Giáo án Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình. Hệ phương trình - Tiết 24: Phương trình và hệ phương trình

Tiết 24 - Đại số 10: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MỤC TIÊU - Học sinh nắm vững nội dung bài học và biết vận dụng vấn đề để giải quyết một số bài toán thực tiễn trong cuộc sống. A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Hãy giải hệ phương trình sau: Hãy nêu cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn mà các em đã học ở cấp 2? Cho học sinh thảo luận bài toán cổ . Bài toán cổ: Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui. Chia ba mỗi quả quýt rồi Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh. Trăm người, trăm miếng ngọt lành. Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao ? + Qua bài toán trên cho học sinh nhớ lại cách giải hệ phương trình và các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình đã được học ở cấp hai. Câu hỏi đặt ra là bộ ba số có phải là nghiệm của hệ phương trình ? Phương pháp giải bài toán trên như thế nào? Sau đây chúng ta cùng nghiên cứu nhé! HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 1.Mục tiêu: Học sinh nắm được khái niệm hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn 2. Phương thức: gợi mở vấn đáp 3. Cách tiến hành a. Bài toán: Có 3 học sinh lớp 10A, 10B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả 3 lớp trồng được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ? Gv nêu dạng hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn, nghiệm của hệ phương trình và định hướng cách giải hệ pt cho hs. b. Khái niệm hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn. + Dạng Trong đó x, y, z là ẩn các chữ số còn lại là số. + Nghiệm của hệ pt + Phương pháp giải hệ phương trình.(Gv cùng hs tìm phương pháp giải) Gv hướng dẫn: GV: Gọi số học sinh của lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là , , Điều kiện , , nguyên dương HS: Gv nêu dạng hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn, nghiệm của hệ phương trình và định hướng cách giải hệ pt cho hs. 1. Bộ ba số có phải là nghiệm của hệ phương trình ? 2. Giải hệ phương trình 3. GV hướng dẫn học sinh giải hệ bằng MTCT. C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 1. Mục tiêu: Rèn kĩ năng giải hệ phương trình + Học sinh giải quyết được các bài tập cơ bản ở sách giáo khoa + Năng lực thực hành tính toán và giải quyết vấn đề. 2. Phương thức: Giáo viên ra bài tập để học sinh thực hành. 3. Cách tiến hành: học sinh giải các bài tập Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau: b. a. ĐS: , b. ĐS: , Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau: b. a. ĐS: b. ĐS: Bài tập 3: Một công ty có 85 xe khách gồm hai loại, xe chở được 4 khách và xe chở được 7 khách. Dùng tất cả số xe đó, tối đa công ty chở một lần được 445 khách . Hỏi công ty đó có mới xe mỗi loại ? Hướng dẫn: Gọi là số xe 4 chỗ, là số xe 7 chỗ. Điều kiện: nguyên dương Vậy công ty có 50 xe 4 chỗ và 35 xe 7 chỗ Bài tập 4: Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy điện. Đoàn xe có 57 chiếc gồm 3 loại, xe chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe chở 7,5 tấn. Nếu dùng tất cả xe 7, 5 tấn chở 3 chuyến thì được số xi măng bằng tổng xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến và xe 3 tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại ? Hướng dẫn: Gọi lần lượt là số xe tải chở 3 tấn, 5 tấn và 7,5 tấn Điều kiện nguyên dương. Theo giả thiết , ta có: Vậy có 20 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5 tấn D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG 1. Mục tiêu: Khuyến khích học sinh nghiên cứu, sáng tạo, tìm ra cái mới theo sự hiểu biết của mình; tìm phương pháp giải quyết vấn đề và đưa ra những cách giải quyết vấn đề khác nhau; góp phần hình thành năng lực học tập với gia đình và cộng đồng. 2. Phương thức: Giáo viên đưa bài tập cho học sinh suy luận và giải quyết vấn đề. 3. Cách tiến hành. Bài tập 1: Một gia đình có 4 người lớn và ba trẻ em mua vé xem xiếc hết 370000 đồng. Một gia đình khác có 2 người lớn và hai trẻ em cũng mua vé xem xiếc tại rạp đó hết 200000 đồng . Hỏi giá vé người lớn và giá vé trẻ em là bao nhiêu ? Hướng dẫn: Gọi ( đồng ) là giá vé người lớn, ( đồng ) là giá vé trẻ em. Điều kiện nguyên dương. Theo giả thiết , ta có: Vậy giá vé người lớn là 70000 (đồng ), giá vé trẻ em là 30000 ( đồng ) Bài tập 2: Một chủ cửa hàng bán lẻ mang 1500000 đồng đến ngân hàng đổi tiền xu để trả lại cho người mua. Ông ta đổi được tất cả 1450 đồng tiền xu các loại 2000 đồng, 1000 đồng và 500 đồng. Biết rằng số tiền xu loại 1000 đồng bằng 2 lần hiệu của số tiền xu loại 500 đồng với số tiền xu loại 2000 đồng. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu tiền xu ? Hướng dẫn: Gọi lần lượt là số đồng xu loại 2000 đồng, 1000 đồng và 500 đồng Điều kiện nguyên dương Theo đề bài , ta có: Vậy cửa hàng đổi được 350 đồng tiền xu loại 2000 đồng, 500 đồng tiền xu loại 1000 đồng và 600 đồng xu tiền xu loại 500 đồng E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG: 1. Mục tiêu: Giúp học sinh tiếp tục mở rộng kiên thức, kĩ năng 2. Phương thức: Học sinh tìm tòi tài liệu về phương trình Diophantine 3. Cách tiến hành Phương trình Đi-Ô-Phăng (Diophantine) Trong toán học, phương trình Diophantine là một phương trình đa thức không xác định mà ẩn số cũng như các hệ số là những số nguyên dương hay âm. Các bài toán Diophantine có số phương trình ít hơn số ẩn số và nghiệm số phải là số nguyên dương hay âm, nên còn goi là Phương trình vô định nghiệm nguyên. Trong chương tình tiểu học và THCS, mặc dù HS chưa học lí thuyết về dạng PT này, nhưng đã gặp 1 số bài toán được giải theo cách “giả sử” như bài “Gà và chó 100 chân”Gần đây 1 số đề thi HSG cũng có bài liên quan. Vì thế mời các bạn tham khảo tài liệu này để giải các bài toán tổng quát. I.- Một số dạng phương trình Diophantine: ax + by = c * Phương trình ( 1) Diophantine tuyến tính (hay bậc nhất) với 2 ẩn số/ 1 phương trình. * Phương trình Diophantine bậc hai với 3 ẩn số. Đó là phương trình Pythagore, có vô số lời giải, mỗi lời giải hợp thành một bộ ba số Pythagore. x2 + y2 = z2 Thí dụ: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (12,35,37), *Phương trình Ferma xn + yn = zn với n > 2 Đó là định lýcuối cùng của Fermat, Sau hơn 300 năm không có lời giải, tới 1994 mới có nhà toán học chứng minh điều tiên đoán của Ferma *Phương trình Pell, đặt theo tên của nhà toán học người Anh John Pell. x2 – ny2 = 1 với n không phải là bình phương của 1 số nguyên. Thật ra, phương trình thuộc loại này đã được khảo sát từ xưa bởi các nhà toán học cổ Ấn độ như Brahmagupta ở thế kỹ thứ 6; Jayadeva (thế kỹ thứ 9) và Bhaskara (thế kỹ 12) đã tìm được lời giải đầy đủ của phương trình 61x2 + 1 = y2. Đó là x = 226153980 và y = 1766319049. Có nhiều bài toán Diophantine chưa giải được cả thế kỷ nay và vẫn còn được các nhà toán học để ý tới. II.- Vài nét lịch sử PT Diophantine Phương trình Diophantine đã được nghiên cứu từ lâu bởi các nhà toán học Ân Độ trung cổ. Họ là những người đầu tiên nghiên cứu một cách có hệ thống các phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình Diophantine - Aryabhata (499) là người đầu tiên tìm ra dạng nghiệm tổng quát của phương trình Diophantine tuyến tính (ax + by = c) , được ghi trong cuốn Aryabhatiya của ông. Thuật toán kuttaka này được xem là một trong những cống hiến quan trọng nhất của Aryabhata trong toán học lý thuyết, đó là tìm nghiệm của PT Diophantine bằng liên phân số. Aryabhata đã dùng kĩ thuật này để tìm nghiệm nguyên của các hệ phương trình Diophantine, một bài toán có ứng dụng quan trọng trong thiên văn học. Ông cũng đã tìm ra nghiệm tổng quát đối với PT tuyến tính vô định bằng PP này. - Brahmagupta vào năm 628 đã nắm được những phương trình Diophantine phức tạp hơn. Ông sử dụng phương pháp chakravala để giải phương trình Diophantine bậc hai, bao gồm cả các dạng của phương trình Pell. Cuốn Brahma Sphuta Siddhanta của ông đã được dịch sang tiếng Ả Rập vào năm 773 và sau đó được dịch sang tiếng Latin vào năm 1126. - Phương trình sau đó đã được chuyển thành một bài toán vào năm 1657 bởi nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat. Leonhard Euler hơn 70 năm sau đã tìm được nghiệm tổng quát đối với trường hợp riêng này của phương trình Pell, trong khi nghiệm tổng quát của phương trình Pell đã được tìm ra hơn 100 năm sau đó bởi Joseph Louis Lagrange vào 1767. - Trong khi đó, nhiều thế kỉ trước, nghiệm tổng quát của PT Pell đã được ghi lại bởi Bhaskara II vào 1150, sử dụng một dạng khác của phương pháp chakravala. Ông cũng đã sử dụng nó để tìm ra nghiệm tổng quát đối với các PT vô định bậc hai và phương trình Diophantine bậc hai khác. Phương pháp chakravala của Bhaskara dùng để tìm nghiệm PT Pell đơn giản hơn nhiều so với phương pháp mà Lagrange sử dụng 600 năm sau đó. Bhaskara cũng đã tìm được nghiệm của các PT vô định bậc hai, bậc ba, bốn và cao hơn. F. HƯỚNG DẪN HỌC SINH TỰ HỌC Học sinh tự xem lại phương pháp giải, tự giải lại những bài mà mình chưa làm được.