Giáo án Đại số và Giải tích Lớp 11 - Chương 3: Dãy số – cấp số cộng, cấp số nhân - Bài 2: Dãy số

dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u: N* R n u(n). Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển: u1, u2, u3,, un,, trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là (un), v gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n v là số hạng tổng quát của dãy số. Ví du: Chỉ ra số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau: a) Dãy số tự nhiên lẻ; b) Dãy số chính phương. Giải: ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... 2. Định nghĩa dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, , m} với m N* được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1, u2, u3,, um, trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối. Ví dụ: a) -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy số hữu hạn có: u1 = ....... v ...... = 13. b), , , , là dãy số hữu hạn có: u1 = ......., u5 = ........ II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ: 1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát: Ví dụ 1: Cho dãy số (un) với un = (-1)n. Ta có: u5 = .................................................... Dạng khai triển: ........................................................................................................ Ví dụ 2: Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số cho bởi công thức un = . Giải: ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... _ Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau: a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ; b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1. 2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả: Ví dụ: Số p là số thập phân vô hạn không tuần hoàn: 3,141 592 653 589... Lập dãy số (un) với un là giá trị gần đúng thiếu của số p với sai số tuyệt đối 10-n, ta có: u1 = 3,1; u2 = 3,14; u3 = ..............; u4 = .......................; u5 = ................................. 3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi: Ví du: Viết 10 số hạng đầu của dãy số (un) được xác định như sau: (Fibonacci) Giải: ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... _ Hãy cho một dãy số khác bằng phương pháp truy hồi. III. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ: Ví dụ: Các số hạng của dãy số cho bởi công thức un = được biễu diễn trên trục số như sau: IV– DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN: _ Cho các dãy số (un) và (vn) với un =, vn = 5n - 1 .Tính un+1 và vn+1, chứng minh un+1 vn, "n Î N*. 1. Dãy số tăng, dãy số giảm: · Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi nN*. · Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với mọi nN*. F Phương pháp chứng minh dãy số tăng, dãy số giảm: ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Ví dụ: Chứng minh dãy số (un) với un = 2n – 1 là dãy số tăng. Giải: ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... Ví dụ: Dãy số (un) với un = là dãy số giảm. Giải: ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... * Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số (un) với un = , tức là dãy số: -3, 9, -27, 81, không tăng và cũng không giảm. _ Chứng minh các bất đẳng thức và . 2. Dãy số bị chặn: · Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un M, N*. · Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un m, N*. · Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho , N*. Ví dụ: Chứng minh dãy số (un) với un = bị chặn. Giải: ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... ......................................................................... C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP I. Giải bài toán của Fibonacci ở phần khởi động. II. Bài tập rèn luyện 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức: a) un = ; b) un = ; c) un = ; d) un = . Bài 2: Cho dãy số (un), biết: u1 = -1, un+1 = un + 3 với n1. a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n – 4. Bài 3: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un), biết: a) un = ; b) un = ; c) un = (-1)n(2n + 1); d) un = . Bài 4: Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? a) un = 2n2 – 1; b) un =; c) un =; d) un = sinn + cosn. Bài 5: Dãy số (un) cho bởi: u1 = 3, un+1 = , n1. a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp. 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho dãy số (un) với un = n2 - 4n + 3. a) Viết công thức truy hồi của dãy số; b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới; c) Tính tổng n số hạng của dãy đã cho. Bài 2: Dãy số (un) được xác định bởi cơng thức . a) Tìm công thức số hạng tổng quát; b) Tính số hạng thứ 100 của dãy số.