Đề tài Hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn

Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận dụng các tính chất này Bài 7. Dự đoán giới hạn của dãy số (un)và chỉ ra kết quả dự đoán đó đúng qua một vài kiểm chứng cụ thể 1) un=n3 2) un= giải 1) dự đoán kiểm chứng: với số dương 1000 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng trong dãy số đều có un>1000 với số dương 1000000 ta thấy kể từ số hạng thứ 101 mọi số hạng trong dãy số đều có un>1000000 2) dự đoán kiểm chứng: với số âm -100 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng trong dãy số đều có un<-100 với số âm -1000000 ta thấy kể từ số hạng thứ 1001 mọi số hạng trong dãy số đều có un < -1000000 Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được một số dãy số đặc biệt có giới hạn vô cực Bài 8. Xác định giới hạn của các dãy số sau? 1) 2) 3) Giải 1) là dãy số có dạng un=nk nên có giới hạn là 2) là dãy số có dạng un= nên có giới hạn là 3) là dãy số có dạng un= với q>1 nên có giới hạn là Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một vài dãy số có giới hạn vô cực đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ dãy số có giới hạn vô cực đặc biệt Bài 9. Tìm giới hạn các dãy số sau. 1) 2) 3) 4) 5) Giải 1) 2) 3) 4) 5) Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn vô cực giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận dụng các tính chất này Bài 10. Tìm giới hạn các dãy số sau. 1) 2) 3) 4) 5) 6) Giải 4) . 5) 6) Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới hạn dãy số khi gặp các trường hợp vô định, giáo viên cần hướng dẩn và cho học sinh ghi nhớ các cách biến đổi thường dung cho từng dạng BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Tính các giới hạn sau: Bài 2. Tính các giới hạn: PHẦN II. GIỚI HẠN HÀM SỐ: A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Định nghĩa giới hạn của hàm số: Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại 1 điểm : Giả sử là một khoảng chứa điểm và f là một hàm số xác định trên tập . Ta nói hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy số trong tập mà ta đều có . Ta viết: hoặc Định nghĩa giới hạn vô cực Được định nghĩa tương tự như trên. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực : Gỉa sử hàm số f xác định trên khoảng . Ta nói rằng hàm số có giới hạn là số thực L khi x dần rới +¥ nếu với mọi dãy số trong mà , ta đều có: Ta viết: Các giới hạn khác được định nghĩa tương tự. Định nghĩa giới hạn bên phải, bên trái: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng . Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần tới (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy số trong mà , ta đều có . Ta viết: Giới hạn bên trái. (tương tự) Ta viết: Nhận xét: · 2. Một số hàm số có giới hạn đặc biệt: Với , ta có: a) (c: hằng số) b) Với mọi số nguyên dương k ta có: · · · ; 3. Một số định lí về giới hạn a) Một số định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1: Giả sử (L, M Î R). a) b) c) Đặc biệt, d) (M ¹ 0 ) Định lí 2: Giả sử a) b) c) Nếu , trong đó J là một khoảng nào đó chứa , thì và b) Một số định lí về giới hạn vô cực Định lí: Nếu thì Qui tắc 1: Nếu và thì: L +¥ + +¥ +¥ – –¥ –¥ + –¥ –¥ – +¥ Qui tắc 2: Nếu và hoặc với , trong đó J là một khoảng nào đó chứa thì: L g(x) + + +¥ + – –¥ – + –¥ – – +¥ B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau: Giới hạn của hàm số dạng: Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì phân tích ra thừa số. Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp. Sau đó rút gọn tử, mẩu Giới hạn của hàm số dạng: Chia tử và mẫu cho xk với k là số mũ lớn nhất của x. Chú ý: nếu thì coi như x>0, nếu thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn. Giới hạn của hàm số dạng: Đưa x mũ lớn nhất ra làm thừa số chung hoặc nhân lượng liên hợp Giới hạn của hàm số dạng: . Nhân trọn f(x) và g(x) để đưa về 3 dạng trên CÁC VÍ DỤ: Bài 1. Tìm giới hạn các hàm số sau: 1) 2) 3) 4) giải 1) xét hàm số f(x)=x2+1. Với mọi dãy số (xn) và limxn=-1 ta có f(xn)= (xn)2+1 suy ra lim f(xn)=(-1)2+1=2 Vậy 2) xét hàm số f(x)= . Với mọi dãy số (xn), xn-1 với mọi n và limxn=1, ta có f(xn)= suy ra lim f(xn)= Vậy 3) xét hàm số f(x)= . Với mọi dãy số (xn) , xn1 với mọi n và limxn=1, ta có f(xn)= . vì lim3=3, lim(xn-1)2=0 và (xn-1)2>0 với mọi n suy ra limf(xn)= + Vậy 4) xét hàm số f(x)= . Với mọi dãy số (xn) , xn0 với mọi n và limxn=-, ta có limf(xn)=0. Vậy Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định nghĩa giới hạn hàm số, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa tính chất hàm số và tính chất dãy số Bài 2. Xác định giới hạn của các dãy số sau? 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Giải 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một vài hàm số có giới hạn đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ hàm số có giới hạn đặc biệt Bài 3. Tìm giới hạn các hàm số sau. 1) 2) 3) Giải 1) 2) 3) Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các tính chất của giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận dụng các tính chất này Bài 4. Tìm giới hạn các hàm số sau. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Giải 1) dạng .Chia tử và mẫu cho (x-2). 2) dạng 3) dạng 4) dạng 5) dạng 6) dạng 7) dạng 8) dạng 0. Lưu ý : Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới hạn dãy số khi gặp các trường hợp vô định, giáo viên cần hướng dẩn và cho học sinh ghi nhớ các cách biến đổi thường dung cho từng dạng BÀI TẬP TỰ GIẢI Tính các gới hạn Bài 1: (Tính trực tiếp) 1. 2. 3. 4. ; 5. Bài 2: (Tính giới hạn dạng của hàm phân thức đại số) Bài 3: (Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai) Bài 4: (Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao) Bài 6: (Tính giới hạn dạng của hàm số ) Bài 7: (Tính giới hạn dạng của hàm số) Bài 8: (Giới hạn một bên) Bài 9: (Tính giới hạn dạng của hàm số) Bài 11: Cho hàm số . Tìm (nếu có). Bài 14: Cho hàm số . Tìm (nếu có). PHẦN III: HÀM SỐ LIÊN TỤC: A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Hàm số liên tục Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên và . Hàm số f đgl liên tục tại điểm nếu: Hàm số không liên tục tại đgl gián đoạn tại . Định nghĩa: a) G.sử hàm số f xác định trên tập J, trong đó J là một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc J. b) Hàm số f xác định trên đoạn đgl liên tục trên đoạn nếu nó liên tục trên khoảng và: , Chú ý: Tính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng , , , cũng được định nghĩa tương tự. 2. Tính chất của hàm số liên tục Định lí về GTTG: Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn . Nếu thì với số M nằm giữa , tồn tại ít nhất điểm sao cho Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục trên và M nằm giữa thì đường thẳng cắt đồ thị của hàm số ít nhất tại 1 điểm có hoành độ . Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên và thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục trên và thì đồ thị hàm số cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ . B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: 1. Hàm số liên tục tại điểm: Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại điểm xo ta thực hiện các bước sau: B1: Tính f(x0) B2: Tính ( trong nhiều trường hợp ta cần tính ,) B3: So sánh B4: Rút ra kết luận 2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y=f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x) trên một khoảng ta thực hiện như sau: * Xét * Xét tại B1: Tính f(x0) B2: Tính ( trong nhiều trường hợp ta cần tính ,) B3: So sánh B4: Rút ra kết luận * Kết luận chung về hàm số có liên tục trên khoảng hay đó hay không 3. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm: Để chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a,b) ta làm như sau : B1: Đặt y = f(x) à hàm số liên tục trên (a;b) B2: Tính f(a), f(b) à f(a). f(b)<0 B3: Kết luận về sự có nghiệm của phương trình C. CÁC VÍ DỤ: Bài 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau lại x0=1 : a. b. Bài giải. Ta có f(1)=1. Do đó . Vậy f(x) liên tục tại x0=1 Ta có f(1)=3. Do đó . Vậy f(x) liên tục tại x0=1 Bài 2. Cho hàm số . Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=0. Bài giải. Ta có f(0)=2a+1 . Hàm số f(x) liên tục lại x0=0 khi và chỉ khi Bài 3. Cho hàm số . Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=4. Bài giải. Ta có f(4)=2a+1 Hàm số f(x) liên tục lại x0=4 khi và chỉ khi Bài 4. Cho hàm số . Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=-1. Bài giải. Ta có f(1)=a+1 Hàm số f(x) liên tục lại x0=-1 khi và chỉ khi BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: xét tính liên tục của hàm số tại điểm đã chỉ ra : Bài 2: xét tính liên tục của hàm số tại x0=1 Bài 3: xét tính liên tục của hàm số tại x=0và x=3 Bài 4: Tìm a để hàm số liên tục tại x=0 Bài 5: Cho hàm số . a) Tìm a để hàm số liển tục trái tại x=1; b) Tìm a để hàm số liển tục phải tại x=1; c) Tìm a để hàm số liển tục trên Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số trên R. Phần thứ ba : Kết Luận Đối với các bài toán có liên quan đến phần giới hạn trong khi giảng dạy giáo viên cần : - Nhắc lại các công thức đã học - Nêu lại các định nghĩa và các giới hạn đặc biệt - Nêu lại phương pháp giải đối với từng dạng bài toán * Kiến nghị : - Thời gian phân phối chương trình còn ít, cần tăng thêm thời gian luyện tập cho học sinh. - Cần bổ sung thêm hệ thống bài tập vừa sức với học sinh. - Tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh có thêm nhiều cơ hội tham khảo tài liệu.