Hàm số ( ) = y f x xác định trên khoảng ( ) ; a b được gọi là liên tục trên khoảng ( ) ; a b nếu
nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
o Hàm số ( ) = y f x xác định trên khoảng [ ] ; a b được gọi là liên tục trên đoạn [ ] ; a b nếu:
6 trang |
Chia sẻ: vivian | Lượt xem: 1949 | Lượt tải: 2
Bạn đang xem nội dung tài liệu Chuyên đề giới hạn của hàm số và sự liên tục, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
nhất
một ( ); : ( ) 0sè c a b f c∈ = .
3. Một số thuật toán cần lưu ý:
a. Xét (tìm điều kiện tham số) sự liên tục của hàm số tại điểm 0x :
Bước 1: Tính ( )0f x . Tính (hoặc xác định sự tồn tại) giới hạn ( )
0
lim
→
x x
f x
Bước 2: So sánh ( )0f x và ( )
0
lim
→
x x
f x để đưa ra kết luận
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
0
0− +
→
→ →
= ⇔
= =
lim
Hµm sè liªn tôc t¹i
lim lim
o o
x x
x x x x
f x f x
x
f x f x f x
b. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).
o Chứng tỏ hàm số ( )=y f x liên tục trên đoạn [ ];a b
o Chứng tỏ ( ). ( ) 0<f a f b . Khi đó ( ) 0=f x có ít nhất một nghiệm thuộc ( );a b .
Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 2
• Muốn chứng minh : ( ) 0=f x có n nghiệm phân biệt thì ta tìm n khoảng rời nhau và
trên mỗi khoảng đó ( ) 0=f x đều có nghiệm.
II- LUYỆN TẬP:
Bài tập 1: Xét sự liên tục của hàm số tại điểm 0x đã chỉ ra:
1)
2 9
khi 3
( ) 3
6 khi 3
−
≠
= −
=
x
x
f x x
x
tại 0 3=x 2) ( )
2 3
2
2 7 5
khi 2
3 2
1 khi 2
− + −
≠
= − +
=
x x x
x
f x x x
x
tại 0 2=x
3) ( )
3
3
2
khi 1
1
4
khi 1
3
+ +
≠ − +=
= −
x x
x
xf x
x
tại 0 1= −x 4) ( )
1 2 3
khi 2
2
1 khi 2
− −
≠
= −
=
x
x
f x x
x
tại 0 2=x
5) ( )
3 3 2 2
khi 2
2
3
khi 2
4
+ −
≠ −=
=
x
x
xf x
x
tại 0 2=x 6) ( )
2
khi 4
5 3
3
khi 4
2
−
≠ + −=
=
x
x
xf x
x
tại 0 4=x
7) ( )
2 4 khi 2
2 1 khi 2
+ <
=
+ ≥
x x
f x
x x
tại 0 2=x 8) ( )
4 2 1 khi 1
3 2 khi 1
+ − ≤ −
=
+ > −
x x x
f x
x x
tại 0 1= −x
9) ( )
2 khi 0
1 khi 0
<
=
− ≥
x x
f x
x x
tại 0 0=x 10) ( )
5
khi 5
2 1 3
3
khi 5
2
− > − −=
≤
x
x
x
f x
x
tại 0 5=x
Bài tập 2: Tìm a để hàm số liên tục tại 0x đã chỉ ra:
1) ( )
3 2
khi 1
1
1 khi 1
+ −
≠
= −
+ =
x
x
f x x
a x
tại 0 1=x 2) 2
2 2
khi 2
( ) 4
khi 2
+ −
≠
= −
=
x
x
f x x
a x
tại 0 2=x
3) ( )
2 3 2
khi 1
1
4
a khi 1
2
− +
< −=
− + ≥ +
x x
x
x
f x
x
x
x
tại 0 1=x 4) ( )
3 3 2 2
khi 2
2
1
khi 2
4
+ −
> −=
+ ≤
x
x
xf x
ax x
tại 0 2=x
Bài tập 4: Tìm a để hàm số liên tục trên ℝ :
1) ( )
2 khi 1
2 3 khi 1
<
=
− ≥
x x
f x
ax x
2) ( )
( )
2 2 khi 2
1 khi 2
≤
=
− >
a x x
f x
a x x
3) ( )
2 4
khi 2
2
khi 2
−
≠
= −
=
x
x
f x x
a x
4)
2 khi 1
( ) khi 1 3
4 khi 3
<
= + ≤ ≤
− >
x x
f x ax b x
x x
Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 3
5)
2sin khi
2
( ) sin khi
2 2
cos khi
2
− < −
= + − ≤ ≤
>
π
x x
π π
f x a x b x
π
x x
6) ( )
( ) ( )
( )
( )
2
26 x 3 0
3
0
3
− −
− ≠ −
= =
=
x x
x
x x
f x a x
b x
Bài tập 5: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm thoả yêu cầu đề ra:
( )
( )
4 2
3
2 3 0 1;1 .
6 1 0 2;2 .
1 0
2 2
+ − − = −
− + = −
− + =
=
=
a) 4 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm ph©n biÖt trªn
b) 2 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn
c) sin cã nghiÖm.
d) cos cã nghiÖm.
e) cos s
x x x
x x
x x
x x
x
( )
( )
5 4
5 3
3
2 ;
6
3 5 2 0 2;5 .
5 4 1 0 2;3
) 6 1 2 0
− −
− + − = −
− + − = −
+ + − =
in cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm trªn
f) cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn
g) cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn
h cã nghiÖm d−¬ng.
π
x π
x x x
x x x
x x
-------------------------------------------------------------------------
MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC:
Bài tập 1: Giả sử hai hàm số ( )=y f x và 1
2
= +
y f x đều liên tục trên [ ]0;1 và (0) (1)=f f .
Chứng minh rằng phương trình
1
( ) 0
2
− + =
f x f x luôn có nghiệm trong đoạn
1
0;
2
.
Gợi ý: Đặt hàm số
1
( ) ( )
2
= − +
g x f x f x liên tục trên [ ]0;1 .
Ta có:
1 1 1 1
(0) (0) ; (1) (0)
2 2 2 2
= − = − = −
g f f g f f f f
2
1 1 1
(0). (0) 0 0;
2 2 2
= − − ≤ ∀ ∈
g g f f x
Suy ra:
1
(0). 0 ..ycbt...
2
0
1
(0). 0 1
2
2
< ⇒
⇔ =
= ⇔ =
g g
x
g g
x
Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 4
Bài tập 2: Chứng minh rằng nếu: 2 3 6 0+ + =a b c thì phương trình: 2 0+ + =ax bx c có ít nhất
một nghiệm trên ( )0;1 .
Gợi ý:
Trường hợp1: 0≠a . Ta có:
( ) [ ]
2
2
2 4 2
(0)
3 9 3
2
(0). 4 6 9 2(2 3 6 ) 3 0
3 9 9 3
2
(0). 0 ... ...
3
2 3 02 2 2
(0). 0 0 0;
3 3 30
= = + +
⇒ = + + = + + − = − ≤
< ⇒ ⇔
+ = = ⇔ = ⇔ ⇒ = ∈
+ =
a b
f c f c
c c c
f f a b c a b c c
f f
a b
f f c x
ax bx
vµ
ycbt
Trường hợp 2: 0=a . Ta có:
0
3 6 0
+ =
+ =
bx c
b c
* Nếu 0 0 th× b c= = và do đó phương trình có vô số nghiệm suy ra phương trình có
nghiệm trên ( )0;1 .
* Nếu 0≠b : ( )0
1
0;1
2
= − = ∈
b
x
c
Bài tập 3: Cho hàm số [ ] [ ]( ) : : 0;1 0;1 = →y f x f và liên tục. Chứng minh rằng tồn tại
[ ]0;1∈c sao cho: ( ) =f c c .
Gợi ý: Đặt hàm số ( ) ( )= −g x f x x liên tục trên [ ]0;1
[ ] [ ]: 0;1 0;1
0 1 0 ( ) 1
L−u ý:
f
x f x
→
≤ ≤ ≤ ≤֏
Ta có: (0) (0) 0; (1) (1) 1 0= ≥ = − ≤g f g f do [ ]0 ( ) 1 , 0;1≤ ≤ ∀ ∈f x x
Lúc đó: [ ](0). (1) 0 , 0;1≤ ∀ ∈g g x
Bài tập 4: Cho hàm số ( )=y f x liên tục trên đoạn [ ]1;1− . Chứng minh rằng với mọi , 0>a b
cho trước, phương trình:
( 1) (1)
( )
− +
=
+
af bf
f x
a b
luôn có nghiệm thuộc [ ]1;1− .
Gợi ý: Đặt
( 1) (1)
( ) ( )
− +
= −
+
af bf
h x f x
a b
liên tục trên [ ]1;1− .
Ta có:
[ ]
[ ]
[ ]2
(1) ( 1)( 1) (1)
(1) (1) ;
( 1) (1)( 1) (1)
( 1) ( 1)
(1) ( 1)
(1). ( 1) 0, , 0
− −− +
= − =
+ +
− −− +
− = − − =
+ +
− − −
⇒ − = ≤ ∀ >
+
a f faf bf
h f
a b a b
b f faf bf
h f
a b a b
ab f f
h h a b
a b
Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 5
Bài tập 5: Cho phương trình: 2 0+ + =ax bx c ( )0≠ac . Biết rằng 2 6 19 0+ + =a b c . Chứng minh
phương trình có nghiệm trên ( )0;1 .
Gợi ý: Xét dấu
1
(0).
3
f f
Bài tập 6: Cho phương trình: 3 2 0+ + + =ax bx cx c ( )0≠ac . Biết rằng 0
12 9 2
+ + =
a b c
. Chứng
minh phương trình có nghiệm trên ( )0;1 .
Gợi ý: Xét dấu
3
(0).
4
f f
Bài tập 7: Cho phương trình: 2 0+ + =ax bx c ( )0≠ac . Biết rằng 0
2001 2000 1999
+ + =
a b c
.
Chứng minh phương trình có nghiệm trên ( )0;1 .
Gợi ý: Xét dấu
2000
(0).
2001
f f
Bài tập 8: Cho phương trình: 4 2 0 (*)− − =x x . Chứng minh phương trình (*) có nghiệm
( )0 1;2∈x và 70 8>x .
Gợi ý:
Xét dấu (1). (2)f f . Chứng minh 70 8>x :
( )
4 4
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
2 0 2 . 2 2
2 1;2
2 2
− − = ⇔ = + + ≥
= ∈
+ >
(1) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy: (2)
DÊu b»ng x·y ra khi , vËy víi th× dÊu b»ng ë (2) kh«ng x·y ra.
VËy ta cã: (3)
Tõ (1) vµ (3) suy ra:
x x x x x x
x x
x x
4 8 7
0 0 0 0 0
7
2 8 8
( 8). (2) 0.....
> ⇒ > ⇒ >
<
C¸ch kh¸c: HoÆc cã thÓ chØ râ:
x x x x x
f f
Bài tập 9: Cho phương trình: 6 1 0 (*)− − =x x . Chứng minh phương trình (*) có nghiệm
( )0 1;2∈x và 130 4>x .
Bài tập 10: Chứng minh các phương trình sau đây luôn có nghiệm với bất kỳ giá trị nào của tham
số m :
3a) cos cos2 =0 b) ( 1) ( 2) 2 3 0+ − + + + =x m x m x x x
Gợi ý:
( )
3
1 3 1
( ) .
4 42 2
3 1
. 0.....
4 4 2
( ) ( 1) ( 2) 2 3. (1) 5 ( 2) 1
1 .
= + = = −
= − <
= − + + + = − = −
−
a) §Æt cos cos2 Ta cã: vµ
Suy ra:
b) §Æt Ta cã: vµ
Suy ra:
π π
f x x m x f f
π π
f f
f x m x x x f f
f f ( )2 1 0.....= − <
Chuyên đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ SỰ LIÊN TỤC Đại số và Giải tích 11
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 6
Bài tập 11: Chứng minh các phương trình sau đây luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số :
( )2 4 2 7
3
a) 1 2 2 0 b) ( 16) ( 6) 0
c) ( 1)( 2) (2 3) 0 d) (2cos 2) 2sin 5 1
+ + + − = − + − =
− − + − = − = +
m m x x m x x x
m x x x x m x x
Bài tập 12: Chứng minh với mọi , , a b c các phương trình sau đây luôn có nghiệm:
a) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0
b) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0
− − + − − + − − =
− − + − − + − − =
a x b x c b x c x a c x a x b
ab x a x b ac x c x a bc x b x c
Gợi ý:
2 2 2
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
(0) 3
(0) ( ) ( ) ( ) 3
a) §Æt
Ta cã liªn tôc trªn vµ:
f x a x b x c b x c x a c x a x b
f x
f a a a b a c
f b b b c b a
f c c c b c a
f abc
f f a f b f c a b c
= − − + − − + − −
= − −
= − −
= − −
=
⇒ = −
ℝ
( )
2 2 2
0 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) 0 (0) ( ) 0
0
hoÆc
Tån t¹i sao cho (®pcm)
a b b c c a
f a f b f f c
x f x
− − − ≤
⇒ ≤ ≤
⇒ =
Bài tập 13:
a) Chứng minh rằng phương trình: 3 2
1
1000 0
100
− − =x x có ít nhất một nghiệm dương.
b) Chứng minh rằng với mọi số thực , , a b c phương trình: 3 2 0+ + + =x ax bx c có ít nhất một
nghiệm
Gợi ý:
( )
( )
3 2 1( ) 1000
100
1
(0) 0 ( ) 0 0
100
(0). 0 ....
( )
, ,
( )
a) §Æt liªn tôc trªn
Ta cã: vµ lim suy ra víi sè tuú ý th×
Lóc ®ã:
lim
b) ,
lim
D
x
x
x
f x x x
f f x M f M
f f M
f x
a b c
f x
→+∞
→+∞
→−∞
= − −
= − >
< ⇒
= +∞
∀ ∈
= −∞
ℝ
ℝ
( ) 0 ( ) 0
( ) 0 ( ) 0
( ). ( ) 0 ... ...
o lim nªn tån t¹i tuú ý sao cho:
T−¬ng tù: lim nªn tån t¹i tuú ý sao cho:
Tõ ®ã suy ra: ycbt.
x
x
f x A f A
f x B f B
f A f B
→+∞
→−∞
= +∞ > >
= −∞ < <
< ⇒
File đính kèm:
- Chu de HAM SO LIEN TUC Ban 10.pdf