Đề tài Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số

hi Bài toán 7 : Cho phương trình (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất Lời giải : Xét , khi đó PT (1) (2) Đặt PT (2) trở thành , t >0 Xét hàm số Ta có : Bảng biến thiên t 0 + 2 Ứng mỗi thỏa mãn PT (3), ta được đúng một nghiệm của PT (1) Do đó PT (1) có nghiệm duy nhất thỏa khi và chỉ khi PT (3) có duy nhất nghiệm . Từ bảng biến thiên ta có : * Nhận xét : Đây là bài toán tương đối khó, sau khi đặt ẩn phụ ta vẫn được một phương trình chứa căn phức tạp.Cách giải trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên. Bài toán 8 : Cho phương trình (1) .Tìm m để phương trình có nghiệm Lời giải : Điều kiện : Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên (1) tương đương với Xét hàm số , Ta có : Với mọi nên Bảng biến thiên : x 0 6 f’(x) -1 + f(x) - Từ bảng biến thiên ta có : Phương trình (1) có nghiệm * Nhận xét : Đây là bài toán mà ta không đặt được ẩn phụ, nếu dùng phép biến đổi mất căn thì dẫn đến một phương trình phức tạp. Cách giải trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên. Bài toán 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất (1) trên Lời giải: Xét hàm số trên . Ta có Xét hàm số trên . Ta có Ta có bảng biến thiên x 0 1 + 0 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy và ta có . Suy ra Do đó Bảng biến thiên: x 0 1 0 + 1 PT (1) là phương trình hoành độ giao điểm của và (C ) : Phương trình có nghiệm duy nhất khi hoặc . * Nhận xét :Đây là bài toán mà ta không đặt được ẩn phụ, nếu dùng phép biến đổi mất căn thì dẫn đến một phương trình phức tạp. Cách giải trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên. Bài toán 10 : Chứng minh rằng , phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt: Giải Do nên (1) Yêu cầu bài toán quy về chứng minh phương trình (*) có một nghiệm trong Biến đổi (*). Xét hàm số với . Ta có và Bảng biến thiên: x 2 + 0 Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (*) có đúng một nghiệm . Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt . * Nhận xét: Sau khi tìm được điều kiện việc khảo sát hàm số ở trên là rất dễ dàng chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số . 2.2* Dạng 2: Bất phương trình. Bài toán 1: Tìm để bất phương trình có nghiệm. Lời giải: Điều kiện: . Khi đó, bất phương trình có nghiệm Xét hàm số trên . Ta có Tính . Suy ra . Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi . Bài toán 2: Tìm tham số để bất phương trình sau có nghiệm: (1) Giải Điều kiện: . Đặt BPT (1) trở thành (2) Xét hàm số , Ta có: Bảng biến thiên t 0 + 0 0 Suy ra Bất phương trình (1) có nghiệm bất phương trình (2) có nghiệm * Nhận xét: Nếu đưa về bất phương trình . Khi đó hàm số dẫn đến việc tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm và xét dấu đạo hàm gặp khó khăn. Bài toán 3: Tìm m để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi Lời giải: Đặt x 1 6 0 + 5 0 0 Do đó Bất phương trình (1) trở thành (2) Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi Ta có Tính f(0) = -24, f(5) = 6. Do đó Vậy . Bài toán 4: Tìm để bất phương trình có nghiệm với mọi . Lời giải Ta có , vì Khi đó, phương trình có nghiệm với mọi Xét hàm số trên . Ta có Bảng biến thiên: -6 6 - 0 + 0 - Suy ra . Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi khi . Bài toán 5: Tìm để bất phương trình nghiệm đúng với mọi . Lời giải Đặt . Với . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành . Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi . Xét hàm số trên . Ta có Bảng biến thiên t 1 4 2 Dựa vào bảng biến thiên suy ra . Do đó giá trị cần tìm là: . Bài toán 6: Tìm để bất phương trình nghiệm đúng với mọi . Lời giải: Ta có (*) Hệ bất phương trình (*) thỏa với mọi x Xét hàm số trên . Ta có Bảng biến thiên: -1 1 + 0 - 0 + 2 0 0 -2 Dựa vào bảng biến thiên suy ra . Vậy giá trị cần tìm là: . Bài toán 7: Tìm để hàm số đồng biến trên . Lời giải: Ta có . Hàm số đồng biến trên Xét hàm số trên . Ta có Bảng biến thiên: x 2 0 + 0 Dựa vào bảng biến thiên suy ra . Do đó giá trị cần tìm là: . Bài toán 8: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x cos4x - 5cos3x - 36sin2x - 15cosx + 36 + 24m - 12m2 0 (1) Lời giải: TXĐ: D = IR Trên D bpt (5) 3cos4x - 20cos3x + 36cos2x + 24m - 12m2 0 (2) Đặt t = cosx với t Bất phương trình (2) trở thành 3t4 - 20t3 + 36t2 + 24m - 12m2 0 3t4 - 20t3 + 36t2 12m2 - 24m (3) Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi bất phương trình (3) nghiệm đúng với mọi Xét hàm số : f(t) = 3t4 - 20t3 + 36t2 víi t Ta có: f’(t) = 12t3 - 60t2 + 72t = 12t(t2 - 5t + 6) f’(t) = 0 12t(t2 - 5t + 6) = 0 Bảng biến thiên t -1 0 0 + 19 0 Từ bảng biến thiên ta có f(t) 12m2 - 24m , t 12m2 - 24m 12m2 - 24m 0 0 m 2 Vậy: 0 m 2 2.3* Dạng 3: Hệ phương trình Bài toán 1: Tìm m để hệ phương trình (1) có nghiệm Lời giải: Đặt .Điều kiện Hệ phương trình (1) trở thành Vì . Do đó: Hệ phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm Xét hàm số , Ta có Bảng biến thiên u 0 16 Từ bảng biến thiên ta có  *Nhận xét Ta có thể giải cách khác là: Hệ phương trình có nghiệm phương trình (2) có hai nghiệm u, v lớn hơn hoặc bằng . Khi đó dẫn đến so sánh hai nghiệm với và học sinh sẽ gặp khó khăn vì so sánh hai nghiệm với số thực không có trong bài định lí về dấu tam thức bậc hai ở lớp 10. Bài toán 2: Tìm m để hệ phương trình (1) có nghiệm duy nhất Lời giải: Điều kiện: Từ hệ Xét hàm số hàm số đồng biến trên Khi đó : Thay vào hệ ta được : (2) Xét hàm số Ta có : Bảng biến thiên : x 0 Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất phương trình (2) có nghiệm duy nhất. Từ bảng biến thiên ta có : * Nhận xét : Ta có thể giải hệ trên dùng điều kiện cần và đủ. Giả sử là một nghiệm của hệ thì cũng là một nghiệm của hệ. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất cần .Từ đó tìm m và thử lại.Cách giải này hay gặp sai lầm là không thử lại. Bài toán 3 : Tìm m để hệ phương trình (1) có nghiệm Lời giải : Hệ phương trình (1) Đặt Hệ đã cho trở thành Hệ đã cho có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn Với , ta có : (2) Xét hàm số , với Ta có : Bảng biến thiên : u 0 Từ bảng biến thiên ta có : . * Nhận xét : Đây là một câu trong đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2011. Nếu học sinh không trang bị đầy đủ kiến thức về dạng toán trên thì gặp khó khăn khi giải bài này. Bài toán 4: Tìm m để hệ phương trình (1) có nghiệm Lời giải : Hệ đã cho Đặt .Ta được : Vì .Do đó : . Hệ phương trình đã cho có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thỏa Xét hàm số Ta có : Bảng biến thiên : v 0 3 Từ bảng biến thiên ta có: Bài toán 5: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm Lời giải: Điều kiện: Ta có Xét hàm số Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên (3) Ta có: x và y – 2 cùng thuộc đoạn và Thay vào (2) ta được phương trình (4) Hệ phương trình đã cho có nghiệm phương trình (4) có nghiệm x thuộc Xét hàm số , Bảng biến thiên x 0 Từ bảng biến thiên ta có : Bài toán 6 : Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm Lời giải: Điều kiện: Ta có (3) Nếu x = 1thỏa bất phương trình (3).Do đó bất phương trình (3) có nghiệm x = 1 Nếu thì VT > 0 còn VP < 0 nên bất phương trình (3) vô nghiệm Nếu thì VT < VP nên bất phương trình (3) có nghiệm là Do đó:Bất phương trình (3) có tập nghiệm là Để hệ bất phương trình có nghiệm thì bất phương trình (2) có nghiệm Ta có : Xét hàm số , Bảng biến thiên x -1 1 0 -2 -2 Từ bảng biến thiên ta có Bất phương trình (3) có nghiệm Vậy: IV.Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm: Sáng kiến kinh nghiệm nhằm trang bị cho học sinh THPT, đăc biệt học sinh 12 phương pháp dùng đạo hàm để giải bài toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm. Phương pháp này nhằm giúp cho học sinh giải được bài toán dạng trên trong đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. C. KẾT LUẬN Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 trong một số giờ tự chọn ôn thi, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đã giúp cho học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa số nghiệm của một phương trình với số giao điểm của các đồ thị của hai hàm số ở hai vế, học sinh biết cách sử dụng đạo hàm trong nhiều bài toán tìm tham số, làm bài có những lập luận chặt chẽ hơn trong những tình huống giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình . Mặc dù Sách giáo khoa đã giảm tải khá nhiều nhưng trong các đề thi tuyển sinh vào đại học có nhiều bài rất khó được phát triển từ các bài tập trong sách giáo khoa, nên để giải quyết các bài toán đó cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu của hàm số. Đề tài này chỉ giới thiệu cách giải một số phương trình, bất phương trình, đặc biệt là phương trình, bất phương trình chứa tham số bằng việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì năng lực và thời gian có hạn, rất mong được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường. Góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông. Giúp các em học sinh có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan đến hàm số trong các kỳ thi cuối cấp. Quảng Điền, ngày 20 tháng 3 năm 2012. Người viết Trần Dũng Tài liệu tham khảo 1.Tạp chí Toán học và tuổi trẻ 2.Sách giáo khoa môn Toán 10, 11, 12 3.Sách bài tập môn Toán 10, 11, 12 4.Chuyên đề Đại số các phương pháp giải phương trình đại số -Nxb của Huỳnh Công Thái 5.Chuyên đề các phương pháp giải phương trình mũ, lôgarit và các loại hệ phương trình đại số -Nxb của Huỳnh Công Thái