển chậm dần đều với vận tốc , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? A. 37,5m B. 37m C.38m D. 20m Bài 2: Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc . Tính quãng đường ô tô đó đi được trong 4 giây đầu tiên (làm tròn đến kết quả hàng trăm)? (8,317m) A. 8m B. 8,3m C.8,32m D. 8,31m Bài 3: Một chiếc máy bay đang cất cánh với vận tốc thì tăng tốc với gia tốc . Tính quãng đường máy bay bay được trong khoảng thời gian 10 giây tính từ lúc bắt đầu tăng tốc? A. 2786m B. 2787m C.2785m D. 2786,6m Bài 4: Khi lò xo bị kéo giãn một đoạn x (cm) so với độ dài tự nhiên, nó sẽ sinh ra một lực , với k là hệ số đàn hồi. Tính công sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài đến A. B. C. D. Bài 5: Một chiếc ô tô chuyển động với vậ tốc có gia tốc . Vận tốc ban đầu của ô tô là . Hỏi vận tốc của ô tô sau 10 giây là bao nhiêu? (Làm tròn đến kết quả hàng đơn vị) A. 13 () B. 7 () C. 13,2 () D. 13,1 () Bài 6: (Ứng dụng tích phân xác định tính giá trị trung bình) Một nhà nghiên cứu ước tính rằng sau giờ kể từ lúc không giờ đêm, nhiệt độ của thành phố A được cho bởi hàm độ C, với . Hãy tính nhiệt độ trung bình của thành phố giữa 6 giờ sáng và 4 giờ chiều? Bài 7: Một chất điểm dao động với phương trình li độ (t đo bằng s). Tính vận tốc trung bình của chất điểm sau s tính từ khi bắt đầu dao động. Bài 8: (Dùng tích phân để tính thay đổi thực trong một đại lượng khi biết được tốc độ thay đổi của đại lượng đó) Một công ty sở hữu một loại máy. Biết rằng, sau thời gian năm thì nó sinh ra doanh thu với tốc độ đô la/1 năm. Biết chi phí hoạt động và chi phí bảo dưỡng của máy thay đổi với tốc độ đô la/1 năm. a) Hỏi sau bao nhiêu lâu thì sự sinh lãi của máy bắt đầu giảm? b) Tính tiền lãi thực sinh ra của máy trong khoảng thời gian được xác định ở câu a. Bài 9: Một người bán tạp hóa nhận một kiện hàng gồm 10.000 kg gạo và số gạo sẽ tính bán hết trong vòng 5 tháng, với tốc độ không đổi 2000kg/1 tháng. Nếu chi phí lưu trữ là 1%/1kg/1 tháng thì người bán đó phải trả bao nhiêu chi phí lưu trữ trong vòng 5 tháng tới? Biết đơn vị tính tiền là đô la. E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG 1. CHỈ SỐ NGHIÊM TRỌNG ẢNH HƯỞNG ĐẾN CHẤN THƯƠNG ĐẦU TRONG TAI NẠN GIAO THÔNG ĐỐI VỚI Ô TÔ Trong lịch sử, mô hình đầu tiên được phát triển đó là chỉ số nghiêm trọng . Chỉ số này xác định bởi công thức: với: + là khoảng thời gian diễn ra độ giảm tốc khi xảy ra va chạm. + là độ giảm tốc tại thời gian . Chỉ số 2,5 được chọn cho đầu và những chỉ số khác được chọn cho những bộ phận khác trong cơ thể (thường những bộ phận dễ bị chấn thương). Ghi chú: : Hằng số gia tốc trọng trường. Trong bài này ta lấy . Tiêu chuẩn chấn thương đầu (Head Injury Criterion) nhằm ước lượng khả năng chấn thương của đầu khi xảy ra va chạm. Xem thêm tại: 2. TIÊU CHUẨN CHẤN THƯƠNG ĐẦU (HIC): CHỈ SỐ HIC, VÍ DỤ Dựa vào thí nghiệm, các nhà nghiên cứu thấy rằng chỉ số nghiêm trọng không mô tả chính xác khả năng chấn thương khi va chạm. Họ phát triển HIC dựa vào giá trị trung bình của gia tốc trong phần nghiêm trọng nhất của độ giảm tốc (được thể hiện bằng hình chữ nhật màu xanh trong dữ liệu của hãng Mercedes ở bài trên). Giá trị trung bình của gia tốc trong một đoạn thời gian đến xác định bởi công thức: Với HIC, dựa vào dữ liệu thí nghiệm, ta biến đổi công thức đó thành: Công thức này có ý nghĩa rằng: HIC là giá trị lớn nhất trên khoảng thời gian tới hạn đến cho biểu thức trong dấu ngoặc tròn ( ). Chỉ số 2,5 được chọn cho vùng đầu, dựa vào thí nghiệm. 3. LỰC CỦA ÁP SUẤT CHẤT LỎNG Lực này phụ thuộc vào hình dạng và độ sâu của vật thể. Ta dùng tích phân để tính lực. Trong từng phần, ta sẽ tiếp cận vấn đề đơn giản trước, thông thường sẽ là diện tích hay thể tích có cạnh thẳng. Sau đó ta sẽ mở rộng từ cạh thẳng sang cạnh cong. Ta cần đến tích phân vì ta đang tiếp cận cạnh cong, không thể dùng những công thức đơn giản nữa. Lực trong một miền phẳng tại độ sâu trong một chất lỏng có tỷ trọng xác định bởi công thức: Lực sẽ tăng nếu như tỷ trọng tăng, hay độ sâu tăng hay diện tích miền phẳng tăng. Vậy nếu như ta có một chiếc đĩa mỏng với hình thù bất kỳ, để thẳng đứng sau đó nhúng vào chất lỏng, lực tác động vào mặt phẳng ấy tăng tỉ lệ thuận với độ sâu. Cho nên hình dạng chiếc đĩa có thể thay đổi nếu ta chìm nó sâu hơn do tác động ngày càng lớn của lực. Vậy ta được: Vậy tổng lực tác động lên chiếc đĩa xác định bởi công thức: với: + là chiều dài (theo ) của phần tử trong đĩa (xác định theo ). + là độ sâu (theo ) của phần tử trong đĩa. + là tỉ trọng chất lỏng (theo ). Đối với nước, tỉ trọng này là . + là độ sâu phần cao nhất của đĩa, đề cập trong câu hỏi (theo ). + là độ sâu phần thấp nhất của đĩa, đề cập trong câu hỏi (theo ).