Đề tài Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng vào giải một số dạng bài tập toán 8

đã được học 4 phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, trong khi thực hành gi i toán có những bài toán ta không thể vận dụng ngay 4 phương pháp đã học. Vì vậy trong buổi học hôm nay thầy giáo sẽ giới thiệu thêm cho các em 2 phương pháp phân tích đa thức mới: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử và phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. Ho đ ng của GV - HS N i dung ghi b ng Ho đ ng I: ƢƠ PHÁP TÁCH M T H NG TỬ THÀNH NHIỀU H NG TỬ - GV: Nêu ví dụ và hướng dẫn HS làm. Đa thức trên không có nhân tử chung, không có dạng một HĐT đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các hạng tử. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn. hẳng hạn: Tách hạng tử: - 8x = - 6x – 2x. - Sau đó, GV yêu cầu HS nhóm các hạng tử và phân tích tiếp. - GV: Rút ra nhận xét: Trong VD trên, hạng tử - 8x được tách 1. Ví d : * Ví d 1: h h h c sau thành nhân t : 3x 2 – 8x + 4. Gi i: Tách - 8x = - 6x – 2x, ta có: 3x 2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = (3x 2 – 6x) – (2x – 4) = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2). CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ ầ Đ ƣ 47 thành hai - 6x và – 2x. Trong đa thức 3x2 – 8x + 4 có hệ số của các hạng tử là: a = 3 ; b = - 8 ; c = 4. Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4, hệ số của các hạng tử: a = 3; b1= - 6; b2 = - 2; c = 4; Ta thấy: 3.4 12 ( 6).( 2) 12 ( 6) ( 2) 8            3.4 ( 6)( 2) ( 6) ( 2) 8         Do đó: 1 2 1 2 . .b b a c b b b     Từ đó GV đưa ra trường hợp tổng quát nêu các bước làm cụ thể. - HS: Nghe gi ng và ghi bài. *Tổng quát: Đ h h h c d ng ax2 + bx + c thành nhân t b ng cách tách h ng t bx thành b1x + b2x sao cho: b1b2 = ac Trong thự h h l hư ước 1: Lập tích ac. ước 2: Phân tích ac thành tích c a hai thừa s nguyên b ng mọi cách . ước 3: Chọn hai thừa s mà tổng b ng b. - GV: Nêu ví dụ và hướng dẫn HS phân tích đa thức x2 – 7x + 12 thành nhân tử theo các bước đã hướng dẫn. ác định các hệ số a, b, c của tam thức? Tìm các ước của 12? ? Chọn các cặp ước có tổng bằng -7. - 1 HS lên b ng trình bày. - GV: Yêu cầu HS làm bài tập áp dụng. * Ví d 2: h h h c sau thành nhân t : x2 – 7x + 12. Gi i: Ta có: a = 1 ; b = - 7 ; c = 12. a.c = 1.12 = -1.(-12) = 3.4 = (-3).(-4) Trong đó: (- 3) + (- 4) = -7 ; Vậy: x2 – 7x + 12 = x2 – 3x – 4x + 12 = (x 2 – 3x) – (4x – 12) = x(x – 3) – 4(x – 3) = (x – 3)(x – 4). 2. Áp d ng: CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ ầ Đ ƣ 48 - 2 HS lên b ng trình bày. - GV: ưu ý HS đổi dấu các hạng tử trong ngoặc khi nhóm các hạng tử đằng trước có dấu “ - ”. - GV: Rút ra nhận xét: Trong các ví dụ trên ta thấy, việc tách hạng tử nhằm làm xuất hiện nhân tử chung, trong khi gi i toán chúng ta có thể tách hạng tử tự do hoặc hạng tử bậc nhất để làm xuất hiện hằng đẳng thức A2 – B2. - Sau đó GV nêu VD minh hoạ cho HS. K t lu n: Việc tách hạng tử nhằm: + Làm xuất hiện nhân tử chung. + Làm xuất hiện HĐT A2 – B2. *Bài t p 1: Phân tích thành nhân t . a, x 2 – 4x + 3. b, x 2 – x – 6. Gi i: a, x 2 – 4x + 3 = x2 – x – 3x + 3 = (x 2 – x) – (3x – 3) = x(x – 1) – 3(x – 1) = (x – 1)(x – 3) b, x 2 – x – 6 = x2 – 3x + 2x – 6 = (x 2 – 3x) + (2x – 6) = x(x – 3) + 2(x – 3) = (x – 3)(x + 2). * Ví d 3: h h th c sau thành nhân t : x2 – 4x + 3 Gi i: Ta có: x 2 – 4x + 3 = x2 – 4x + 4 – 1 = (x 2 – 4x + 4) – 1 = (x – 2)2 – 12 = (x – 2 + 1)(x – 2 – 1) = (x – 1)(x – 3). Ho đ ng II: ƢƠ T CÙNG M T H NG TỬ - GV: Nêu ví dụ: - HS: Suy nghĩ để tìm lời gi i. ? Với các phương pháp đã học có thể phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử không? - GV: Gợi ý: Ta thấy x4 = (x2)2 và 4 = 2 2 1. Thêm và b t cùng m t h ng t làm xuất hiện HĐ ệu của hai bình p ƣơ . * Ví d 4: h h h c x4 + 4 thành nhân t . Gi i: Thêm và bớt hạng tử: 4x2, Ta có: x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4 – 4x2 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ ầ Đ ƣ 49 Để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng ta cần thêm hạng tử: 2.x2.2 = 4x 2 , vậy để giá trị của đa thức không đổi ta ph i bớt 4x2. - Yêu cầu HS phân tích tiếp. - GV: Củng cố các bước làm. - GV: Nêu bài tập để HS vận dụng. ? Cần thêm và bớt hạng tử nào? - 1 HS lên b ng thực hiện. = (x 4 + 4x 2 + 4) – 4x2 = (x 2 + 2) 2 – (2x) 2 = (x 2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) * Ví d 5: h h h c 64x4 + y4 thành nhân t . Gi i: Ta có: 64x 4 + y 4 = 64x 4 + 16x 2 y 2 + y 4 - 16x 2 y 2 = (64x 4 + 16x 2 y 2 + y 4 ) - 16x 2 y 2 = (8x 2 + y 2 ) 2 – (4xy)2 = (8x 2 + y 2 – 4xy)(8x2 + y2 – 4xy) - GV: Trong ví dụ trên, ta đã thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện HĐT, ngoài ra ta còn thêm bớt hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung. - GV: Nêu ví dụ. Trong VD này, ta thấy đa thức khuyết hạng tử bậc 3, ta sẽ thêm và bớt hạng tử đó: x3 ? Có thể có những cách nhóm nào? - HS: Làm bài theo hướng dẫn của GV. - GV: Nêu bài tập cho HS áp dụng vào gi i bài tập. - GV: ưu ý bước đổi dấu khi đưa hạng tử vào trong ngoặc khi đằng trước có dấu “ - ”. 2. Thêm và b t cùng m t h ng t để làm xuất hiện nhân t chung: * Ví d 5: h h h c sau thành nhân t : x 4 + x 2 + 1 Gi i: x 4 + x 2 + 1 = (x 4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x 2 (x 2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x 2 – x + 1)(x2 + x + 1). Hoặc: x 4 + x 2 + 1 = (x 4 + x 3 + x 2 ) – (x3 – 1) = x 2 (x 2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x 2 – x + 1)(x2 + x + 1). * Bài t p 3: h h ĐT x5+ x - 1 thành nhân t . Gi i: Ta có: x 5 + x + 1 = x 5 + x 2 – x2 + x – 1 CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ ầ Đ ƣ 50 = (x 5 + x 2 ) – (x2 - x + 1) = x 2 (x 3 + 1) - (x 2 - x + 1) = x 2 (x + 1)(x 2 - x + 1) - (x 2 - x + 1) = (x 2 - x + 1)(x 3 + x 2 – 1). IV, Củng cố: - Hệ thống bài gi ng. - Củng cố các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. ƣ ng d n về nhà: - Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử bằng các PP đã học. - Làm các bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử: a. x 2 - 3x + 2 e. 4x 4 + y 4 b. x 2 + x – 6 f. 4x4 – 324 c. x 2 + 5x + 6 g. x 5 + x 4 + 1 ; d. x 2 – 4x + 3 h. x5 + x + 1 3. K t qu thực nghiệm: 3.1. Bài kiểm tra kh o sát cuối gi thực nghiệm. (Thời gian làm bài: 45 phút) Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x4 + 2x3 + x2 b) 5x2 – 10xy + 5y2 – 20z2 c) x2 + 5x + 6 d) 4x4 + 1 Bài tập 2: Tìm x, biết: a) x2 – 2x = 0. b) x2 – 10x + 11 = 0. Bài tập 3: Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ ầ Đ ƣ 51 PHẦN III: K T LU N. 1. K t luận: Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng tr i suốt chương trình học của học sinh, nó liên quan kết hợp với các phương pháp khác, các dạng toán khác tạo lên sự lôgíc chặt chẽ của toán học. ác phương pháp được nêu từ dễ đến khó, từ đơn gi n đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ x o phân tích. ua đó gi p học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lực nhận x t, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức. Trong năm học qua tôi đã vận dụng sáng kiến trên vào dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và thấy rằng các em rất hào hứng trong quá trình tìm tòi lời gi i hay và hợp lý nhất. Số học sinh nắm vững các phương pháp cơ b n phân tích đa thức thành nhân tử và vận dụng được vào các bài tập là 93,11%. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi hy vọng giúp các em học sinh tự tin hơn khi làm các bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên, trong khi trình bày đề tài của mình không tránh khỏi những khiếm khuyết, mong bạn đọc và đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài được hoàn chỉnh và đạt hiệu qu cao. Xin chân thành c m ơn 2. Ki n ngh : Để đề tài trên được áp dụng vào thực tiễn gi ng dạy và đem lại hiệu qu cần ph i có lượng thời gian nhất định. Tuy nhiên trong phân phối chương trình của bộ môn toán 8 số tiết dành cho vấn đề nghiên cứu chỉ là 5 tiết (4 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Với lượng thời gian trên đề tài khó có thể áp dụng và đem lại hiệu qu mong muốn. Vì vậy tôi xin có một vài kiến nghị sau: - Đối với nhà trường: Tạo điều kiện về thời gian, không gian, tổ chức các chuyên đề cấp trường để giáo viên có thể áp dụng đề tài vào thực tiễn gi ng dạy. - Đối với phòng giáo dục: + Tổ chức các chuyên đề về vấn đề nghiên cứu (phân tích các đa thức thành nhân tử để giáo viên được dự giờ, nghiên cứu trao đổi học hỏi các đồng nghiệp, cùng tìm ra các biện pháp hay. + Đưa thêm vào chương trình Tự chọn Toán , chuyên đề “phân tích đa thức thành nhân tử”. CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ ầ Đ ƣ 52 TÀI LIỆU THAM KH O. 1- Một số vấn đề đổi mới PPDH trường THCS môn Toán – Bộ giáo dục và đào tạo – năm 00 . 2 - Sách GV, SGK Toán THCS - Phan Đức Chính – Tôn Thân – NXBGD. 3 - Nâng cao và phát triển Toán 8 - Vũ Hữu Bình – NXBGD. 4 - Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8 – Vũ Dương Thụy - Nguyễn Ngọc Đạm – NXBGD. 5 – Bài tập nâng cao và các chuyên đề Toán – ùi Văn Tuyên – NXBGD. 6 - Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS môn Toán – NXBGD. 7 - Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THCS chu kì 1997 – 2000 và chu kỳ 2004 – 2007 môn Toán. 8 - Phương pháp dạy học đại cương môn Toán – Bùi Huy Ngọc- Nhà xuất b n ĐHSP. 9 - Giáo trình phương pháp dạy học môn Toán – GS. TSKH. Nguyễn Bá Kim - Nhà xuất b n ĐHSP. 10- Các tài liệu sưu tầm trên mạng Internet. CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứ ầ Đ ƣ 53 Th y Th h, ngày 14 tháng 2 ă 0 4 DUYỆT CỦA T CHUYÊN MÔN ƢỜI VI T SKKN ầ Đ DUYỆT CỦA BAN GIÁM HIỆU (Hiệu ƣởng)