Giáo án Đại số và Giải tích Lớp 11 - Chương 4: Giới hạn - Bài 1: Giới hạn của dãy số

C4 BÀI1 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1. GIỚI THIỆU Em hãy quan sát ba hình dưới đây và nêu những hiểu biết của em về các hình. Hình bên nói về một nghịch lí của Zê- Nông. Nghịch lí này nói về câu chuyện: A-sin chạy đua cùng rùa. Một ngày nọ, thần A-sin chạy thi với một con rùa. Do được mệnh danh là thần về tốc độ nên A-sin nhường rùa một đoạn, A-sin ở tại , rùa ở tại . Cả hai xuất phát cùng một lúc, theo cùng một hướng và nhiệm vụ của thần A-sin là phải đuổi kịp con rùa. Chỉ trong nháy mắt, không mấy khó khăn, A-sin đến được . Thế nhưng dù rùa chạy chậm thì vận tốc của nó vẫn lớn hơn 0 và nó đi đến được . Tiếp tục, A-sin đuổi đến thì rùa đến , A-sin đuổi đến thì rùa đến , Cứ tiếp tục như thế, các điểm này luôn luôn tồn tại và như thế thì A-sin, một vị thần về tốc độ lại không đuổi kịp một con rùa. Điều này là vô lý theo lẽ thường tình, nhưng hoàn toàn không có gì mâu thuẫn trong lập luận trên, vậy điều gì đang diễn ra? Hình bên nói về một nghịch lí có tên là nghịch lí đường tròn. Nghịch lí này: Xét một đường tròn và một đa giác đều nội tiếp đường tròn ấy (Hình bên). Số cạnh đa giác tăng từ Bạn có nhận xét gì về đa giác cạnh ấy nếu như số cạnh cứ không ngừng tăng lên, tăng mãi mãi đến vô tận? Rõ ràng, khi không ngừng tăng lên thì đa giác sẽ càng ngày càng trở thành hình tròn mà nó nội tiếp. Điều này cũng không quá khó để tưởng tượng. Khi ấy ta nói giới hạn của đa giác khi n tiến tới vô tận sẽ là đường tròn. Hình bên nói về một nghịch lí: “Mũi tên không bao giờ trúng đích” Thần tiễn bắn một mũi tên đến bia. Nếu đặt vị trí chỗ xuất phát của mũi tên là bia là . Mũi tên muốn đến được bia thì phải đi qua trung điểm của . Từ muốn đến được phải qua trung điểm của . Từ muốn đến phải qua trung điểm của Cứ tiếp tục như vậy, mũi tên phải lần lượt qua trung điểm của các đoạn thẳng chia nhỏ, mà số điểm trong một đoạn thẳng là vô hạn nghĩa là mũi tên phải đi qua vô hạn điểm, đồng nghĩa với việc không bao giờ đến được đích. Bằng những hiểu biết của mình, em hãy tìm xem những lập luận ở trên đúng hay sai? Vì sao? 2. NỘI DUNG CHÍNH 2.1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0 a) Tiếp cận Giáo viên hỏi: Em hãy thử tưởng tượng tình huống sau: Có một cái bánh. Nếu chia đều cho hai người ăn thì mỗi người được bao nhiêu phần? Nếu chia đều cho cả lớp 40 người ăn thì mỗi người được bao nhiêu phần? Nếu chia đều cho cả thành phố 1 triệu người ăn thì mỗi người được bao nhiêu phần? Nếu chia đều cho cả thế giới 7,5 tỉ người ăn thì mỗi người được bao nhiêu phần? Khi số người được chia tăng lên càng lớn thì số bánh mỗi người nhận được như thế nào? Ta hình thành dãy số với . Tìm tất cả các số n sao cho trong trường hợp: a) b) b) Hình thành định nghĩa dãy số có giới hạn 0 Ta nói rằng dãy số có giới hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết: hoặc khi Quy ước thay cho ta viết tắt và hiểu ngầm Ví dụ 1: Dãy số với ta xét ở trên thỏa được định nghĩa trên nên nó có giới hạn là 0. c) Củng cố Câu hỏi : Cho dãy số với Kể từ số hạng thứ trở đi thì ta có Hãy chọn số nhỏ nhất. A. B. C. D. 2.2. Dãy số có giới hạn hữu hạn a) Tiếp cận Xét dãy số với . Em hãy tính dưới dạng số thập phân. Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số trên. Dãy số này có giới hạn bằng 0 hay không? Hãy thử tìm số thỏa mãn b) Hình thành định nghĩa dãy số có giới hạn 0 Ta nói rằng dãy số có giới hạn là số L khi nếu Kí hiệu: hoặc hoặc khi . Ví dụ 2: Cho dãy số với . + Sử dụng phép chia đa thức để viết lại dãy số trên dưới dạng với + Tính + Từ đó dựa vào định nghĩa suy ra c) Củng cố Câu hỏi1: Tìm giới hạn của dãy số với . Câu hỏi 2: Gọi Tìm A. B. C. D. 2.3. Một vài giới hạn đặc biệt a) với k nguyên dương; b) và ; c) nếu ; d) Nếu (c là hằng số) thì . Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau: a) b) c) Củng cố Câu hỏi 5: Chọn mệnh đề đúng. A. B. C. D. Câu hỏi 6: Tìm giới hạn của dãy số với . 3. LUYỆN TẬP: 4. ỨNG DỤNG: Bài toán 1: Sử dụng kiến thức đã học, em hãy giải thích nghịch lí “mũi tên không bao giờ trúng đích” Ta xét ví dụ về mũi tên, nếu ở thời điểm bắt đầu bắn, khoảng cách giữa mũi tên và bia là Lần 1: mũi tên đến được trung điểm của , khi ấy khoảng cách là Lần 2: mũi tên đến được trung điểm của , khi ấy khoảng cách là Lần 3: mũi tên đến được trung điểm của , khi ấy khoảng cách là Lần thứ : mũi tên đến được trung điểm của , khoảng cách là Đến đây em nghĩ mũi tên có dừng lại không? Xin trả lời là không, nó vẫn cứ tiếp tục bay đi, bay mãi. Ở đây ta đang xét đến thực tế là khoảng cách giữa thần tiễn và bia không quá xa, vì nếu nó quá xa, lực bắn không đủ thì do trọng lực, mũi tên sẽ rơi giữa đường. Thực tế là mũi tên vẫn ghim thẳng vào bia, khi ấy có nghĩa nó cứ qua trung điểm, rồi qua trung điểm, mãi như vậy. Hay nói cách khác, ta không có lần thứ cố định, của ta sẽ lớn mãi lớn mãi. Các nhà khoa học khi ấy nói rằng sẽ tiến về vô tận (ký hiệu là ). Và thực tế chứng minh rằng khoảng cách đến một lúc nào đó sẽ bằng 0 (mũi tên trúng đích). Tóm lại, khi số lần (qua trung điểm) cứ lớn mãi, lớn mãi, nó sẽ đạt được mục đích của nó là khoảng cách sẽ bằng 0. Ta gọi 0 đây là giới hạn của khoảng cách (n cứ lớn mãi). Giới hạn này tồn tại vì thực tế chỉ ra mũi tên chắc chắn trúng đích. Bài toán 2: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người (T được gọi chu kỳ bán rã). Gọi là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n. a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số . b) Chứng minh rằng có giới hạn là 0. c) Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơng. 5. TÌM TÒI KHÁM PHÁ: Sử dụng các kiến thức đã học, em hãy giải thích các nghịch lí đã nêu trong phần giới thiệu.