Đề tài Một số phương pháp cơ bản tính thể tích khối đa diện, tính khoảng cách và góc

Mặt khác Trong tam giác vuông OAB ta có Suy ra . Thay vào (4) ta có (đvtt). II. Một số phương pháp tính khoảng cách. 1. Kiến thức cơ bản a. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau. - Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau, gọi (P) là mặt phẳng qua b song song với a. (Q) là mặt phẳng qua a song song với b. Gọi E, F là các điểm bất kì thuộc (P), (Q) Ta có: - Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau, gọi MN là là đoạn vuông góc chung. Ta có . b. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. - Cho hình chóp S.ABC, gọi H là hình chiếu của S lên (ABC). Ta có . - Trong các bài toán ta thường vận dụng công thức để tính h. 2. Một số phương pháp tính khoảng cách 2.1. Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Đối với bài toán tính khoảng cách từ điểm A đến một mặt phẳng (P) ta thường dùng 2 phương pháp sau: - Phương pháp trực tiếp tức là dựng hình chiếu B của điểm A lên mặt phẳng (P), sau đó tính đoạn AB. - Phương pháp gián tiếp: cách thường sử dụng là dùng công thức tính thể tích của khối đa diện. Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, . a. Tính khoảng cách từ A đến (SBD) và khoảng cách từ trung điểm I của AC đến (SBD). b. Gọi M là trung điểm của CD. Tính khoảng cách từ A đến (SBM) Giải. a.Tính khoảng cách từ A đến (SBD) Cách 1. Dựng . Dựng . Từ đó ta suy ra , vậy độ dài AK là khoảng cách từ A đến (SBD) Trong tam giác vuông SAH ta có Trong tam giác vuông ABD ta có Suy ra Suy ra . Cách 2. Gọi h là khoảng cách từ A đến (SBD) Ta có Áp dụng định lí Pitago ta có , , . Theo công thức Hêrông ta có . = . Trong cách 2 ta tính được khoảng cách từ A đến (SBD) mà không cần dựng hình chiếu của A lên (SBD) như cách 1, tuy nhiên khi tính diện tích tam giác SBD bằng công thức Hêrông là khá phức tạp. - Tính khoảng cách từ I đến (SBD) Do I là trung điểm của SC, suy ra Mặt khác O là trung điểm của AC suy ra Vậy . b. Tính khoảng cách từ A đến (SBM). Cách 1. Dựng ,dựng . Suy ra Trong tam giác vuông SAN ta có (1) Trong tam giác ABM ta có Áp dụng định lí Pitago trong tam giác BCM ta có Ta có suy ra (2) Mặt khác nên từ (2) và (1) ta có . Vậy . Cách 2. Tương tự như cách 2 của câu a, ta tính thể tích khối chóp A.SBM bằng 2 cách để suy ra khoảng cách từ A đến (SBM). 2.2 Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Tuy nhiên việc xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau không phải trường hợp nào cũng dễ dàng thực hiện được. Hơn thế nữa trong nhiều bài toán ngưòi ta không yêu cầu dựng đoạn vuông góc chung. Vì vậy trong thực tế ta thường chuyển bài toán tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau về bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN. Giải. Ta có MN//BC, Đặt . Ta có. Mặt khác . Từ đó ta có . Vậy khoảng cách giữa A’C và MN bằng . Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của AE và BC. Tính khoảng cách giữa hai đường MN, AC theo a. Giải. Gọi P là trung điểm của AB, suy ra Ta thấy ESCB là hình bình hành suy ra (1) Mặt khác (2) Từ (1) và (2) ta có Gọi H là giao điểm của BO và AC, suy ra H là trung điểm của BO. Ta có . Do chóp S.ABCD là hình chóp đều nên ta có . Ta có . III. Một số phương pháp tính góc. 1.Kiến thức cơ bản a. Góc giữa hai đường thẳng a, b bằng góc giữa hai đường thẳng a’, b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song với a, b b. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Cho (P) và đường thẳng a, gọi b là hình chiếu của a lên (P). Khi đó góc giữa (P) và a bằng góc giữa a và b. c. Góc giữa hai mặt phẳng. - Góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó. - Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến d. Mặt phẳng (R) vuông góc với d cắt các mp (P), (Q) theo các giao tuyến a, b. Khi đó góc giữa (P), (Q) bằng góc giữa a và b. 2. Một số phương pháp tính góc. Trong bài toán tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau ta thường đưa về tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng.Trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng yêu cầu quan trọng là xác định chính xác góc giữa hai mặt phẳng đó (học sinh thường mắc sai lầm khi xác định góc giữa hai mặt phẳng). Ta xét một số ví dụ sau để làm rõ hơn về phương pháp tính góc. Ví dụ 1. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy là tam giác vuông tại A, có . Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’. Giải. Gọi H là trung điểm của BC, suy ra . Gọi là góc giữa AA’ và B’C’, suy ra Do tam giác ABC vuông tại A, nên . Trong tam giác vuông A’AH ta có . Trong tam giác vuông A’B’H ta có: Trong tam giác B’BH ta có: . Vậy Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. . Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính cosin của góc giữa SM, ND. Giải. Ta có , , nên tam giác SAB vuông tại S. Dễ thấy , nên tam giác đều và Dựng , do nên Ta có . Gọi I là trung điểm của AD, P là trung điểm của AI. Ta có Gọi là góc giữa SM và ND. Suy ra là góc giữa SM và MI. Trong tam giác SMI ta có: Ta thấy . Suy ra . Vậy . Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a, các mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh S. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 600. Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC). Giải Cách 1. Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC), do nên ta có: , suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt khác tam giác ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC. Gọi M, N là trung điểm của AB, AC ta có Do , suy ra . Vậy lần lượt là góc giữa (SAC), (SAB) với (ABC). Suy ra Suy ra các tam giác vuông bằng nhau. Suy ra , nên tam giác ABC vuông cân tại A. Ta có . Dựng . Suy ra là góc giữa (SBC) và (ABS). (1). Tam giác ABC vuông cân tại A có nên (2). Trong tam giác vuông SHM ta có . Trong tam giác vuông SBH ta có . Suy ra (3). Thay (3), (2) vào (1) ta có . Cách 2. Dựng , suy ra , đồng thời Suy ra góc giữa hai mp (SAB) và (SBC) bằng góc giữa hai đường HK, HA và bằng Từ đó ta tính được . Bài tập bổ sung Sau đây xin giới thiệu thêm một số bài tập được sưu tầm từ các đề thi. 1.Cho hình chóp S.ABC có , .Tính thể tích khối chóp S.ABC. 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng . 3. Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và . Gọi C’, D’ là hình chiếu của B trên AC, AD. Tính thể tích tứ diện ABC’D’. 4. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thang cân đáy lớn AD=2a, AB=BC=CD=a, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng . Tính thể tích của khối chóp 5. Cho hình lăng trụ tứ giác đều có chiều cao bằng a. Góc hợp bởi đường chéo của hai mặt bên kề nhau cùng xuất phát từ một đỉnh bằng 450. Tính theo a thể tích khối lăng trụ tứ giác đều . 6. Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác dều cạnh a, A’A = A’B = A’C. Mặt phẳng (A’AB) vuông góc với (A’AC). Tính . 7. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng . 8. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’. Có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A bằng . Góc giữa mặt phẳng (B’AD) và mặt đáy bằng 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách từ đường thẳng BC tới mặt phẳng (B’AD). 9. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh góc . Gọi M, N lầ lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ vuông góc với (BDMN) . Tính thể tích khối chóp A.BDMN. 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; hai đường chéo , BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = 2a, . Cạnh bên SA = 2a và SA vuông góc với mp(ABC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC. a. Tính thể tích khối tứ diện BCMN. b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM. 12. Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy (ABC) là tam giác đều cạnh a. Chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) là một điểm thuộc BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA biết SA=a và SA tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 300. 13. Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, . Góc giữa (A’BD) và mặt đáy bằng a. Tính theo a thể tích hình hộp. b. Tính theo a khoảng cách giữa đường thẳng CD’ và (A’BD) 14. Cho hình lập phương có cạnh bằng a. M là điểm thuộc cạnh CD với , N là trung điểm cạnh . Tính theo a thể tích của khối tứ diện . Xác định x để hai đường thẳng và vuông góc với nhau. 15. Cho lăng trụ tam giác đều cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng . Tính thể tích khối lăng trụ và góc giữa và đường cao AH của tam giác ABC 16. Cho lăng trụ đứng có , và . Gọi M là trung điểm của cạnh . Tính góc giữa MB và và khoảng cách từ A tới mặt phẳng . 17. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a. Trên các tia Bx, Cy vuông góc và nằm cùng một phía với (P) lần lượt lấy các điểm M, N sao cho . Tính thể tích khối chóp A.BCNM, Tính góc tạo bởi (ABC) và (ANM). 18. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi E, F và M lần lượt là trung điểm của AD, AB và CC’. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM). Tính .