Giáo án Đại số và Giải tích Lớp 11 - Chương 2: Tổ hợp – Xác suất - Bài 2: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

...................... ..................................................................................................................... 2- CHÆNH HÔÏP: _ Coù bao nhieâu caùch choïn hai baïn giöõ chöùc vuï bí thö vaø phoù bí thö chi ñoaøn trong soá 3 baïn ñaéc cöû ban chaáp haønh. a. Ñònh nghóa: Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû (n ³ 1). Keát quaû cuûa vieäc laáy k phaàn töû khaùc nhau töø n phaàn töû cuûa taäp hôïp A vaø saép xeáp chuùng theo moät thöù töï naøo ñoù ñöôïc goïi laø moät chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ñaõ cho. b. Soá caùc chænh hôïp: Kí hieäu laø soá caùc chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû (1 £ k £ n). Ta coù: = n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1) * Chuù yù: +) Vôùi quy öôùc 0! = 1, ta coù: = (1 £ k £ n)(n, k Î N) +) Moãi hoaùn vò cuûa n phaàn töû cuõng chính laø moät chænh hôïp chaäp n cuûa n phaàn töû. Vì vaäy Pn =. Ví duï: Trong maët phaúng cho moät taäp hôïp goàm 6 ñieåm phaân bieät. Coù bao nhieâu vectô khaùc vectô coù ñieåm ñaàu vaø ñieåm cuoái thuoäc taäp hôïp ñieåm naøy? Giaûi: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... 3- TOÅ HÔÏP: _ Trong maët phaúng cho 4 ñieåm phaân bieät A, B, C, D (khoâng coù ba ñieåm naøo thaúng haøng). Lieät keâ taát caû caùc ñoaïn thaúng ñöôïc taïo thaønh töø caùc ñieåm ñoù? a. Ñònh nghóa: Giaû söû taäp A coù n phaàn töû (n ³ 1). Moãi taäp con goàm k phaàn töû cuûa A ñöôïc goïi laø moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ñaõ cho. * Chuù yù: Vì taäp Æ (0 phaàn töû) laø taäp con cuûa taäp A neân ta coù ñieàu kieän 0 £ k £ n. b. Soá caùc toå hôïp: Kí hieäu laø soá caùc toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû. Ta coù: (0 £ k £ n) (n, k Î N) Ví duï: Moät toå goàm coù 10 ngöôøi goàm 6 nam vaø 4 nöõ. Caàn laäp moät ñoaøn ñaïi bieåu goàm 5 ngöôøi. Hoûi: a) Coù taát caû bao nhieâu caùch laäp? b) Coù bao nhieâu caùch laäp ñoaøn ñaïi bieåu, trong ñoù coù ba nam, hai nöõ. Giaûi: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... c. Tính chaát cuûa caùc soá : +) Tính chaát 1: (0 £ k £ n) Ví duï: +) Tính chaát 2: (1£ k < n) - coâng thöùc Pascal Ví duï: Ví duï: Chöùng minh raèng, vôùi 2 £ k £ n - 2, ta coù: . Giaûi: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... III. LUYỆN TẬP: 1. Baøi taäp cô baûn: Baøi 1: Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6 laäp caùc soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá khaùc nhau. Hoûi: a) Coù taát caû bao nhieâu soá? b) Coù bao nhieâu soá chaün, bao nhieâu soá leû? c) Coù bao nhieâu soá beù hôn 432000? Baøi 2: Coù bao nhieâu caùch saép xeáp choã ngoài cho möôøi ngöôøi khaùch vaøo möôøi gheá keâ thaønh moät daõy. Baøi 3: Giaû söû coù baûy boâng hoa maøu khaùc nhau vaø ba loï khaùc nhau. Hoûi coù bao nhieâu caùch caém ba boâng hoa vaøo ba loï ñaõ cho (moãi loï caém moät boâng)? Baøi 4: Trong maët phaúng, cho saùu ñieåm phaân bieät sao cho khoâng coù ba ñieåm naøo thaúng haøng. Hoûi coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu tam giaùc maø caùc ñænh cuûa noù thuoäc taäp ñieåm ñaõ cho? Baøi 5: Coù bao nhieâu caùch maéc noái tieáp 4 boùng ñeøn ñöôïc choïn töø 6 boùng ñeøn khaùc nhau? Baøi 6: Coù bao nhieâu caùch caém 3 boâng hoa vaøo 5 loï khaùc nhau (moãi loï caém khoâng quaù moät boâng) neáu: a) Caùc boâng hoa khaùc nhau? b) Caùc boâng hoa nhö nhau? Baøi 7: Trong maët phaúng coù bao nhieâu hình chöõ nhaät ñöôïc taïo thaønh töø boán ñöôøng thaúng song song vôùi nhau vaø naêm ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi boán ñöôøng thaúng song song ñoù? 2. Baøi taäp naâng cao: Baøi 1: Coù bao nhieâu caùch saép xeáp n ñaïi bieåu vaøo moät baøn hình troøn? Baøi 2: Moät lôùp hoïc coù 20 nam, 10 nöõ. Coù bao nhieâu caùch choïn 3 ngöôøi tröïc lôùp a) Moät caùch tuøy yù; b) Coù ñuùng moät nöõ; c) Coù ít nhaát moät nöõ; d) Coù nhieàu nhaát hai nöõ. Baøi 3: Moät lôùp hoïc coù 20 nam, 10 nöõ. Coù bao nhieâu caùch choïn moät ban caùn söï goàm 1 lôùp tröôûng, 1 lôùp phoù hoïc taäp, 1 lôùp phoù phong traøo: a) Moät caùch tuyø yù; b) Lôùp tröôûng laø nöõ; c) Coù ñuùng moät nöõ; d) Coù ít nhaát moät nöõ. IV. ỨNG DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG: 1. Ứng dụng: Toán học tổ hợp (hay giải tích tổ hợp, đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hợp có hữu hạn phần tử. Các cấu hình đó là các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp,... các phần tử của một tập hợp. Nó có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của toán học, như đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết ergod (ergodic theory) và hình học, cũng như đến các ngành ứng dụng như khoa học máy tính và vật lý thống kê. Toán học tổ hợp liên quan đến cả khía cạnh giải quyết vấn đề lẫn xây dựng cơ sở lý thuyết, mặc dù nhiều phương pháp lý thuyết vững mạnh đã được xây dựng, tập trung vào cuối thế kỷ XX. Một trong những mảng lâu đời nhất của toán học tổ hợp là lý thuyết đồ thị, mà bản thân lý thuyết này lại có nhiều kết nối tự nhiên đến các lĩnh vực khác. Toán học tổ hợp được dùng nhiều trong khoa học máy tính để có được công thức và ước lượng trong phân tích thuật toán. 2. Một số bài toán thực tế: Bài toán 1: Có năm vận động viên A, B, C, D, E thi chạy điền kinh hội khỏe phù đổng. Nếu không kể trường hợp có hai vân động viên về đích cùng lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba.  Bài toán 2: Một lớp học có 40 học sinh, cần bầu một ban cán sự lớp gồm một lớp  trưởng, một lớp phó học tập và 2 uỷ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập ra ban cán sự lớp.  Bài toán 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh thành một hàng dọc? Bài toán 4: Bạn An nhìn vào tủ thấy có 10 cái áo sơ mi. Bạn vơ tay chọn đại 3 cái áo để thử xem các nào đẹp. Hỏi bạn An có bao nhiêu cách chọn 3 cái áo sơ mi để thử như vậy?