Đề thi học sinh giỏi năm học: 2013-2014 môn: toán 8

ĐỀ GIỚI THIỆU PHÒNG GD&ĐT NAM SÁCH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học: 2013-2014 Môn: Toán 8 (Thời gian làm bài 150 phút) (Đề thi này gồm 01 trang). Câu 1: (1,5 điểm ) . a) Phân tích đa thức thành nhân tử b) Giải phương trình: Câu 2: (2,0 điểm ) a) Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện abc = 2014. Tính giá trị biểu thức: P = b) Cho là các số tự nhiên có tổng bằng . Chứng minh rằng: chia hết cho 3. Câu 3: (1,5 điểm ) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( x khác 0) b) Tìm số tự nhiên n sao cho số A = n2 +2014 là số chính phương. Câu 4: (2,0 điểm ) a) Xác định các hệ số a, b để đa thức f(x) = chia hết cho đa thức b) Cho a , b , c là độ dài ba 3 cạnh của một tam giác và abc = 2014. Chứng minh rằng :A = Câu 5: (3,0điểm ) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a) Chứng minh rằng: diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC. b) Chứng minh rằng . c) Chứng tỏ rằng bình phương diện tích tam giác AOD bằng tích diện tích tam giác AOB với diện tích tam giác DOC. Từ đó tính diện tích hình thang ABCD. Biết SAOB= 20132 (đơn vị diện tích); SCOD= 20142 (đơn vị diện tích).. --------------------Hết-------------------- Họ và tên thí sinh:SBD: ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ) ĐỀ GIỚI THIỆU PHÒNG GD&ĐT NAM SÁCH ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học: 2013-2014 Môn: Toán 8 Thời gian làm bài 150 phút Câu ý Nội dung Điểm Câu 1 1,5đ a 0,75đ Ta có 0,25 0,1 0,15 Kết luận 0.25 b 0,75đ 0,1 0,15 0,1 0,15 01 Vậy phương trình có tập nghiệm S = 0,15 Câu 2 2.0đ a 1,0đ P = = 0,25 Thay abc = 2014 vào P ta có: P = abc. 0,25 = abc. 0,15 = abc. 0.1 = abc. = abc = 2014 0,25 b 1,0đ Dễ thấy là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 0,25 Xét hiệu chia hết cho 3 0,25 Mà là các số tự nhiên có tổng bằng . 0,25 Do vậy B chia hết cho 3. 0,25 Câu 3 1,5đ a 0,75đ A = 0,25 = + 0,25 = 0,15 A min = khi x - 2014 = 0 hay x = 2014 0.1 b 0,75đ Giả sử 2014 + n2 là số chính phương thì 2014 + n2 = m2 (m) 0,15 Từ đó suy ra m2 - n2 = 2014 (m + n) (m – n) = 2014 0,1 Như vậy trong 2 số m + n và m – n phải có ít nhất 1 số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2) 0,15 Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn. (m + n) (m – n) 4 nhưng 2014 không chia hết cho 4 Điều giả sử sai. 0,25 Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2014 + n2 là số chính phương. 0,1 Câu 4 2,0đ a 1,0đ f(x) chia hết cho f(x) chia hết cho (x + 3)(x -2) f(- 3) = 0 (1) 0,25 Tương tự ta có f(2) = 0 (2) 0,25 Trừ hai vế của (1) cho (2) ta được: - 5a = 35 0,25 Thay a = - 7 vào (1) tìm được b = 6 0,25 b 1,0đ Ta có A = 0,15 A = 0,1 Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 0,15 Từ đó suy ra a= ; 0,1 Thay vào ta được Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số ta có 0,25 Từ đó suy ra A hay A 0,25 Câu 5 3,0đ 0,25 a 0,75đ Vì AB//CD (có cùng chiều cao so với đáy AB) 0,25 0,25 => 0,25 b 1,0đ Xét do OM//AB => (1), 0,25 xét do OM//DC => (2) 0,1 Từ (1) và (2) OM.() 0,25 Chứng minh tương tự ON. 0,15 Từ đó có (OM + ON). 0,25 c 1,0đ , 0,25 0,1 Chứng minh được 0,25 Thay số 20132.20142 = (SAOD)2 SAOD = 2013.2014 0,15 Do đó SABCD = 20132 + 2.2013.2014 + 20142 = (2013 + 2014)2 = 40272 (đơn vị DT) 0,25 Tổng 10 Ghi chú: Học sinh có thể làm bằng cách khác nhưng kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa. Bài 1 Cho biểu thức: A = Rút gọn A Tìm các số nguyên x để A nhận giá trị nguyên. Tìm các giá trị nguyên đó của A. Bài 2 : Giải các phương trình: a) x3 – 5x2 + 8x – 4 = 0 b) Bài 3 : a) Cho các số m, n, p thỏa mãn : . Tính giá trị của biểu thức A = m4 + n4 + p4. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2 + 2y2 – 2x – 4y + 1 = 0. Bài 4 : Cho hình thang ABCD (AB//CD và AB < CD) có các đường phân giác trong của các góc A, B, C, D cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên AB, DC. a) Chứng minh: b) Chứng minh: AH.DK = BH.CK c) Gọi E là giao điểm của các đường thẳng AD và BC, EH cắt CD tại F. Chứng minh: CF = DK. Bài 5 : Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = Bài 1 : Cho biểu thức P = a) Rút gọn P b) Tìm x để P = -2 c) Tìm x để P < 0 Bài 2 : Giải các phương trình sau: a) x2 + 3x – 4 = 0 b) c) | x | + | x – 1| = 5 Bài 3 : a) Cho biểu thức M = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 2011. Với giá trị nào của x và y thì M đạt giá trị nhỏ nhất. b) Tính giá trị của biểu thức: A = . Biết rằng các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : Bài 4 : Cho tam giác ABC có AK là trung tuyến. Từ điểm I trên cạnh BC kẻ đường thẳng a song song với AK cắt AB ở M, cắt AC ở N. Chứng minh : a) AC. AM = AB. AN b) MI + NI = 2.AK Bài 5 : Cho hình vuông ABCD. Trên AB và AD lấy M, N sao cho AM = AN. Kẻ AH vuông góc với MD. Chứng minh : a) b) CH2 + HN2 + ND2 + DC2 = MC2 + NC2.