Giáo án Đại số và Giải tích Lớp 11 - Chương 2: Tổ hợp – Xác suất - Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Bài 3: NHỊ THỨC NIU-TƠN Nhớ được công thức khai triển nhị thức Newton và số hạng tổng quát của nhị thức. Nắm được hệ số của nhị thức Newton qua tam giác Pascal. Biết khai triển nhị thức (ax + b)n. MỤC TIÊU A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Trò chơi ô vuông bàn cờ Chuẩn bị Một bàn cờ vua được đánh số các ô từ 1 đến 64 Các hạt thóc Luật chơi Lớp được chia thành hai đội chơi, mỗi đội được nhận một số hạt thóc như nhau Giáo viên thông báo số lượt bỏ hạt thóc của mỗi đội Các đội lần lượt chọn một ô cờ tùy ý và đặt vào ô đó số hạt thóc bằng tổng các hệ số trong khai triển với n là số thứ tự của ô mà đội đã chọn. Đội nào khai triển đúng và nhanh nhất thì được quyền chọn trước. Đội nào hết thóc trước khi hết lượt chơi thì sẽ thua cuộc. Còn nếu sau khi hết lượt chơi, cả hai đội đều còn thóc thì đội nào còn số hạt thóc ít hơn sẽ thắng cuộc. Mỗi đội có 20 hạt thóc và 2 lượt chơi Nếu mỗi đội nhận được 700 hạt thóc và có 5 lượt chơi, hãy giúp các đội tìm ra phương án chơi để thắng cuộc. Cần tính được số hạt thóc cần bỏ vào ở mỗi ô cờ B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU – TƠN Khai triển Hãy xem xét các hệ số trong khai triển khi Và biểu diễn chúng qua rồi tìm ra quy luật của chúng. Từ những kết luận trên, kết hợp SGK. Em hãy nêu công thức tổng quát cho khai triển Nhị thức Niu-tơn: Dạng tường minh: Dạng thu gọn: Nhìn công thức, hãy tìm cách nhớ Nghiên cứu SGK và cho biết đặc điểm của vế phải trong khai triển + Số các hạng tử. + Hệ số của mỗi hạng tử. + Quy luật lũy thừa của a và b + Tổng các số mũ của a và b + Các hệ số của mổi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối trong khai triển Ví dụ 1: Khai triển biểu thức Ví dụ 2: Khai triển biểu thức Hệ quả: Hãy khai triển các nhị thức sau: , Tính tổng: Kết luận: Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng với , ta có: II. TAM GIÁC PA-XCAN Trong khai triển , hãy sắp xếp theo thứ tự các hệ số thành dòng, và cho biết nhận xét của em về quy luật (nghiên cứu SGK để khẳng định lại nhận xét của em) Tam giác Paxcan: n = 0: 1 n = 1 1 1 n = 2: 1 2 1 n = 3: 1 3 3 1 n = 4: 1 4 6 4 1 n = 5: 1 5 10 10 5 1 n = 6: 1 6 15 20 15 6 1 Nhận xét: Tổng quát ta có: Ví dụ 4: Tìm x biết C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong khai triển có bao nhiêu số hạng: A. 5 B. 6 C.7 D.8 Câu 2 Trong khai triển theo số mũ tăng dần , tìm số mũ thứ 2: A. B. C. D. Câu 3: Tổngbằng: A. B. C. D. Câu 4: Trong khai triển: tổng hệ số là: A. B. C. D. Câu 5:Trong khai triển : có tất cả 17 số hạng . Vậy n bằng: A. B. C. D. Câu 6: Giá trị của tổng bằng: A. 63 B. 31 C. 255 D. 127 Câu 7: Trong khai triển: .Hệ số của số hạng chứa là: A. B. C. D. Câu 8: Hệ số của trong khai triển bằng: A. . B. C. D. Câu 9 : Khai triển: là: A. . B. . C. . D. . 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1: Khai triển các biểu thức sau: a. b. c. Bài 2: Tìm số hạng thứ 7 kể từ trái sang phải của khai triển: Bài 3: Tính hệ số trong khai triển : Bài 4: Tìm số hạng không chứa x ttrong khai triển: , . D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG Bài 1: Các bài toán về hệ số nhị thức: Khai triển và rút gọn đa thức: .Ta được đa thức: Xác định hệ số a9. Hệ số x9 trong các đa thức lần lượt là: Do đó: =11+55+220+715+2002=3003 Bài 2: . Áp dụng nhị thức Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp. Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng đó có dạng thì ta sẽ dùng trực tiếp nhị thức Newton: . Việc còn lại chỉ là khéo léo chọn a,b. Ví dụ: Tính tổng Dễ dàng thấy tổng trên có dạng như dấu hiệu nêu trên. Ta sẽ chọn a=3, b=-1. Khi đó tổng trên sẽ bằng (3-1)16=216 E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG Em có biết? Lịch sử của Nhị thức Niu-tơn Trong tác phẩm của nhà toán học Trung Quốc Chu Sinh viết từ năm 1303 người ta tìm thấy bảng số sau: 1 1  1 1  2  1 1  3  3  1 1   4   6   4   1 1  5  1  0  1  0  5  1 1  6  1  5  2  0  1  5  6  1 1  7  2  1  3  5  3  5  2  1  7  1 1  8  2  8  5  6  7  0  5  6  2  8  8  1 Rõ ràng đó là các hệ số của công thức khai triển nhị thức Newton từ cấp 0 đến cấp 8, dù nhà toán học này đã không nói gì cho các hệ số tiếp theo cùng công thức tổng quát của chúng, nhưng theo cách thức lập bảng của ông, ta có thể dễ dàng tìm ra quy luật cho phép viết được các hàng mới. Vào nửa đầu thế kỉ XV trong tác phẩm chìa khóa số học viết bằng tiếng Ả Rập của nhà toán học, thiên văn học Xamacan có tên là Giêm Xit-Giaxedin Casi người ta lại gặp tam giác số học mà tác giả đã gọi tên rõ hơn là các hệ số nhị thức. Ở châu Âu, tam giác số học được tìm thấy đầu tiên trong công trình của nhà toán học người Đức Stiffel M. Công bố vào năm 1544 Gần một trăm năm sau, hoàn toàn độc lập với nhau, các nhà toán học người Anh Bô-rit-gôn (1624), nhà toán học Pháp Fermat (1636) rồi nhà toán học  Pháp Pascal (1654) đã đưa ra công thức hoàn hảo về hệ số của nhị thức Newton. Năm 1676 trong bức thư thứ nhất gửi Ô-đen Hiaro – Chủ tịch Viện Hàn Lâm hoàng gia Anh, Newton đã đưa ra công thức Ý tưởng của Newton không dừng lại ở việc áp dụng công thức này cho trường hợp các số mũ là số nguyên dương mà cho số mũ bất kì: số dương, số âm, số nguyên và phân số. (ở trung học chỉ học số mũ nguyên dương) và chính ý tưởng mới đó cho một ý nghĩa lớn lao đối với việc phát triển của toán học. Các nhà toán học đương thời thấy ngay tầm quan trọng của công thức và công thức được áp dụng rộng rãi trong nhiều công trình nghiên cứu toán học, đặc biệt trong đại số và giải tích. Để ghi nhớ công lao của Isaac Newton trong việc tìm ra công thức nhị thức Newton, trên bia mộ của ông tại tu viện Wesminster (là nơi an nghỉ của Hoàng gia và những người nổi tiếng của nước Anh) người ta còn khắc họa hình Newton cùng với cả công thức nhị thức Newton.