Đề tài Rèn kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử

biết. Định lí bổ sung: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất + Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1 + Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1 + Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì và đều là số nguyên. Ví dụ 15: : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + 8 Cách 1: x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 - 6x +9 - 1 = (x - 3)2 - 12 = (x - 3+1)(x – 3 - 1) = (x-2)(x-4) Cách 3: x2 - 6x + 8 = x2 - 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4) Cách 4: x2 - 6x + 8 = x2 - 4x +4 - 2x + 4 = (x-2)2 - 2(x-2) = (x - 2)(x - 4) Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử trong đó có 2 cách thông dụng là: Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung. Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai bình phương Ví dụ 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-8 9x2+6x-8 = 9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) = (3x -2)(3x+4) Hoặc = 9x2-6x+1 – 9 = (3x+1)2-32 = (3x+1-3)(3x+1+3) = (3x -2)(3x+4) *Chú ý : Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử ta có thể dựa vào hằng đẳng thức đáng nhớ: mpx2 + (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q) Như vậy trong tam thức bậc hai: a x2+bx+c hệ số b = b1+ b2 sao cho b1. b2 = a.c. Trong thực hành ta làm như sau : Tìm tích a.c Phân tích a.c ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách Chọn hai thừa số mà tổng bằng b Ví dụ 17: Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử Ta có : a = 9 ; b = 6 ; c = -8 + Tích a.c =9.(-8) =-72 + Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6) -72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).18 = (-6).12 = (-8).9 + Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12 Từ đó ta phân tích 9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4) Ví dụ 18 : Khi phân tích đa thức x 2 –x - 6 thành nhân tử Ta có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6 + Tích a.c =1.(-6) = -6 + Phân tích - 6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn vì b = -1 < 0 (để tổng hai thừa số bằng -1) -6 = 1.(-6) = 2.(-3) + Chọn hai thừa số có tổng bằng -1, đó là : 2 và -3 Từ đó ta phân tích x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3) *Chú ý : Trong trường hợp tam thức bậc hai : ax2 + bx + c có b là số lẻ, hoặc không là bình phương của một số nguyên thì nên giải theo cách một gọn hơn so với cách hai. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử Khi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số chung, không có dạng của một hằng đẳng thức nào. cũng như không thể nhóm các số hạng thì ta phải biến đổi hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết. Ví dụ 19: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử. Ta có phân tích: - Tách x2 thành 2x2 – x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức) Ta có x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 - Thêm x và bớt x: (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung) Ta có x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Giải: x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Ví dụ 20: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử. Cách 1: Thêm x3 và bớt x3 (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + 1 = (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 ) = x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + 1 ) Cách 2: Thêm x3, x2, x và bớt x3, x2, x (làm xuất hiện đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1 = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + 1 ) „ Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,.; tổng quát những đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + 1 hoặc x3 – 1, x6 – 1 đều có chứa nhân tử x2 + x + 1. Ví dụ 21 : Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử Ta thấy x4 =(x2)2 ; 4 = 22 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 4x2 x4 + 4 = (x4 + 4 + 4x2)– 4x2= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2) Ví dụ 22 : Phân tích đa thức 64a2 + b4 thành nhân tử Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 16a2b2 64a2 + b4 = 64a2 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2 = (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab) Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những khó khăn trong quá trình giải bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử. Tóm lại Để thực hiện tốt kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử nêu trên thành thạo trong thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản sau: Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc ở các lớp 6, 7. Ngay từ đầu chương trình Đại số 8 giáo viên cần chú ý dạy tốt cho học sinh nắm vững chắc kiến thức về nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, các hằng thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo cả hai chiều của các hằng đẳng thức. Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần nhận xét: 1. Quan sát đặc điểm của bài toán: Nhận xét quan hệ giữa các hạng tử trong bài toán (về các hệ số, các biến) 2. Nhận dạng bài toán: Xét xem bài toán đã cho thuộc dạng nào? áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau (đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp các phương pháp) 3. Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Từ những cơ sở trên mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với bài toán „ Lưu ý: Kinh nghiệm khi phân tích một bài toán thành nhân tử Trong một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử - Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung thì bước tiếp theo đối với biểu thức còn lại trong ngoặc, thường là thu gọn, hoặc sử dụng phương pháp nhóm hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức - Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử thì bước tiếp theo đối với các biểu thức đã nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức - Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức thì bước tiếp theo của bài toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức „ Chý ý: Phương pháp đặt nhân tử chung không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền Phương pháp nhóm không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền Phương pháp dùng hằng đẳng thức có thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền * Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử * Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận trong khi thực hiện các phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm các hạng tử, sau mỗi bước giải phải có sự kiểm tra. Phải có sự đánh giá bài toán chính xác theo một lộ trình nhất định, từ đó lựa chọn và sử dụng các phương pháp phân tích cho phù hợp. Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng bài toán, nhận xét đánh giá bài toán theo quy trình nhất định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào từng bài toán, sử dụng thành thạo kỹ năng giải toán trong thực hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo. Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác. Kết quả đạt được Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này. Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững chắc về cách phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình đã học, được học và rèn luyện kĩ năng thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua một chuỗi bài tập. Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong học toán. Cụ thể kết quả kiểm tra về dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử được thống kê qua các giai đoạn ở ba lớp 8 như sau: a) Chưa áp dụng giải pháp Thời gian : Khoảng giữa hkI năm học 2012 – 2013 TS HS Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) Chưa áp dụng giải pháp 80 17 21.25% b) Áp dụng giải pháp Thời gian Tuần học thứ 7 năm học 2013 – 2014 TS HS Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) Kết quả đã áp dụng giải pháp 93 78 83.9% III. Kết luận Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả hữu hiệu cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo và kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Vì lẽ đó với mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của các đối tượng học sinh để từ đó đưa ra những bài tập và phương pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm được các bài tập, gây hứng thú học tập, say sưa giải toán, yêu thích học toán. Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có được như vậy thì người thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phương pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải khác nhau cũng như cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phương pháp giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải.. Trong quá trình thực hiện đề tài chắc hẳn không tránh khỏi những hạn chế thiếu sót nhất định, rất mong sự góp ý chân tình của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn. Nhận xét, đánh giá của TCM Thạnh Lộc, ngày tháng năm 2013 Tác giả