Giáo án Giải tích Lớp 12 - Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Giáo viên nêu các bài toán được đặt ra từ cuộc sống thực tiễn và cho học sinh quan sát, tiếp cận bài toán. Giáo viên yêu cầu học sinh suy nghĩ về các phương pháp chung để giải quyết các tình huống, bài toán thực tiễn kiểu như thế này? Bài toán 1. Một bác nông dân có 80m lưới dùng để làm hàng rào và ông ấy cần rào nó thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau. Em có cách nào để giúp bác nông dân rào mảnh vườn sao cho diện tích mảnh vườn là lớn nhất? Bài toán 2. Trong đợt cắm trại nhà trường phân cho lớp 12A một khu đất hình vuông có diện tích 16m2 và một tấm vải hình chữ nhật có khích thước để dựng trại, .Hỏi chiều cao của trại bằng bao nhiêu để thể tích phần không gian của trại lớn nhất? Bài toán 2. Tại sao các trụ đèn chiếu sáng dọc đường quốc lộ thường có dạng hình khối trụ hay lăng trụ? HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC I. ĐỊNH NGHĨA 1. Bài toán mở đầu. Một người bắn súng, viên đạn bay theo quỹ đạo là một parabol có phương trình (Trong đó t là thời gian tính bằng giây tính từ lúc bắt đầu bắn súng, h(m) là chiều cao của viên đạn so với mặt đất theo thời gian t). Hỏi viên đạn đạt đến vị trí cao nhất bằng bao nhiêu và vào thời gian nào? Gợi ý. Ta có . Nên viên đạn đạt độ cao lớn nhất bằng 4m vào thời điểm 1s kế từ lúc bắt đầu bay. 2. Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập D nếu với mọi x thuộc D và tồn tại sao cho . Kí hiệu . Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D nếu với mọi x thuộc D và tồn tại sao cho . Kí hiệu Ví dụ 1. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi Ví dụ 2. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số . Gợi ý. Ta có . Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với Gợi ý. Sử dụng đánh giá . Ví dụ 5. Bạn Toàn khẳng định giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0. Em hãy cho biết bạn Toàn khẳng định đúng hay sai? Giải thích? Gợi ý. nhưng không tồn tại x để . II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Giáo viên đặt vấn đề cho học sinh nêu một số phương pháp thường sử dụng để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Chú ý. Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số ta thường sử dụng hai phương pháp sau. Dùng các bất đẳng thức cổ điển. Dùng đạo hàm khảo sát sự biến thiên của hàm số. Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số với . Gợi ý. Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với . Gợi ý. Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn . HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Bài tập 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số . Giải. TXĐ : Ta có Ta có bảng biến thiên x -2 2 f’(x) – 0 + 0 – f(x) 0 2 - 2 0 Vậy min f(x) = -2 khi x = ; Max f(x) = 2 khi x = . Bài tập 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, MỞ RỘNG Tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số giúp chúng ta giải quyết được nhiều vấn đề trong thực tế cuộng sống, giải quyết được những tình huống mà chúng ta gặp phải hàng ngày. Trước hết ta cùng nhau giải quyết bài toán 1 Gọi là độ dài một kích thước của mảnh vườn. Khi đó độ dài của kích thước còn lại là . Diện tích mảnh vườn bằng Vậy mảnh vườn có diện tích lớn nhất bằng Bài tập 3. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a như hình vẽ. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp. Tìm a để thể tích của khối hộp là lớn nhất. Giải. Gọi cạnh hình vuông phần bị cắt là , ta thấy . Khi đó thể tích khối hộp . Xét hàm số, . Bài toán trở thành tìm Cho . Lập bảng biến thiên, ta thấy . Bài tập 4. Một nhân viên gác ở trạm hải đăng trên biển (điểm A) cách bờ biển 16,28 km, muồn vào đất liền để đến ngồi nhà bên bờ biện (điểm B) bằng phương tiện ca nô với vận tốc 8 km/h cập bờ sau đó đi tiếp bằng xe đạp với vận tốc 12 km/h. Hỏi ca nô phải cập bờ tại điểm M cách B một khoảng là bao nhiêu để thời gian dành cho lộ trình di chuyển là nhỏ nhất ? (giả thiết rằng thời tiết tốt, độ dạt của ca nô khi di chuyển là không đáng kể ). Giải. Gọi . Khi đó thời gian của lộ trình đi được là Ta có Xét hàm số . Bài toán trở thành tìm Ta có Lập bảng biến thiên, ta suy ra . Suy ra