Đề tài Phương pháp chứng minh và sáng tạo bất đẳng bằng sử dụng các tính chất đại số và hình học của tích phân

độ dài cung AB là Vậy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b Ví dụ 6.1.5. Chứng minh với 0 £ a £ b thì ta có . Lời giải Xét hàm số và hai điểm . Ta có và y’ = x nên độ dài cung cần tìm là ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. O x y A B a b A2 A1 An-1 Bài toán 6.2. Cho cung AB của đồ thị hàm liên tục y = f(x) trên [a,b]. Trên cung AB lấy n điểm . Gọi l,d là độ dài cung AB và độ dài đường gấp khúc thì ta có l ³ d . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y= f(x) = ax + b ; với a,b Î R. Ví dụ 6.2.1. Cho 0 £ a £ b £ c £ d £ 2p. Chứng minh rằng Lời giải Xét hàm số y = f(x) = sinx trên [0,2p] và các điểm . Từ l ³ d ta có Mà . Suy ra Đẳng thức không xảy ra . Ví dụ 6.2.2. Cho . Chứng minh rằng . Lời giải Xét hàm số y = f(x) và các điểm , với . Từ l ³ d ta được . Đẳng thức không xảy ra. Bài toán 6.3. Cho hai hàm y = f(x), y = g(x) liên tục trên [a,b] thỏa f(a) = g(a) , f(b) = g(b) gọi là độ dài cung phẳng của đồ thị hàm f, g trên [a,b]. 1. Nếu đồ thị f(x), g(x) lồi và f(x) ³ g(x) thì . 2. Nếu đồ thị f(x), g(x) lõm và f(x) ³ g(x) thì . A B a b x y O lg B A a b x y O lf Ví dụ 6.3.1. Chứng minh nếu 0 £ a < 1 thì Lời giải Xét hàm số y = f(x) = ax2-a và y = g(x) = x2 với 0 £ a < 1.Ta có f(x) £ g(x) và đồ thị lõm trên [0,1] nên Þ đpcm. Ví dụ 6.3.2. Chứng minh nếu 0 £ a < 1 thì Lời giải Xét hàm số y = f(x) = 2x2 + (1-2a)x và y = g(x) = x2 + (1-a)x, với a > 0. Ta có f(x) £ g(x) và đồ thị lõm trên [0,a] nên Þ đpcm. Vấn đề 7. Sử Dụng Công Thức Tính Diên Tích Hình Phẳng Bài toán. Cho f(x) liên tục ,không âm trên [a,b] thì diện tích giới hạn bởi x = a, x = b, y = 0, y = f(x) là . Bài toán 7.1. Cho y = f(x) liên tục không âm trên [a,b].Gọi S là diện tích giới hạn bởi x = a, x = b, y = 0, y = f(x) ,Sht là diện tích hình thang có cạnh đáy là f(a), f(b) và chiều cao b-a . Khi đó ta có y = f(x) có đồ thị lồi thì S ³ Sht đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. y = f(x) có đồ thị lõm thì S £ Sht đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. B A a b x y O B A a b x y O Ví dụ 7.1.1. Cho 0 £ a £ b £ . Chứng minh . Lời giải Xét hàm số y = sinx ,lồi trên . Từ S ³ Sht suy ra đpcm. Ví dụ 7.1.2. Cho 0 £ a £ b. Chứng minh . Lời giải Xét hàm số y = lõm trên [a,b] , x ³ 0. Từ bất đẳng thức S £ Sht suy ra đpcm. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b. Ví dụ 7.1.3. Cho 0 £ a £ b. Chứng minh . Lời giải Xét hàm số y = lnx lồi trên [a,b] , x > 0. Từ S ³ Sht suy ra đpcm. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b. Bài toán 7.2. Cho y = f(x) liên tục và không âm trên [a,b]. Chia [a,b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia . Gọi S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi x = a, x = b, y = 0, y = f(x) thì . Gọi S1 là tổng diện tích n hình chữ nhật có cạnh là cạnh kia là thì . Gọi S2 là tổng diện tích n hình chữ nhật có cạnh là cạnh kia là thì . xo=a x1 xi-1 xi xn-1 b=xn x y O Gọi S3 là tổng diện tích hình thang co chiều cao là ,hai cạnh đáy là f(xo) và f(x1), f(x1) và f(x2),.., f(xn-1) và f(xn) thì . Khi đó ta có 1) Nếu f đồng biến thì . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y = f(x) = ax + b ,với a, b Î R. 2) Nếu f nghịch biến thì . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y = f(x) = ax + b ,với a, b Î R. 3) Nếu đồ thị y = f(x) lồi thì S3 < S. 4) Nếu đồ thị y = f(x) lõm thì S < S3. Ví dụ 7.2.1. Chứng minh với " n Î R, ta luôn có . Lời giải Xét hàm y = trên [a,b] tăng , đồ thị lồi ,ta có Þ đpcm. Ví dụ 7.2.2. Chứng minh . Lời giải Xét hàm số y = lnx trên [1,n+1] tăng, đồ thị lồi ta có Gọi là các điểm trên trục ox có hoành độ lần lượt là 1,2,3,.,n là các điểm có tọa độ (2,ln2);(3,ln3);.;(n,lnn) là các điểm trên trục ox có hoành độ lần lượt là . Khi đó S4 là tổng (n-1) diện tích hình thang có các đường trung bình AiMi (i = 2,3,) có các đáy là các đoạn chắn bởi tiếp tuyến với đồ thị y = lnx tại Mi với các đường song song với trục tung xuất phát từ các điểm và hai cạnh bên nằm trên ox và trên tiếp tuyến với đồ thị tại Mi cộng thêm hình thang nhỏ có đường trung bình . . Ta có Û . Ví dụ 7.2.3. Chứng minh ,với n Î R, n > 0 ,ta có . Lời giải Xét hàm số giảm và lõm trên [1, n + 1] nên ta có Þ. Ví dụ 7.2.4. Cho n Î R, n > 1. Chứng minh . Lời giải Xét hàm số y = cosx nghịch biến ,lồi trên [0,1] nên ta có = Bài toán 7.3. Cho y = f(x) liên tục và không âm trên [a,b]. Gọi S là diện tích giới hạn bởi x = a , x = b, y = 0, y =f(x) với phép phân hoạch trên [a,b] bởi các điểm chia . Gọi S1 là tổng diện tích n hình chữ nhật có cạnh xi+1 - xi , f(xi) thì . Gọi S2 là tổng diện tích n hình chữ nhật có cạnh xi+1 - xi , f(xi+1) thì . Gọi S3 là tổng diện tích n hình thang có chiều cao xi+1 - xi, hai đáy f(xi), f(xi+1) thì . xo=a x1 xi-1 xi xn-1 b=xn x y O f(x) Khi đó ta có Nếu f đồng biến thì . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y = f(x) = ax + b ,với a, b Î R. 2) Nếu f nghịch biến thì . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y = f(x) = ax + b ,với a, b Î R. 3) Nếu đồ thị y = f(x) lồi thì S3 < S. 4) Nếu đồ thị y = f(x) lõm thì S < S3. Ví dụ 7.3.1. Cho 0 ≤ x ≤ y ≤ 1. Chứng minh . Lời giải Xét hàm số f(t) = et tăng, lõm trên [0,1]. Khi đó: S1 < S < S3 với Þ đpcm. Ví dụ 7.3.2. Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Chứng minh . Lời giải Xét hàm số f(t) = nghịch biến ,lồi trên [0,1] nên , , Suy ra đpcm. Bài toán 7.4. Cho y = f(x) liên tục, không âm và tăng trên [0,c] với c > 0. Khi đó " a Î [0,c], " b Î [f(0),f(c)] ta có . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f(a) = b. b S1 S2 a x y O f(a) a f() b S1 S2 x y O Chứng minh Gọi S1 là diện tích giới hạn bởi x = ,x = a, y = 0, y = f(x) thì . Gọi S2 là diện tích giới hạn bởi , y = b, x = 0 , thì . Gọi S là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi x = 0, x = a, y = 0, y = b thì S = ab. Gọi S’’ là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi x = 0, x = , y = 0, y = thì S’ = .Trong hai trường hợp b f(a), ta đều có . Đặc biệt a = 0 hoặc = 0 thì . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f(a) = b. Hệ quả. Cho y = f(x) liên tục, không âm và tăng trên [0,c] với c > 0. Khi đó " a Î [0,c], " b Î [f(0),f(c)] ta có . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f(a) = b. Ví dụ 7.4.1. Cho a ³ 0, b ³ 1, ab = . Chứng minh . Lời giải Xét hàm số y = f(x) = liên tục ,không âm, tăng trên , f(0) = 1 và hàm ngược . Ta có . Ví dụ 7.4.2. Cho p > 1, q > 1 thoả . Chứng minh . Lời giải Xét hàm số y = xp-1, x > 0. Vì nên x = yq-1. Do đó ta có hàm ngược yq = xq-1. Ta có . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b = f(a) = ap-1. Nhận xét. @ Bài toán ở vấn đề 1 là một trường hợp riêng của bài toán 7.1. @ Cho hàm số y = f(x) > 0, với x [a,b] . Với mọi phép phân hoạch [a,b] bởi các điểm chia , ta có (*) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a =b hoặc a0 = a an+1 = b f(x) = const @ Phương pháp để ra những dạng toán như trên là Xác định được hàm số y = f(x) > 0 với x [a,b]. Chọn được phép phân hoạch và biểu diễn các bất đẳng thức qua và dựa vào (*) để kết luận bất đẳng thức. đối với bài toán max, min ta cần lưu ý khả năng dấu “=” xảy ra. @ Ta có thể mở rộng lên cho tích phân 2 lớp như sau Cho f(x,y) > 0 khả tích trên D. Cho mọi phép phân hoạch trên D thành các miền nhỏ có diện tích . Gọi Khi đó ta có: . @ Qua các ứng dụng hình học của tích phân ta có chung một phương pháp để chứng minh bất đẳng thức đó là Cho y = f(x) liên tục và không âm trên [a,b] và gọi A(a,f(a)), B(b,f(b)). Chia [a,b] thành n phần bởi các điểm chia : . Trên cung AB lấy các điểm có hoành độ . a) Dựa vào độ dài cung AB và độ dài đường gấp khúc ta tạo được một số bất đẳng thức. b) Dựa vào diện tích hình thang cong giới hạn x = a, x = b, y = f(x), y = 0 và diện tích các hình thang nhỏ ( hay diện tích các hình chữ nhật nhỏ) ta tạo được một số bất đẳng thức. PHỤ LỤC 1 Giới thiệu một số hàm lồi và hàm lõm 1) Một số hàm lồi. 2) Một số hàm lõm. KẾT LUẬN Tiểu luận đã tập trung nghiên cứu một số vấn đề chính sau đây. Đã cụ thể hoá các tính chất đại số của lý thuyết tích phân xác định bằng những bài toán và ví dụ cụ thể. Tiểu luận còn đưa ra bảng một số hàm lồi,hàm lõm trong phần phụ lục để phục vụ cho việc sáng tạo ra bất đẳng thức. Sử dụng tính chất hình học của tích phân để chứng minh bất đẳng thức. Đây là một vấn đề không mới nhưng còn ít tài liệu toán THPT viết về vấn đề này. Trình bày hệ thống các ví dụ áp dụng bao gồm 50 bài, trong đó 28 bài tham khảo trong các tài liệu, còn lại 22 bài được sáng tác dựa trên những kết quả từ các bài toán. Trong quá trình thực hiện đề tài chúng tôi còn thấy một số vấn đề chưa được đề cập hoặc có nhưng chưa đi sâu nghiên cứu như: dấu hiệu để nhận biết các yếu tố đại số cũng như hình học của tích phân trong các bài toán bất đẳng thức cụ thể, việc mở rộng các tính chất đại số của tích phân xác định cho tích phân 2 lớp, 3 lớp,;mở rộng tính chất hình học của tích phân từ không gian 2 chiều lên 3 chiều, sử dụng tích phân để chứng minh các bất đẳng thức chứa các số tổ hợp, nghiên cứu việc dùng tích phân để chứng minh các bất đẳng thức cơ bản như bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức Cosi,Vì thời gian không cho phép nên chúng tôi chưa thể thực hiên được những điều mong muốn nhưng chắc chắn trong thời gian đến chúng tôi sẽ tập trung tìm hiểu và để tâm nhiều hơn về những vấn đề còn đặt ra. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quý Dy ( chủ biên ), Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thoả; Tuyển tập 200 bài thi vô địch toán, NXBGD. [2] Võ Giang Giai, Chuyên đề bất đẳng thức, NXBĐHQG Hà Nội. [3] Trần Văn Kỷ, Chọn lọc 394 bài toán bất đẳng thức , giá trị lớn nhất _ giá trị nhỏ nhất, NXBTPHCM. [4] Nguyễn Văn Mậu ( chủ biên ), Bất đẳng thức và một số vấn đề liên quan, NXB ĐHKHTN Hà Nội. [5] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức định lý và áp dụng, NXBGD. [6] Hội toán học VN, Tạp chí toán học tuổi trẻ. [7] Lê Hồng Đức (2009), Phương pháp giải toán tích phân, NXBĐHSP. [8] Nguyễn Văn Nho, Phương pháp giải toán chuyên đề tích phân, NXBĐHQG Hà Nội. [9] Trần Thị Vân Anh, Hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thi quốc gia môn toán, NXBĐHQG Hà Nội. [10]