Đề tài Sử dụng công cụ đạo hàm trong khảo sát hàm số

g biến thiên như sau: x 0 3 f’(x) 0 0 + f(x) Như vậy , (vì a>3).Từ đó suy ra: .(đpcm) III.Bài tập đề nghị: Bài 1[8]:Cho ABC ,chứng minh rằng:. Bài 2[8]: Cho ABC nhọn ,chứng minh rằng: . Bài 3[7]: Chứng minh rằng :. Bài 4[11]: Cho a,b,c là 3 số thỏa =1.Chứng minh rằng: . Bài 5[11]:Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có: . Hướng dẫn: Bài 1,bài 2:Xét hàm số: Bài 3: Viết ,. Đặt t=,sau đó xét hàm . Bài 4: Phân tích: . Để ý rằng =1(gt) và Đặt x=a+b+c ,() xét hàm f(x)=. Bài 5: Bài toán đưa về chứng minh bất đẳng thức : . Xét , ,.Từ đó suy ra đpcm. CHƯƠNG III TÍNH LỒI LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC. I,Lý thuyết: 1.Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên D và có đồ thị (C).Ta nói: a.Đồ thị (C) của hàm số f là lồi trên (a,b)D nếu tiếp tuyến của (C) tại mỗi điểm của nó đều nằm phía trên đồ thị. b. Đồ thị (C) của hàm số f là lõm trên (a,b)D nếu tiếp tuyến của (C) tại mỗi điểm của nó đều nằm phía dưới đồ thị. c.Nếu đồ thị của hàm số lồi và lõm trên từng khoảng xác định của nó thì điểm phân cách giữa phần lồi và phần lõm của nó được gọi là điểm uốn của đồ thị. 2.Định lý: a.Định lý 1: Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a,b) nào đó. Khi đó: i.Nếu f’’(x)<0,(a,b) thì đồ thị hàm số f lồi trên khoảng (a,b). ii.Nếu f’’(x)>0,(a,b) thì đồ thị hàm số f lõm trên khoảng (a,b). b.Định lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a,b) và . Khi đó nếu và f’’(x) đổi dấu khi qua thì điểm là một điểm uốn của đồ thị hàm số f. 3.Tính chất của hàm lồi ,lõm, bất đẳng thức Jensen: a.Tính chất của hàm lồi: Hàm số f được gọi là lồi trên khoảng (a,b) nếu nó có đồ thị lõm trên khoảng đó. Như vậy: Hàm số f lồi trên khoảng (a,b) Bất đẳng thức Jensen: Nếu hàm số f lồi trên khoảng (a,b) thì f(b) với mọi , ta có: (f(a)+f(b))/2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Tổng quát : f(a) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ==. - 0 a b x b.Tính chất của hàm lõm: Hàm số f được gọi là lõm trên khoảng (a,b) nếu nó có đồ thị lồi trên khoảng đó. Như vậy: Hàm số f lõm trên khoảng (a,b) y Tính chất: nếu hàm số f lõm trên khoảng (a,b) thì f(b) với mọi , ta có: (f(a)+f(b))/2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Tổng quát : f(a) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ==. - 0 a b x Như vậy sử dụng bất đẳng thức Jensen ta có thể giải quyết được một lớp các bài toán bất đẳng thức có dạng hoặc có thể đưa được về dạng như trên và ngược lại chỉ cần chọn hàm thích hợp ta có thể tạo ra hàng loạt các bất đẳng thức thuộc dạng này.Sau đây là một số ví dụ minh họa. II.Hệ thống baì tập minh họa: Bài 1[2]: Chứng minh rằng với mọi x,yta có:. Giải: Xét hàm số f(x)=, ta có: f’(x)=2x ; f’’(x)=2>0. Suy ra f là hàm lồi trên R ,do đó: hay . Tổng quát : Xét hàm f(x)=.Ta có: .Từ đó suy ra đpcm. Bài 2 [2]: Chứng minh rằng với mọi x,y>0 ta có:. Giải: Xét hàm f(x)=lnx , x>0.Ta có:. Suy ra f(x) là hàm lõm trên (0,),do đó: hay .Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y. Bài 3[2]:Chứng minh rằng :. Giải: Ta xét hàm f(x)=sinx trên đoạn ta có: f’(x)=cosx ; f’’(x)=-sinx.Suy ra f là hàm lõm trên đoạn do đó: hay . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y. Bài 4[5]: Cho f là hàm lõm (đồ thị lồi) trên khoảng (a,b) .Giả sử p,q là hai số dương bất kỳ và .Chứng minh rằng:. Giải:( phưong pháp vectơ ) Giả sử M và N thuộc đồ thị của hàm số f .Gọi Ilà điểm thỏa mãn hệ thức vectơ :.Khi đó ta có hệ: Vì f là hàm lõm nên . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Tưong tự nếu f là hàm lồi trên (a,b) thì . Bài 5 [5]: Cho 3 số dương a,b,c.Chứng minh rằng: Giải: Lấy logarit tự nhiên hai vế ta có: . Xét hàm số f(x)=xlnx , x>0 .Ta có: f’(x)=lnx+1 ; f’’(x)=.Suy ra f(x) là hàm lồi trên và do đó: (*) Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM ta có: Do lnx là hàm đồng biến nên suy ra: (**) Kết hợp (*)&(**) suy ra: (đpcm) Nhận xét :Đây là một bất đẳng thức khá hay và có thể giải bằng nhiều cách khác,chẳng hạn dùng bất đẳng thức Chebyshev.Bạn đọc có thể làm thử hoặc tìm thêm cách giải khác hay hơn, Bài 6[5]: Cho bốn số dương a,b,x,y.Chứng minh rằng: . Giải: Tương tự bài 5 ta cũng xét hàm f(x)=xlnx và có f(x) là hàm lồi với mọi x>0.Áp dụng kết quả bài 4 ta có: , Chọn ta có: (đpcm) Bài 7 [5]: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có: sinA+sinB+sinC Giải: Xét hàm f(x)=sinx trên khoảng (0,) ta có: f’(x)=cosx ; f’’(x)=-sinx<0,. Suy ra f(x) là hàm lõm trên khoảng (0,) và hiển nhiên 0<A,B,C<cho nên : Dấu đẳng thức xảy ra ABC đều. Bài 8[5]: Chứng minh rằng nếu ABC là tam giác nhọn thì: tanA+tanB+tanC . Giải: Vì tam giác ABC là tam giác nhọn nên 0<A,B,C<. Xét hàm f(x)=tanx , 0<x<.Ta có: ; Suy ra f(x) là hàm lồi trên , do đó: . Dấu đẳng thức xảy ra ABC đều. Bài 9[2]: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có: . Giải: Xét hàm số: f(x)=, ta có: f’’(x)=2>0,. Suy ra f(x) là hàm lồi trên R, do đó: . Chọn ta được: (*) Mặt khác : ,do đó (*) Tổng quát : .Việc chứng minh hoàn toàn tương tự như trên. Bài 10[6]: Cho A,B,C là ba góc của một tam giác .Chứng minh rằng: . Giải: Xét hàm . Ta có: f’’(x)=. Suy ra f là hàm lồi trên khoảng (0,), và do đó: (đpcm). III.Bài tập đề nghị: Bài 1[2]: Cho .Chứng minh rằng: . Bài 2[2]: Cho thõa .Chứng minh rằng: . Bài 3[2]: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có: a. . b. . CHƯƠNG IV ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG. I.Lý thuyết: Trong chương cuối này chúng tôi đề cập đến một định lý “mới” nhằm mở rộng và đào sâu hơn ứng dụng của đạo hàm vào việc chứng minh bất đẳng thức.Nội dung định lý như sau: Định lý: Nếu f(x) và g(x) là hai hàm khả vi liên tục cho đến cấp n (n1) trên khoảng (a,b). Khi đó nếu và thì .(*) Chứng minh: Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Với n=1 : vì nên suy ra .(1) Lại vì cho nên từ (1) ta suy ra : Như vậy định lý đúng với n=1. Bây giờ giả sử (*) với n=k, ta chứng minh (*) cũng đúng với n=k+1. Từ bất đẳng thức suy ra: . . (2) Áp dụng gt kết hợp với (2) suy ra : Sử dụng giả thiết quy nạp (*) đúng với n=k suy ra . Định lý được chứng minh. II.Hệ thống bài tập minh họa: Như vậy sử dụng kết quả của định lý trên ta có thể giải quyết được một lớp các bài toán bất đẳng thức chỉ đơn thuần bằng công cụ đạo hàm.Sau đây là một số ví dụ điển hình. Bài 1[1] : Chứng minh rằng: . Giải: Xét hai hàm f(x)=tanx và g(x)= . Ta có: ; ; ; ; . Dễ thấy :. Tại x=0: f(0)=g(0)=0;f’(0)=g’(0)=1;f’’(0)=g’’(0)=0;f’’’(0)=g’’’(0)=2. Như vậy các điều kiện của định lý đều được thỏa mãn và từ đó ta suy ra : f(x)>g(x), .(đpcm) Bài 2[0]: Chứng minh rằng : tanx+sinx>2x, . Giải: Xét 2 hàm f(x)=tanx+sinx và g(x)=2x trên khoảng .Ta có: ; ; . Với mọi x thuộc khoảng thì sinx>0, cosx>0 và . Do đó: >0, hay . Tại x=0 :f(0)=g(0)=0 ; f’(0)=g’(0)=2. Áp dụng định lý trên ta suy ra :f(x)>g(x), tanx+sinx>2x, .(đpcm) Bài 3[0]: Chứng minh rằng : . Giải: Đặt f(x)=2x.arctanx và g(x)= ln(1+) trên khoảng . Ta có: . Với mọi x >0 thì 0g’(x),x>0. Tại x=0 :f(0)=g(0)=0. Áp dụng định lý suy ra : f(x)>g(x),x>0 .(đpcm) Bài 4[0]: Chứng minh rằng : Giải: Đặt f(x)=ln(1+x) ; g(x)=x ; h(x)=. Ta có: ; g’(x)=1 . Rõ ràng : 0. Với x=0 : f(0)=g(0)=0 .Từ đó suy ra :f(x)0 Hay (*) Lại có : ; ; ; . Với mọi x>0 thì rõ ràng . Tại x=0 thì f(0)=h(0)=0 ; f’(0)=h’(0)=1 ; f’’(0)=h’’(0)=. Từ đó ta suy ra : f(x)>h(x) , x>0 Hay (**). Kết hợp (*)&(**) suy ra : (đpcm) Bài 5[0]: Chứng minh rằng với mọi x>0 , ta có: . (*) Giải: (*) .(**) Xét hàm f(x)= và g(x)= .Ta có: ; ; . Với thì và nên suy ra . Với thì và cho nên . Tóm lại : , với mọi x>0. Tại x=0, ta có :f(0)=g(0)=1 ; f’(0)=g’(0)=0. Áp dụng định lý trên ta suy ra f(x)>g(x),x>0. Tức là (**) đúng và do đó(*) cũng đúng. Bài 6[1]: Chứng minh rằng: . Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: . Xét hàm và g(x)=2 trên khoảng (-1,1), ta có: . Với mọi xthì do đó . Mà nên suy ra . Tại x=0 ta có f(0)=g(0)=2.Áp dụng định lý trên ta suy ra : Hiển nhiên cho nên hay . III.Bài tập đề nghị: Bài 1[0]: Chứng minh rằng . Bài 2[0]: Chứng minh rằng Bài 3[0]: Chứng minh rằng tgx<x KẾT LUẬN CHUNG Lý thuyết bất đẳng thức và đặt biệt các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú cực kì đa dạng.Hiện có hàng trăm giáo trình cơ bản và sách chuyên đề tham khảo về đại số ,giải tích,số học và hình học trình bày lý thuyết và bài tập về bất đẳng thức.Tuy vậy các tài liệu về bất đẳng thức chưa đi sâu vào phương pháp giải.Ở trong phần tiểu luận trên chúng tôi đã trình bày phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng khảo sát hàm số một cách khá hệ thống,và làm rõ thêm mối quan hệ giữa hàm số với bất đẳng thức. Vì thời gian thực hiện cuốn tiểu luận rất ngắn cũng như trình độ kiến thức có hạn nên chắc chắn cuốn tiểu luận không thể tránh khỏi những thiếu xót nhất định.Rất mong nhận được các ý kiến đóng góp ,phê bình cũng như bổ sung của quý thầy cô và bạn đọc. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn. TÀI LIỆU THAM KHẢO [0] Những bài tập của nhóm [1] Nguyễn Hữu Điển ,Những phương pháp điển hình trong giải toán phổ thông,NXB Giáo Dục, 2002 [2] Lê Hồng Đức ,Phương pháp giải toán đạo hàm và ứng dụng ,NXB Sư Phạm, 2008. [3] Nguyễn Đức Hồng,Trần Huyên, Nguyễn Văn Vĩnh, Phương pháp trắc nghiệm đạo hàm đồ thị,NXB đại học quốc gia Hà Nội, 2008. [4] Đức Huyên, Nguyễn Mộng Hy,Nguyễn Cam ,Chuyên đề luyện thi vào đại học. [5] Trần Văn Kỷ ,Toán chọn lọc 375 bài toán bất đẳng thức ,NXB TP Hồ Chí Minh,1998. [6] Võ Đại Mau ,Phương pháp giải toán bất đẳng thức ,NXB Trẻ, 1998. [7] Nguyễn Văn Mậu , Phương pháp giải phương trình và bất phương trình, NXB Giáo Dục ,2002. [8] Đoàn Thế Phiệt ,Toán học tuổi trẻ ,NXB Giáo Dục ,2007. [9] Trần Phương , Bài giải trọng tâm ôn luyện môn toán ,NXB đại học quốc gia Hà Nội,2009. [10] Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Anh Hoàng ,Giải bằng nhiều cách các bài toán bất đẳng thức, NXB tổng hợp Tp.Hồ Chí Minh,2004. [11] Phạm Trọng Thư, Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức,NXB Đại Học Sư Phạm ,2008.