Đề tài Sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phương trình

hoặc nhiều thuận lợi x0, x1, trong việc xác định điều kiện cần. Ÿ Với câu hỏi “Nên lấy những giá trị nào từ tập Dx để làm điểm thuận lợi” chỉ có thể trả lời rằng cần sử dụng trực giác và kinh nghiệm của từng người. Các em học sinh cần tích lũy dần những kinh nghiệm này thông qua các ví dụ. II. VÍ DỤ MINH HỌA: VD1: Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng "x ³ -2: êx – m ê= x + 4 (1) Giải: Điều kiện cần: pt nghiệm đúng "x ³ -2 suy ra x = -2 là nghiệm của (1), tức là: êm + 2 ê= 2 Û Điều kiện đủ: Ÿ Với m = 0, ta có: êx ê= x + 4 Nhận thấy x = 0 Î [-2, ¥) không phải là nghiệm của phương trình. Do đó, m = 0 không thỏa mãn. Ÿ Với m = -4, ta có: êx + 4 ê= x + 4 đúng với x ³ -2 Vậy, với m = -4 pt nghiệm đúng "x ³ -2 Chú ý: Bài toán trên còn có thể phát biểu dưới dạng: “Tìm m để phương trình êx - mê= x + 4 tương đương với bất phương trình f(x) ³ 0 (hoặc f(x) £ 0)”(2) Trong đó nghiệm của BPT (2) là x ³ -2 VD2: [3]Tìm m để pt sau nghiệm đúng "x ³ -2 lg(x – m)2 = 2(x + 4) (1) Giải: Điều kiện x ¹ m Trước hết để pt nghiệm đúng "x ³ -2, ta phải có m < -2 Biến đổi phương trình về dạng: 2lg êx – m ê= 2(x + 4) Û êx – m ê= x + 4 (2) Điều kiện cần: pt nghiệm đúng "x ³ -2 Þ x = -2 là nghiệm của (2), tức là: êm + 2 ê= 2 Û m = 0 m = -4 Đó chính là điều kiện cần để pt nghiệm đúng với "x ³ -2 Điều kiện đủ: Với m = -4, ta có: x ³ -2 êx + 4 ê= x + 4 Û x + 4 = x + 4 luôn đúng. Vậy, với m = -4 pt nghiệm đúng "x ³ -2 VD3:[3] Tìm a, b để pt sau nghiệm đúng "x: (1) Giải: Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm "x Þ x = 0 là nghiệm của (1), khi đó: (1) Û a – 1 = 0 Û a = 1 Với a = 1: (1) Û Û x2 + 1 = x2 + bx + 1 "x Û bx = 0 Û b = 0 Vậy a = 1 và b = 0 là điều kiện cần để phương trình nghiệm đúng "x Điều kiện đủ: Với a = 1 và b = 0, khi đó (1) có dạng: = 0 Û 0 = 0 luôn đúng. Vậy, với a = 1 và b = 0 pt nghiệm đúng "x. Dạng 3: Giải bài toán về phương trình hệ quả I. PHƯƠNG PHÁP: Cho hai phương trình: f(x, m) = 0 (1) g(x, m) = 0 (2) Với yêu cầu: “Tìm điều kiện của tham số m để pt (1) là hệ quả của pt (2)” (nói cách khác: “Để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2)”), ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Điều kiện cần Ÿ Giải và tìm nghiệm x = x0 của (1). Ÿ Để phương trình (1) là hệ quả của pt (2), trước hết cần x = x0 cũng là nghiệm của (2), tức là: g(x0, m) = 0 Þ m = m0 Ÿ Vậy m = m0 chính là điều kiện cần. Bước 2: Điều kiện đủ Ÿ Với m = m0 (1) Û f(x, m0) = 0 Þ nghiệm của (1) (2) Û g(x, m0) = 0 Þ nghiệm của (2) Ÿ Kết luận II. VÍ DỤ MINH HỌA: VD1: [3]Cho hai phương trình: sin x + m . cos x = 1 (1) m . sin x + cos x = m2 (2) Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2). Giải: Điều kiện cần: Nhận xét rằng với mọi m (1) luôn có nghiệm + 2kp, k Î Do đó để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2) trước hết cần + 2kp (k Î ) cũng là nghiệm của (2), tức là: m = m2 m . sin Û Û m = 0 m = 1 Đó chính là điều kiện cần của m. Điều kiện đủ: Ÿ Với m = 0, ta được: (1) Û sin x = 1 (2) Û cos x = 0 Suy ra mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2). Ÿ Với m = 1, ta được: (1), (2) Û sin x + cos x = 1 Suy ra mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2). Vậy với m = 0 hoặc m = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài. Chú ý: Tồn tại những bài toán mà không thể chỉ ra được dạng nghiệm tường minh cho phương trình (1) khi đó ta cần đánh giá thông qua tính chất nghiệm của các phương trình lượng giác, thí dụ như pt sin x = m có nghiệm x0 thì cũng nhận p – x0 làm nghiệm, khi đó bằng cách thay vào (2) cả x0 và p – x0 vào (2) ta sẽ tìm được điều kiện cần cho tham số. Cụ thể ta đi xem xét ví dụ sau: VD2:[2] Cho hai phương trình: cos(x + y) = a (1) sin(x + y) = b (2) Tìm a, b để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2). Giải: Điều kiện cần: Nhận xét rằng nếu (x0, y0) là nghiệm của (1) thì (-x0, -y0) cũng là nghiệm của (1), do đó để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của pt (2) trước hết (x0, y0) và (-x0, -y0) cũng là nghiệm của (2), tức là: Û Û sin(x0 + y0) = b sin(x0 + y0) = b b = 0 sin(-x0 – y0) = b -sin(x0 + y0) = b sin(x0+y0)=0 Û Û Û b = 0 b = 0 b = 0 x0 + y0 = kp coskp = a êa ê= 1 Đó chính là điều kiện cần của a và b. Điều kiện đủ: Ÿ Với a = 1 và b = 0, ta được: (1) Û cos(x + y) = 1 (2) Û sin(x + y) = 0 Suy ra mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2). Ÿ Với a = -1 và b = 0, ta được: (1) Û cos(x + y) = -1 (2) Û sin(x + y) = 0 Suy ra mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2). Vậy, với a = 1 và b = 0 hoặc a = -1 và b = 0 thỏa mãn điều kiện đầu bài. Dạng 4: Giải bài toán về hai phương trình tương đương I. PHƯƠNG PHÁP: Cho hai phương trình: f(x, m) = 0 (1) g(x, m) = 0 (2) Với yêu cầu “Tìm điều kiện của tham số để hai phương trình tương đương “,ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Điều kiện cần: Ÿ Giải và biện luận n0 x = x0 của (1) Ÿ Để phương trình a và (2) tương đương, trước hết cần x = x0 cũng là nghiệm của (2) tức là: g(x0, m) = 0 Þ m = m0 Ÿ Vậy m = m0 chính là điều kiện cần. Bước 2: Điều kiện đủ: Ÿ Với m = m0 (1) Û f(x, m0) = 0 Þ nghiệm của (1) (2) Û g(x, m0) = 0 Þ nghiệm của (2) Ÿ Kết luận II. MỘT VÀI BÀI TOÁN MẪU: VD1:[2] Cho hai phương trình: (x + 5) (2 – x) = 3m (1) x4 + 6x3 + 9x2 – 16 = 0 (2) Tìm m để (1) và (2) tương đương. Giải: Giải (2): (2) Û (x2 + 3x)2 – 16 = 0 Û (x – 1) (x + 4) (x2 + 3x + 4) = 0 Û x = 1 x = -4 Điều kiện cần: Giả sử (1) và (2) tương đương Þ x = 1 là nghiệm của (1) Û Khi đó: (1) Û 6 = 3m Û m > 0 m > 0 4 = m2(m + 3) m3+3m2–4 =0 Û m = 1 Û m > 0 (m – 1) (m2 + 4m + 4) = 0 Vậy m = 1 là điều kiện cần để (1) và (2) tương đương. Điều kiện đủ: Với m = 1. Khi đó (1) có dạng: -x2 – 3x + 10 = 0 = 3 Đặt t = , điều kiện t ³ 0 Khi đó (3) Û t2 +3t – 10 = 0 Û = 2 Û x2 + 3x = 4 Û x = 1 x = -4 Tức là (1) và (2) tương đương với m = 1. Chú ý: Chúng ta đã tồn tại những phương trình chứa căn mà tập nghiệm của nó là một khoảng, do đó một phương trình chứa căn thức có thể tương đương với một bất phương trình (hoặc có thể phát biểu dưới dạng “nghiệm đúng " x ÎR”) chúng ta đi xem ví dụ sau: VD2:[2] Cho phương trình và bất phương trình: (1) êx2 + 3x + 2ê£ x2 + 2x + 5 (2) Giải: Giải (2): (2) Û (x2 + 3x + 2)2 £ (x2 + 2x + 5)2 Û (x – 3)(2x2 + 5x + 7) £o Û x £ 3 Điều kiện cần: Giải (1) và (2) tương đương Þ x = 3 là nghiệm của (1) Khi đó: (1) Û Vậy m = ±1 là điều kiện để (1) và (2) tương đương. Điều kiện đủ: Với m = 1 khi đó (1) có dạng: Û Û Û Tức là (1) và (2) tương đương. * Với m = -1, tương tự (hoặc có thể nhận xét về tính đối xứng của m trong phương trình) Vậy, với m = ±1 thì (1) và (2) tương đương. VD3:[2] Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 8mxcos2x = sin2xcos3x - sin5x (1) mcos2x + êm êcos4x + cos6x = 1 (2) Giải: Điều kiện cần: Giải (1) ta được: Do đó (1) và (2) tương đương trước hết cần x = 0 (là một nghiệm của họ x = ) cũng là nghiệm của (2), tức là: mcos0 + êm êcos0 + cos 0 = 1 Û m + êm ê= 0 Û m £ 0 Điều kiện đủ: * Với m = 0 ta được: (2) Û cos6x = 1 Û 1 – 2sin23x = 1 Û sin3x = 0 Û3x = kp Û x = Vậy m = 0 thỏa mãn điều kiện đầu bài. * m < 0 ta được: (2) Û mcos2x – mcos4x + cos6x = 0 Û cos6x – 1 – m(cos4x – cos2x) = 0 Û -2sin23x + 2msin3xsinx = 0 Û (sin3x – msinx)sin3x = 0 Û sin3x = 0 3sinx – 4 sin3x – msinx = 0 Û vậy với m=0 hoăc m>-1 thì thỏa mãn điều kiện đầu bài õBài tập tham khảo chương 2: 1) Cho phương trình x2 + ax + b = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để phương trình có nghiệm bằng k lần nghiệm còn lại. 2) Cho phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 Có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3. Chứng minh 3 nghiệm đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 2a3 – 9ab + 27c = 0 3) Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng " xÎ [0, 2] 4) Cho 2 phương trình: 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 28sinx9m2x mcos3x + (4 – 8m)sin2x + (7m – 4)cosx + 8m – 4 = 0 Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2). ************************ Chương 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT THAM SỐ Dạng : Phương trình nghiệm đúng với giá trị xác định của tham số. I. PHƯƠNG PHÁP: Với yêu cầu “Tìm x để phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số m thuộc Dm”. Ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Điều kiện để biểu thức của phương trình có nghĩa. Bước 2: Điều kiện cần: Giả sử phương trình nghiệm đúng với " x Î Dm suy ra nghiệm đúng với m0 Î Dm Bước 3: Điều kiện đủ: Thực hiện phép thử kiểm tra với x = x0 Chú ý: Việc chỉ ra giá trị m0ÎDm được gọi là phương pháp sử dụng điểm thuận lợi trong việc tìm điều kiện cần và đủ. Ÿ Hoàn toàn có thể sử dụng một hoặc nhiều điểm thuận lợi m0, m1 trong việc xác định điều kiện cần. Ÿ Với câu hỏi “Nếu lấy những giá trị nào từ tập Dm để làm điểm thuận lợi” chỉ có thể trả lời cần sử dụng trực giá và kinh nghiệm của từng người. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Ví dụ: [2] Cho phương trình: log = log Tìm x để phương trình sau nghiệm đúng với mọi a. Giải: Điều kiện cần: Giả sử (1) nghiệm đúng với mọi a Þ đúng với a = 0 Với a = 0 ta được: (1) x + 3 ³ 0 Û x ³ 0 x + 3 + x + 2 = 9 Û x = 1 Û Û x ³ 0 x ³ 0 = 3 – x 3 – x ³ 0 x(x + 3) = (3 – x)2 Vậy, x = 1 là điều kiện cần để phương trình nghiệm đúng với mọi a. Điều kiện đủ:với x-1 phương trình (1) có dạng: (Luôn đúng) Vậy,x=1 là điều kiện cần và đủ để phương trình nghiệm đúng với mọi a. Bài tập tham khảo chương 3: 1/Cho phương trình: a/Giải phương trình với m=0 b/Tìm giá trị của x nghiệm đúng phương trình đã cho với mọi m0 2/ Cho phương trình; a/Giải phương trình với m=0 b/Tìm giá trị của x nghiệm đúng phương trình đã cho với mọi m0 *************************** TÀI LIỆU THAM KHẢO. [1].Lê Hồng Đức-Phương pháp giải tự luận và trắc nghiệm môn toán. [2].Lê Hồng Đức & Trần Phương- Đại số sơ cấp- nhà xuất bản Hà Nội 2002 [3].Lê Hồng Đức&Lê Bích Ngọc&Lê Hữu Trí- Phương pháp giải toán đại số-nhà xuất bản Hà Nội 2002 [4].Phan Huy Khải-Toán nâng cao đại số 10,11,12-nhà xuất bản Hà Nội 2000 ***************************