Giáo án Đại số và Giải tích Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm - Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Trường THPT Nguyễn Tri Phương

m . Một xe máy bắt đầu di chuyển trên quãng đường theo một hàm số của thời gian . Giả sử sau phút xe máy đến vị trí C và sau phút xe máy đến vị trí D. Hãy tính vận tốc trung bình của xe máy từ C đến D? + Tìm quãng đường của xe máy đi từ C đến D: + Thời gian của xe máy đi từ C đến D: + Tính vận tốc trung bình của xe máy từ C đến D: Hãy nêu cách tìm vận tốc tức thời của xe máy tại thời điểm t0. Giả sử vị trí D rất gần với vị trí C. Hãy tính vận tốc tức thời của xe máy tại thời điểm + Khi D gần C thì gần : vận tốc trung bình tại CD cũng chính là vận tốc tức thời tại + Đưa ra được công thức vận tốc tức thời tại thời điểm t0: B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC I. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Ví dụ 1 Xét một chất điểm M chuyển động trên trục S’OS Hãy tính vận tốc tức thời tại thời điểm ? + Trong khoảng thời gian chất điểm đi được quãng đường: +Chất điểm chuyển động không đều vận tốc trung bình là: +Nếu t càng gần thì vận tốc trung bình sẽ dần về vận tốc tức thời tại thời điểm + Vậy vận tốc tức thời tại là: Ví dụ 2. Điện lượng truyền trong dây dẫn là một hàm số theo thời gian t: Điện lượng truyền trong dây dẫn sau thời gian là Tính cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm . + Cường độ trung bình của đòng điện trong khoảng thời gian là + Khi càng nhỏ ta có cường độ tức thời VD3:Ta thấy vận tốc tức thời và cường độ tức thời trong 2 ví dụ trên có chung nhau đặc điểm gì ? Cả 2 ví dụ đều có chung dạng: KẾT LUẬN Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Cho hàm số xác định trên và . Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi x dần đến gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm kí hiệu là: Tức là: *Chú ý Đặt gọi là số gia của đối số tại : gọi là số gia tương ứng của hàm số Khi đó . VD4: Từ định nghĩa hãy nêu các bước tính đạo hàm tại điểm Bước 1: Giả sử là số gia của đối số tại x0, tính số gia của hàm số: Bước 2: Lập tỉ số: Bước 3: Tìm HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP. Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số tại Giải + Ta có : + + + Cách khác: + Giả sử gọi là số gia của đối số tại + + + Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số tại tại c. tại II. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM 1.Tiếp tuyến của đường cong phẳng Ví dụ 1: Quan sát 4 hình vẽ sau và rút ra nhận xét gì về sự thay đổi của đường thẳng và khi M di chuyển dần về + Khi M tiến dần về thì d tiến dần về d1 . + Khi M trùng thì d trùng với d1. Ví dụ 2: Nhận xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường cong (C) khi M trùng với + tiếp xúc với (C) tại + là tiếp tuyến của (C) tại KẾT LUẬN +là tiếp tuyến của (C) tại +Điểm là tiếp điểm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Ví dụ: Cho hàm số Tính .Từ đó so sánh 2 kết quả vừa tìm được. + + Giả sử là số gia của đối số tại điểm . + Chú ý: là hệ số góc của đường thẳng KẾT LUẬN + Đạo hàm của hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm . Kí hiệu . 3. Phương trình tiếp tuyến Ví dụ1. Cho đường cong (C) : a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm thuộc và có hệ số góc ? b) Viết phương trình tiếp tuyến với tại điểm . a) d có dạng: b) nên phương trình tiếp tuyến KẾT LUẬN Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm là . HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP. Ví dụ: Cho hàm số có đồ thị ( C ) a.Tìm đạo hàm của tại điểm . b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm . c. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc Giải a. Ta có số gia của biến x là hay số gia của hàm số . Vậy hàm số có đạo hàm tại điểm bằng hay hay b. tại Hệ số góc của tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến c. ta có phương trình tiếp tuyến Ý nghĩa vật lý của đạo hàm Vận tốc tức thời Ví dụ: Dựa vào VD1 ở phần I: ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM hãy nêu cách tính vận tốc tức thời tại thời điểm t0 ? + KẾT LUẬN Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số tại b) Cường độ tức thời Ví dụ: Dựa vào VD2 ở phần I: ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM hãy nêu cách tính cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 ? + KẾT LUẬN Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số tại t0 : . HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP. Ví dụ1: Một vật rơi tự do theo phương trình , trong đó là gia tốc trọng trường. Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm . Giải Ví dụ 2: Một vật chuyển động theo phương trình  với t (giây) và  là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động đến khi dừng lại và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi khi vật đạt vận tốc là 12m/s lần thứ 2 thì vật đã chuyển động được bao nhiêu mét. Giải Khi vật đạt vận tốc là 12m/s lần thứ 2 thì vật đã chuyển động được   Lúc đó, quãng đường vật đi được là:  C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Số gia của hàm số , ứng với: và bằng A. . B. . C. . D. . Câu 2. Để xét xem hàm số có đạo hàm tại điểm hay không? Một học sinh làm như sau: Tính Lập tỉ số Tính Kết luận Lập luận trên sai từ bước nào? A. . B. . C. . D. . Câu 3. Tìm số gia tương ứng của hàm số tại . A. B. C. D. Câu 4. Tính đạo hàm của hàm sốtại điểm . A. . B. . C. . D. . Câu 5. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm . A. B. C. D. Câu 6. Xét hàm số Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng A. B. C. D. Câu 7. Cho hàm số có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là A. . B. C. D. Câu 8 . Một chất điểm chuyển động có phương trình ,t tính theo đơn vị giây và s tính theo mét .Vận tốc tức thời tại thời điểm bằng A. . B. . C. . D. . 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Tính của các hàm số sau theo . . . Bài 2. Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số tại . tại . tại . Bài 3. Cho đường cong .Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm tại điểm có hoành độ bằng . biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3. Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol . Tại điểm có tung độ bằng . Biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng . Biết rằng tiết tuyến đó vuông góc với đường thẳng . D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG Ví dụ: Sau khi phát hiện một bệnh dịch các chuyên gia Y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là : với Nếu coi là hàm số xác định trên đoạn thì được xem là tốc độ truyền bệnh ( người/ngày) tại thời điểm t.Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó? Theo qui luật đó thì đến ngày thứ bao nhiêu thì hết số người nhiễm bệnh. Giải: Tính đạo hàm của hàm số . với Thay giá trị vào hàm Ngày thứ t Tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t Ngày thứ t Tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t 1 87 16 672 2 168 17 663 3 243 18 648 4 312 19 627 5 375 20 600 6 432 21 567 7 483 22 528 8 528 23 483 9 567 24 432 10 600 25 375 11 627 26 312 12 648 27 243 13 663 28 168 14 672 29 87 15 675 30 0 Căn cứ vào bảng kết quả: Ngày thứ 15:675 người/ngày Theo qui luật đó thì đến ngày 30 thì hết số người nhiễm bệnh. Bài 1. Một vật rơi tự do theo phương trình ,trong đó là gia tốc trọng trường ( được tính bằng giây, được tính bằng mét) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ đến , biết rằng Tìm vận tốc tức thời tại điểm . Bài 2: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là hàm phụ thuộc theo biến (giây) theo quy tắc sau: . Hỏi vận tốc của tên lửa sau một giây là bao nhiêu ,biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian. E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG 1. Em có biết? Ai phát minh ra đạo hàm??? Newton và Leibniz được lịch sử công nhận là hai suy nghĩ độc lập với nhau cùng phát minh khái niệm đạo hàm. Leibniz xuất phát từ việc giải quyết bài toán tiếp tuyến đã đưa ra khái niệm “vi phân” và xâydựng đạo hàm theo khái niệm này. Còn Newton phát minh ra đạo hàm đã giúp ông giải quyết được bài toán xác định vận tốc, gia tốc chất điểm trong vật lý. * Tầm quang trọng của đạo hàm trong cuộc sống Với mọi người trong chúng ta, nếu bạn là nhà kinh tế và muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra những quyết định đầu tư chứng khoán đúng đắn. Nếu bạn là nhà hoạch định chiến lược và muốn có những thông tin liên quan đến tốc độ gia tăng dân số ở từng vùng miền. Nếu bạn là nhà hóa học và muốn xác định được tốc độ phản ứng hóa học nào đó, hay nhà vật lí muốn tính toán vận tốc, gia tốc của một chuyển động Đạo hàm sẽ là thứ mà chúng ta cần, rất đơn giản đầu tiên bạn cần có hàm số mô tả đại lượng đang được quan tâm, và sau đó chỉ cần đạo hàm nó. Còn tính đạo hàm như thế nào thì chúng ta vừa được học. 2. Công tơ mét: Máy tính đạo hàm trên xe máy Ta không lạ, trên xe máy có cái đồng hồ công tơ mét. Vậy nó hoạt động như thế nào nhỉ??? Cụ thể như sau: + Tại thời điểm t0 =10 giờ xe khởi hành, công tơ mét chỉ quãng đường xe đã đi trước đó là S(t0) = 30025 km. + Tại điểm thời điểm t = 10 giờ 6 phút ,  công tơ mét chỉ quãng đường đã đi được là S(t) = 30029 km. + Vậy quãng đường xe đã đi được trong thời gian 6 phút = giờ là 4km. Điều này cho biết xe đang đi tốc độ là 40km/giờ. + Khi đó kim tốc độ của công tơ mét sẽ chỉ ở 40km/giờ. Hóa ra chiếc kim tốc độ chính là chiếc máy tính đạo hàm con đường xe máy đi được theo thời gian không biết mệt mỏi. Khi xe dừng lại, ồ, kim chỉ số 0 ! tức là quãng đường không tăng không giảm, tức là xe đứng yên ! 3. Bài toán chuyển động máy bay. Trên sân bay, một chiếc máy bay cất cánh theo đường băng (từ trái sang phải) và bắt đầu rời mặt đất tại điểm Gọi là mặt phẳng vuông góc với mặt đất và cắt mặt đất theo giao tuyến là đường băng của máy bay. Dọc theo đường băng cách một khoảng về phía bên phải có một người quan sát A. Biết máy bay chuyển động trong mặt phẳng và độ cao của máy bay được xác định bởi phương trình . Trong đó là độ dời của máy bay dọc theo đường băng tính từ Hãy tính khoảng cách ngắn nhất từ ngườiđến máy bay. Bảo Lộc, ngày 5 tháng 11 năm 2017 Nhóm Toán Trường THPT Nguyễn Tri Phương - Bảo Lộc - Lâm Đồng.