Đề tài Ứng dụng tam thức bậc hai vào việc tìm cực trị của hàm số

TNN của y ta quy về việc tìm GTLN của m thỏa điều kiện , , (2) Đặt G (x) = + Khi m = 1 thì (2) trở thành: : không thỏa , + Khi m thì (2) trở thành: Vậy GTNN (y) = GTLN (m) = Kết luận: GTLN (y) = 7 và GTNN (y) = Bài 2:[2] Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) = (1) Giải Trên tập xác định: D = của hàm số ta viết Đặt g (x) = (2) + Khi y = 1 thì (2) trở thành: ( vô lí ) (3) + Khi y thì (2) có nghiệm (4) Từ (3) và (4) cho ta GTNN f (x) = 1 và không tồn tại GTLN. Bài 3: [2] Cho hàm số y = f(x) = , p, q là tham số. Tìm GTNN và GTLN cùa hàm số. Giải là một giá trị của hàm số Phương trình sau có nghiệm (í) có nghiệm Ÿ TH1: y0 = 1 (í) Do đó phương trình có nghiệm là 1 giá trị của hàm số (í) Ÿ TH2: Phương trình có nghiệm Đặt Vì a = 4 > 0 và F(y0) nên không thể xảy ra trường hợp nên Gọi y1, y2 là hai nghiệm của phương trình F(y0) = 0 Khi đó (íí) Hơn nữa F(1) = Từ (í) và (íí) ta suy ra Bài 4: [1] Tìm giá trị của a và b để hàm số y = f(x) = có GTNN bằng 1 và GTLN bằng 3 Giải Ta có Tương tự Theo yêu cầu bài toán cho ta hệ có nghiệm Ta nhân thấy Vậy không tồn tại a, b để max f(x) = 3 và min f(x) = 1 với mọi . Dạng 3: HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC Bài 1:[3] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = f(x) = , " xÎ R Giải: Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của hàm đặc trưng y = g(x) = trên R Gọi M(x0, y0) là 1 điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y = g(x), " xÎ R Û y0 = Û y0x02 - y0x0 + y0 = 2x02 + x0 - 1 Û (y0 - 2)x02 - (y0 + 1)x0 + y0 +1 = 0 Xét tam thức bậc 2 F(x0) trong các trường hợp sau: TH 1: y0 - 2 = 0 Û y0 = 2. Khi đó (1) Û -3x0 + 3 = 0 Û x0 = 1 Vậy y0 = 2 là một giá trị của hàm số y = f(x) tại điểm x0 = 1 TH 2: y0 ≠ 2: Tam thức F(x0) có nghiệm trên R. Û Û Û Þ Û Þ f(x) = Max {1, 3} = 3 Hơn nữa f(x) ³ 0, "x Î R và f( ) = f(-1) = 0. Do đó f(x) = 0 Bài 2:[3] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của y = Giải: Từ điều kiện -3 £ x £ 1 và do ( )2 + ( )2 = 4 ta có thể đặt 0 £ t £ 1 Khi đó y = Trước hết, ta cần tìm các giá trị của y để phương trình F(t) = (7 - 5y)t2 + 2(8y - 6)t + 7y - 9 = 0 có nghiệm thuộc [0, 1] 1) y = không là giá trị của biểu thức vì phương trình chỉ có nghiệm t = - Ï [0, 1] 2) y ≠ D’ = (8y - 6)2 - (7y - 5)(7y - 9) = 99y2 - 190y + 99 > 0 "y f(0) = 7y - 9 f(1) = 18y - 14 - = a) f(0).f(1) £ 0 Û £ y £ b) Û không tồn tại y Vậy Max y = khi t = 0 Þ x = -8. Min y = khi t = 1 Þ x = 1. Bài 3:[4] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y = f(x) = x + trên khoảng (0, +¥) Giải: y0 là một giá trị của hàm số y = f(x) Û pt sau y0 = x + (1) có nghiệm x > 0 (y0 - x)2 = x2 + có nghiệm x > 0 y02 - 2y0x + x2 = x2 + có nghiệm x > 0 2y0x2 - y02x + 1 = 0 có nghiệm x > 0 Tam thức bậc hai F(x) = 2y0x2 - y02x + 1 = 0 có nghiệm x > 0 Ta có DF = y04 - 8y0 = y0(y03 - 8) Vì y0 = x + > 0, "x > 0 nên DF ³ 0 Û y03 - 8 ³ 0 Û y0 ³ 2 Û Þ Tam thức bậc 2 F(x) vó 2 nghiệm khi y0 ³ 2 và lúc đó 2 nghiệm đều dương Þ f(x) = 2 tại x = Dạng 4: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1:[1] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = (3sinx + 4 cosx)(3cosx - 4 sinx) + 1 Giải: y = 12 cos2x - 7sinxcosx - 12sin2x + 1 Û y = 12 cos2x - sin2x + 1 y0 là một giá trị của hàm số Û 24cos2x - 7sin2x + 2 - 2y = 0 có nghiệm x Î R Û 242 + (-7)2 ³ (2y - 2)2 Û (2y - 2)2 £ 252 Û -25 £ 2y -2 £ 25 Û £ y £ Lúc đó Bài 2:[4] Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: y = f(x) = , xÎ R Giải: Xét hàm số: y = g(x), x Î R Û phương trình sau có nghiệm: y0(sinx + 2) = sinx + cosx + 1 Û phương trình: (y0 -1)sinx - cosx + 2y0 - 1 = 0 có nghiệm Û (y0 - 1)2 + 1 ³ (2y0 - 1)2 Û 3y02 - 2y0 - 1 £ 0 Û - £ y0 £ 1 Þ g(x) = 1; g(x) = - Þ Þ f(x) = 1 tại x = 2kp, k Î Z Vì f(x) ³ 0 "x Î R và f(x) = 0 Û Bài 3:[2] Tùy theo m, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y = f(x) = sin4x + cos4x + msinxcosx ; "x, "m. Giải: Ta có: y = f(x) = (sin2x + cos2x)2 - 2sin2xcos2x + msinxcosx Û y = f(x) = - sin22x + sin2x + 1 Đặt: sin2x = t Þ | t | £ 1 Yêu cầu bài toán bây giờ quy về việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: g(t) = - t2 + t + 1 ; " | t | £ 1, "m. g(t’) = - t + Xét 3 trường hợp: TH 1: £ -1 Û m £ -2 t -¥ -1 1 +¥ g’(t) + 0 - - g(t) Þ Þ ` TH 2: -1 < < 1 Û -2 < m < 2 t -¥ -1 1 +¥ g’(t) + 0 - g(t) Þ Þ TH 3: ³ 2 Þ m ³ 4 t -¥ -1 1 +¥ g’(t) + + 0 - g(t) Þ Þ ; "m Î [2, +¥) Dạng 5: TÌM VÀ PHƯƠNG PHÁP : Xét hàm số :fx=ax2+bx+c+mx+n trên R với m,n∈R và a∈R\0 Gọi : g(x)= ax2+bx+c là đa thức cơ sở có: ∆g=b2-4acx1,x2x1<x2 là hai nghiệm nếu xảy ra Trước hết,để dơn giản ta giải quyết bài toán thứ nhất : tìm minax2+bx+c+mx+n qua hai trường hợp: · TH1: ∆g=b2-4ac ≤ 0 ⇒ fx=f1x= ax2+b+mx+c+n:nếu a>o f2x=-ax2+m-bx-c+n:nếu a<o Đây là bài toán tầm thường ,ta có ngay kết quả : yS S xS Ÿ TH2: ∆g=b2-4ac >0 và xét bài toán với ag≥0 (khi ag<0, lập luận tương tự) ⇒ fx=f1x= ax2+b+mx+c+n;với x≤x1x≥x2f2x=-ax2+m-bx-c+n:với x1<x<x2 Khi : x≤x1x≥x2 ; ta xét ba khả năng cho f1x như sau : f(x1) A xs x1 x2 ⇒minf1x;f2x2;f(-b+m2a) Với D1=(-∞;x1∪x2;+∞) ⇒ minmx1+n;mx2+n;f(-b+m2a) (I) Khi : x1<x<x2 ; ta xét khả năng cho f2x như sau : f1(x1) f1(x1) f1(x1) f2(x2) f2(x2) f2(x2) ⇒minf1x;f2x2 với D2=x1;x2 ⇒ minmx1+n;mx2+n (II) Kết hợp (I) và (II) cho ta trong mọi trường hợp : =min{, } BÀI TẬP : Bài 1:[4] Với những giá trị nào của tham số m thì giá trị nhỏ nhất của hàm số : y= x2-5x+4+mx lớn hơn 1? Giải: Để ý rằng : f(x) =x2-5x+4 =0 ⟺ x=1⇒fx≥mx=4⇒f(x)≥4m Ta viết : f(x) = f1x=x2-5x+4+mx ;với x≤1x≥4f2x=-x2+5x-4+mx:với1<x<4 ⇔ f(x) = f1x=x2+(m-5)x+4;với x≤1x≥4f2x=-x2+(5+m)x-4:với1<x<4 Áp dụng phương pháp trên (ag=1>0).ta có : =minm;4m;f15-m2 >1 ⇔m>14m>1(m-5)24+4>1 ⇔m>1m>1/45-23<m<5+23 ⇔ 1<m<5+23 (ycbt) Bài 2: [3] Tìm các giá trị của tham số a để cho giá trị lớn nhất của hàm số : y = 4ax+ 4x-3-x2 ; lớn hơn 2. Giải : Ta viết : f(x) =f1x=x2+4(a-1)x+3 ;với x≤1x≥3f2x=-x2+4a+1x-3:với1≤x≤4 ⇒ = minf11;f23;f1-2a-1>2 4a>212a>2a-12 ≤14 ⇔12<a≤32 (1) Nhưng a nên chọn trong (1) ; a = 1 là số nguyên thỏa ycbt Bài 3: [4] Tìm những giá trị của tham số m để hàm số y = x2-5x+4 + mx có giá trị lớn nhất bằng 1 Giải: Yêu cầu bài toán tương đương việc quy về tìm sao cho f(x) = x2-5x+4 + mx -1 > 0; ∀x (1) Ta có : g(x)= x2-5x+4=x2-5x+4 khi x∈-∞;1∪ 4;+∞-(x2-5x+4) khi x∈(1;4) nên (1)f1x=x2+m-5x+3>0 với -∞;1∪ 4;+∞f2x=x2-4m+5x+5; với 1<x<4 Ta xét hai trường hợp: Ÿ TH1: xác đinh m để: f1x=x2+m-5x+3>0 với -∞;1∪ 4;+∞ ⇔Δf1<01<x1≤x2<4 (với x1,x2 là hai nghiệm của f1x= 0 ⇔m-52 -4.1.30f11=1+m-5+3>01<S2=5-m2<4 ⇔5-231m>14-3<S<3 ⇔5-23<m<5+231<m≤5+23 ⇔1<m<5+23 . Ÿ TH2: Xác định m để : f2x=x2-4m+5x+5; với 1<x<4 ⇔x3≤1<4≤x4 (với x3,x4 là hai nghiệm của f2x= 0) ⇔ f21≤0 f24≤0⇔-m+1≤0-4m+1≤0⇔m≥1m≤14⇔m≥1 . TH1 ∩ TH2 :cho ta : 1≤m<5+23 Dạng 6: TÌM VÀ PHƯƠNG PHÁP: Cũng như ở dạng trước ,Ở đây trình bày phương pháp tìm : với ∀a>0 và m>0 (*) Các trường hợp khác với (*) cũng lập luận tương tự : Để ý rằng khi đặt : f(x) = ax2+bx+c+mx+n ⇒ f(x) ≥ ax2+bx+c (1) A (C1) (C2) S2 S1 Dấu bằng đẳng thức xảy ra khi: x =-nm ⇒ f(-nm) =an2m-bnm +c Ta xét : f(x) = fx=f1x= ax2+b+mx+c+n;nếu x1≥ -n/mf2x=ax2+b-mx+c-n;nếu x1≤ -n/m Qua các trường hợp sau: ⨁ -nm≤- b+m2a⇔m2+ bm≤2na Thì : ⨁-nm≥ b-m2a ⇔m2+ bm≥2na (C2) (C1) (C1) (C2) A S1 S1 S2 S2 Thì : ⨁-b+m2a<-nm<- b-m2a ⇔m2- bm<2na<m2+ bm Thì : Vậy : = minf(-nm);f(-b-m2a);f(-b+m2a) BÀI TẬP: Bài1: [4] Tìm m để với mọi x ,ta có: fx=x2-2mx +2x-m+2>0 Giải: Xét : fx=x2-2mx +2x-m+2≥ fm=2-m2 ⇒y= fx=f1x= x2-2m-1x-2(m-1);nếu x≥ mf2x=x2-2m+1x+2(m+1);nếu x≤ m Gọi S1,S2 là đỉnh của Parabol (P1 ):y= f1x ; (P2 ) : y=f2x. ta có ⟹f1xS1=f1m-1=1-m2f2xS2=f2m+1=1-m2 Để ý rằng : xS1=m-1<m<m+1=xS2 >0⟺min2-m2;1-m2>0 2-m2>0⟺ -2<m<2 (ycbt) Bài 2: [3] Tìm giá trị của tham số sao cho GTNN của hàm số ≤2.Biết rằng : y = f(x) =x2-2x+1+2x-m Giải: Để ý rằng : y = f(x)=(x-1)2+2x-m ⟹ y = f(x)≥ (x-1)2 (đẳng thức xảy ra khi x= m) ⇔ y = f(x)≥ (m-1)2 Gọi S1,S2 là đỉnh của các Parabol : P1 ):y= f1x ; (P2 ) : y=f2x. Như sau: y= fx=f1x= x2+1-2m; nếu x≥ mf2x=x2-4x+1+2m ;nếu x≤ m ⇒f1xS1=f10=1-2m (x≥ m)f2xS2=f22=2m-3 (x≤ m) Để ta xét: · TH1: m≤0= xS1 ⇔m≥-12m≤0⇔-12≤m≤0 . · TH2: m≥2=xS2 ⇔m≤5/2m≥2⇔2≤m≤5/2 . ·TH3: xS1=0<m≤2=xS2 ⇔1-2≤m≤1+20<m≤2⇔0<m<2 Kết hợp cả ba trường hợp ta được: -1/2≤m≤5/2 (ycbt) Bài 3: [2] Tìm các giá trị của tham số m sao cho: x2 + (m + 1)2 + 2 (1) Giải: Xét tam thức bậc hai đặc trưng cho (1), ta có: f(x) = x2 + (m + 1)2 + 2 Suy ra f(x) x2 + (m + 1)2 ( dấu đẳng thức xảy ra khi x = m – 1) Suy ra f(x) (m – 1)2 + (m + 1)2 = 2(m2 + 1) Xét: f(x) = Gọi S1, S2 là các đỉnh của Parabol (P1): y = f1(x); (P2): y = f2(x) Ta xét 3 trường hợp như sau: Ÿ TH1: m – 1 ≤ -1 = m 0 Suy ra - 1 ≤ m ≤ 0 Ÿ TH2: m – 1 1 = m 2 Suy ra m Ÿ TH3: -1< m – 1 < 1 0< m < 2 Suy ra Bài4: [1] Tìm các giá trị của tham số để: , HD: Bạn có thể giải bài này bằng cách làm tương tự như những bài trên. íMỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO 1/ Tìm GTLN VÀ GTNN của các hàm số sau: a. b. c. 2/ Giả sử x, y liên hệ với nhau bằng hệ thức Hãy tìm GTLN và GTNN của biểu thức S = x2 + y2 3/ Giải và biện luận nghiệm của bất phương trình theo tham số a như sau a. b. CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] 15 PHƯƠNG PHÁP CHUYÊN ĐỀ TAM THỨC BẬC HAI VÀ CÁC ỨNG DỤNG ĐẶC SẮC NGUYỄN ĐỨC ĐỒNG _ NGUYỄN VĂN VĨNH [2] TAM THỨC BÂC HAI – ỨNG DỤNG LÊ HỒNG ĐỨC [3] BÁO TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ [4] TRANG WED: BOXMATH.VN