Giáo án Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

z + x+ 1 (3) z 1 + y + z ≥ z 1 + z + x (4) Cộng từng vế (2),(3),(4) ta có 1 ≥ (1− x)(1− y)(1− z) + x 1 + y + z + y 1 + z + x + z 1 + x+ y Như vậy ta đa chứng minh được rằng f(x, y, z) ≤ 1.Do f(1,1,1)=1 nên từ đó ta đi đến điều khẳng định max (x,y,z)∈D f(x, y, z) = 1. Bài toán tổng quát hoá như sau : Cho hàm số f(x1, x2, ..., xn) = x1 s+ 1− x1 + x2 s+ 1− x2 + ...+ xn s+ 1− xn Trong đó S = x1 + x2 + ... + xn. Khi đó bằng cách làm tương tự như trên ta cũng có max (x1,x2,...,xn)∈D f(x1, x2, ..., xn) = 1, ở đây D = {(x1, x2, ..., xn)|xi ∈ [0; 1]} 7 Minh hoạ hình học cho bài toán trên :gọi D là tập hợp tất cả các hình hộp chữ nhật. Giả sử x,y,z là ba góc tạo bởi đường chéo của hình hộp với 3 cạnh xuất phát từ một đỉnh .Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y, z) = cos2 x 1 + sin2 x + cos2 y 1 + sin2 y + cos2 z 1 + sin2 z + sin2 x sin2 y sin2 z trên miền D Dựa vào sự kiện quen biết :trong mọi hình hộp ta có cos2 x+ cos2 y + cos2 z = 1. Từ đó suy ra 1+sin2 x = 1+(1− cos2 x) = 1+cos2 y+cos2 z. Vì thế sau khi đặt X = cos2 x;Y = cos2 y;Z = cos2 z, thì bài toán đã cho có dạng tương đương sau :Tìm giá trị lớn nhất của hàm số F (X,Y, Z) = X Y + Z + 1 + Y Z +X + 1 + Z X + Y + 1 + (1−X)(1− Y )(1−Z) với X, Y, Z ∈ [0; 1] Từ đó theo kết quả trên suy ra max (X,Y.Z)∈D F (X, Y, Z) = 1. Dưới đây là một số bài tập áp dụng bất đắng thức Côsi Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y, z) = xyz xét trên miền D = {(x, y, z)|x, y, z ≥ 0; 1 1 + x + 1 1 + y + 1 1 + z = 2} Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của f(x, y, z) = x x+ 1 + y y + 1 + z z + 1 trên miền D = {(x, y, z)|x, y, z > 0; x+ y + z = 1} Bài 3. Tìm GTNN của f(x, y, z) = x y2 + z2 + y z2 + x2 + z x2 + y2 Với x, y, z > 0;x2 + y2 + z2 = 1 8 Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x, y, z) = x y + z + y z + x + z x+ y + y + z x + z + x y + x+ y z Với x, y, z > 0 Bài 5. Tìm GTNN của f(x, y, z) = x6 y3 + z3 + y6 z3 + x3 + z6 x3 + y3 Trên miền D = {(x, y, z)|x, y, z > 0;xy√xy + yz√yz + zx√zx = 1} Bài 6. Tìm GTNN của f(x, y, z) = x√ 1− x + y√ 1− y Với x, y > 0; x+ y = 1 Bài 7. Tìm GTLN của hàm số f(x) = sinp x sinq x với 0 ≤ x ≤ pi 2 ; p, q ∈ N∗ Bài 8. Cho a, b, c > 0; abc = 1. Tìm GTLN của biểu thức 1 a2 + 2b2 + 3 + 1 b2 + 2c2 + 3 + 1 c2 + 2a2 + 3 Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x, y) = x3 y + y3 x Trên miền D = {(x, y)|x, y > 0;xy = 1 2 } Giải:áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số ( √ x3 y ; √ y3 x ) và ( √ xy; √ xy) ta có (x2 + y2)2 ≤ f(x, y).2xy = f(x, y)⇔ f(x, y) ≥ 4x2y2 = 1 Mặt khác ta có f( 1√ 2 ; 1√ 2 ) = 1 vì vậy min (x,y)∈D f(x, y) = 1 9 Bài toán tổng quát như sau min (x1,x2,...,xn)∈D f(x1, x2, ..., xn) = 1 n− 1 . Nếu thay D = {(x1, x2, ..., xn)|xi > 0∀i = 1..n;x1x2 + x2x3 + ...+ xn−1xn + xnx1 = 1} bởi miền D′ = {(x1, x2, ..., xn)|xi > 0∀i = 1..n; n∑ i=1 x2i = 1} thì ta vẫn có min (x1,x2,...,xn)∈D′ f(x1, x2, ..., xn) = 1 n− 1 . Trong đó f(x1, x2, ..., xn) = n∑ i=1 x3i S − xi ;S = n∑ i=1 xi Ví dụ hình học minh hoạ cho bài toán trên như sau Gọi D là tập tất cả các hình hộp chư nhật. Đặt x, y, z là 3 góc hợp bởi đường chéo và 3 cạnh của hình hộp chữ nhật cùng xuất phát từ một đỉnh. Xét hàm số sau trên D: f(x, y, z) = cos4 x cot2 x+ cos4 y cot2 y + cos4 z cot2 z Khi đó ta có min (x,y,z)∈D f(x, y, z) = 1 2 Để chứng minh ý này ta làm tương tự như những ví dụ trên biến đổi LG ,áp dụng hệ thức cos2 x + cos2 y + cos2 z = 1 trong mọi hình hộp chữ nhật rồi sử dụng kết quả của bài toán trên. Ví dụ 5. Tìm GTNN của S = √ x2 + 1 x2 + √ y2 + 1 y2 + √ z2 + 1 z2 Trên miền D = {(x, y, z)|x, y, z > 0; x+ y + z ≤ 1} 10 Giảiáp dụng bất đẳng thúc Bunhiacopxki ta có: x+ 9 x ≤ √ 82 √ x2 + 1 x2 Tương tự ta cũng có y + 9 y ≤ √ 82 √ y2 + 1 y2 z + 9 z ≤ √ 82 √ z2 + 1 z2 Cộng từng vế các bát đẳng thức trên ta có S. √ 82 ≥ (x+ y+ z) + 9(1 x + 1 y + 1 z ) = 81(x+ y+ z) + 9( 1 x + 1 y + 1 z )− 80(x+ y+ z) ⇔ S √ 82 ≥ 2.9.3 √ (x+ y + z)( 1 x + 1 y + 1 z )− 80(x+ y + z) ⇔ S ≥ 162− 80 = 42⇔ S ≥ √ 82 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 3 Vậy min (x,y,z)∈D S = √ 82. Bài toán trên có thể giải được bằng nhiều cách khác nhau chẳng hạn: Đặt −→u = (x; 1 x );−→v = (y; 1 y) ;−→w = (z; 1 z ) Sau đó ta áp dụng bát đẳng thức vectơ |−→u1|+ |−→u2|+ ...+ |−→un| ≥ |−→u1 +−→u2 +−→un| cho 3 vectơ −→u ;−→v ;−→w ta có S = |−→u |+ |−→v |+ |−→w | ≥ √ (x+ y + z)2 + ( 1 x + 1 y + 1 z )2 Do (x+ y + z)( 1 x + 1 y + 1 z ) ≥ 9 ⇔ ( 1 x + 1 y + 1 z ) ≥ 9 (x+ y + z) Nên ta có S ≥ √ (x+ y + z)2 + ( 9 x+ y + z )2 . Đến đây ta sử dụng tiếp pp đạo hàm bằng cách đặt α = (x + y + z)2;α ∈ (0; 1] ta sẽ suy ra kết quả như trên. 11 Bài toán tổng quát như sau min (x1,x2,...,xn)∈D S = √ n4 + 1 trong đó S = √ x21 + 1 x21 + √ x22 + 1 x22 + ...+ √ x2n + 1 x2n Với xi > 0∀i = 1..n;x1 + x2 + ...+ xn ≤ 1 Ví dụ hình học minh họa cho bài toán trên như sau: Xét các tứ diệnABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau và số đo các góc nhị diện cạnh BC, CA, AB tương ứng là x, y, z đều nhọn.Khi đó minS = √ 82 Sau đây là một số bài tập tương tự áp dụng bát đẳng thức Bunhiacopxki: Bài 9. Tìm giá trị nnhỏ nhất của f(x, y) = x y + 2z + y z + 2x + z x+ 2y Trên miền D = {(x, y, z)|x, y, z > 0}. Đưa ra kết quả tổng quát và ví dụ hình học minh hoạ cho bài toán trên. Bài 10. Tìm giá rị nhỏ nhất của biểu thức T = n √ xn + 1 xn + n √ yn + 1 yn + n √ zn + 1 zn trong đó 0 < x, y, z < 1;x+ y + z = 1 ĐS: minT = n √ 9n + 1 Bài 11. Tìm GTLN của A = a8 (a2 + b2)2 + b8 (b2 + c2)2 + c8 (c2 + a2)2 trong đó a, b, c > 0; ab+ bc+ ca = 1 Bài 12. Cho a, b, c > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau a a+ √ (a+ b)(a+ c) + b b+ √ (b+ c)(b+ a) + c c+ √ (c+ a)(c+ b) 12 Bài 13. Cho a, b, c > 0; abc = 1 Tìm GTNN của 1 a3(b+ c) + 1 b3(c+ a) + 1 c3(a+ b) Bài 14. Cho a, b, c > 0; ab+ bc+ ca = abc.Hãy tìm GTNN của √ b2 + 2a2 ab + √ c2 + 2b2 bc + √ a2 + 2c2 ca Bài 15. Tìm GTNN của√ x2 2 + 2 + √ x2 2 + 16x 5 + 32 5 + √ x2 2 − 4x+ 10 + √ x2 2 − 4x 5 + 8 5 Ví dụ 6. Tìm GTNN của a b+ c + b c+ a + c a+ b + b+ c a + c+ a b + a+ b c Trong đó a, b, c > 0 Giải:Ta sử dụng bất đẳng thức a b+ c + b c+ a + c a+ b ≥ 3 2 Mà b+ c a + c+ a b + a+ b c = ( b a + a b ) + ( c a + a c ) + ( b c + c b ) ≥ 6 (Bđt Côsi).Từ đó suy ra GTNN của bt là 15 2 Ví dụ 7. Tìm GTNN của f(x, y) = sin2000 x cos2 y + sin2000 y cos2 x với y 6= k pi 2 Giải:áp dụng bát đẳng thức Bunhiacopxki ta có: f(x, y) = [ ( sin1000 x cos y )2 + ( sin1000 y cosx )2 ]( cos2 y + sin2 y ) ≥ ( sin1000 x+ cos1000 x ) áp dụng bất đẳng thức an + bn 2 ≥ (a+ b 2 )n 13 cho trường hợp n = 500; a = sin2 x; b = cos2 x ta có sin1000 x+ cos1000 x ≥ 2 ( sin2x+ cos2 x 2 )500 = 1 2499 ⇒ f(x, y) ≥ 1 2998 Mặt khác ta có f( pi 4 ; pi 4 ) = 1 2998 . Vậy min f(x, y) = 1 2998 Ví dụ 8. Tìm GTNN của f(x, y) = 2001∑ n=1 (−1)n ( xn yn + yn xn ) Trong đó x, y > 0 Giải: Trước hết ta chứng minh xn+1 yn+1 + yn+1 xn+1 ≥ x n yn + yn xn ∀n = 1, 2, ...(1) Thật vậy (1)⇔ x2n+1 + y2n+1 ≥ xy(x2n + y2n) ⇔ (x− y)(x2n+1 − y2n+1) ≥ 0 ⇔ (x− y)2(x2n + x2n−1y + ...+ xy2n−1 + y2n) ≥ 0(2) Do x, y > 0 nên (2) luôn đúng.Vậy (1) đúng. Ta có f(x, y) = 2001∑ n=1 (−1)n+1 ( xn yn + yn xn ) = x y + y x + 2001∑ n=2 (−1)n+1 ( xn yn + yn xn ) 14 III sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình Nội dung phương pháp này như sau: Để tìm GTLN và GTNN của hàm f(x) tren miền M ta tìm tạp giá trị G=f(M) bàng cách sử dụng đk cần và đủ: y ∈ G⇔ pt y=f(x) có nghiệm trong M. Sau đây ta xét một số ví dụ Ví dụ 9. Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = −4|x| + 2|x|+2 4|x| − 2|x|+1 + 2 Giải. Gọi G là tập giá trị của hàm số y = −4|x| + 2|x|+2 4|x| − 2|x|+1 + 2 (1) Đặt t = 2|x|; t ≥ 1 do |x| ≥ 0. Khi đó y = −t2 + 4t t2 − 2t+ 2 (2) y ∈ G⇔ pt (1) có nghiệm⇔ pt (2) có nghiệm t ≥ 1. Do t2 − 2t+ 2 > 0∀t nên (2)⇔ (y + 1)t2 − 2(y + 2)t+ 2y = 0 (*) +)Nếu y = −1 thì (*) có nghiệm t = −1 (không thoả mãn). +)Nếu y 6= −1 (*) là tam thứ bậc 2 có nghiệm t ≥ 1khi và chỉ khi hoặc a.f(1) ≤ 0 hoặc  ∆ ≥ 0 a.f(1) ≥ 0 s 2 ≥ 1 (1) Giải hệ điều kiện trên ta được −1 ≤ y ≤ 1+√5. Vậy GTLN và GTNN của hàm số đã cho là -1 và 1 + √ 5 Ví dụ 10. Tìm GTLN và GTNN của S = cos x 2 + cos y 2 biết cosx+ cos y = 1 15 Giải. Tập giá trị của S là tập hợp những S làm cho hệ{ cosx+ cos y = 1 S = cos x 2 + cos y 2 (1) có nghiệm. Vì cosx+ cos y = 1 ⇔ cos2 x 2 + cos2 y 2 = 3 2 Do đó ta có S2 = cos2 x 2 + cos2 y 2 + 2 cos x 2 cos y 2 ⇔ cos x 2 cos y 2 = 2S2 − 3 4 ⇒ cos x 2 ; cos y 2 là nghiệm của phương trình X2 −X + 2S 2 − 3 4 = 0 (2) Như vậy hệ (1) có nghiệm khi và chỉ khi pt (2) có nghiệm X ∈ [−1; 1] Hơn nữa f(−1) ≥ 0 nên (2) có nghiệm X ∈ [−1; 1] khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 f(1) ≥ 0 −1 ≤ S 2 ≤ 1 ⇔ −√2 ≤ S ≤ − √ 3 2 hoặc √ 3 2 ≤ S ≤ √2 Vậy GTLN và GTNN của S là √ 2 và −√2 Ví dụ 11. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = | cos 4x− sin 4x+ 1| cos6 x+ sin6 x Giải. Đặt g = cos 4x− sin 4x+ 1 cos6 x+ sin6 x = 8(cos 4x− sin 4x+ 1) 5 + 3 cos 4x 16 Bài của các em khá tốt. Những áp dụng hình học mà các em đưa ra khiến tôi rất thích thú. Các em hãy bổ sung những phần còn thiếu và cố gắng phát huy điểm mạnh của mình nhé! Bản đánh máy của em có khá nhiều lỗi. Các em cần đọc lại thật kĩ bài của mình để sửa chữa những lỗi đó. Tôi đã sửa giúp một số chỗ ở đoạn đầu, các em có thể tham khảo để sửa những phần còn lại. Nhớ rằng chỉ gửi lại bài cho tôi khi nào các em đã thấy thật hoàn chỉnh. Cố làm xong sớm nhé ! 17