Đề cương ôn thi vào 10 môn Toán

BM cắt tiếp (O) tại N. CM : a) BC, BD là cỏc tiếp tuyến của đường trũn (A). b) NB là phõn giỏc của gúc CND. c) CNM MND. d) Giả sử CN = a; DN = b. Tớnh MN theo a và b. Bài 87. Cho (O; R), AB là đường kớnh cố định. Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (O) tại B. MN là đường kớnh thay đổi của (O) sao cho MN khụng vuụng gúc với AB và M ≠ A, M ≠ B. Cỏc đường thẳng AM, AN cắt đường thẳng (d) tương ứng tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD, H là giao điểm của AI và MN. Khi MN thay đổi, CM a) Tớch AM.AC khụng đổi. b) Bốn điểm C, M, N, D cựng thuộc một đường trũn. c) Điểm H luụn thuộc một đường trũn cố định. d) Tõm J của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc HIB luụn thuộc một đường thẳng cố định. Bài 88. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, gúc B lớn hơn gúc C. Kẻ đường cao AH. Trờn đoạn HC đặt HD = HB. Từ C kẻ CE vuụng gúc với AD tại E. a) Chứng minh cỏc tam giỏc AHB và AHD bằng nhau. b) Chứng minh tứ giỏc AHCE nội tiếp và hai gúc HCE và HAE bằng nhau. c) Chứng minh tam giỏc AHE cõn tại H. d) Chứng minh DE.CA = DA.CE d) Tớnh gúc BCA nếu HE//CA. Bài 89. Cho (O;R), đường kớnh AB cố định, CD là đường kớnh di động. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại B; cỏc đường thẳng AC, AD cắt d lần lượt tại P và Q. AI trung tuyến của tam giỏc APQ a) CM: . b) CM: CPQD nội tiếp c)AICD. d) Xỏc định vị trớ của CD để diện tớch tứ giỏc CPQD bằng 3 lần diện tớch tam giỏc ABC. Bài 90. Cho tam giỏc ABC vuụng ở a và gúc B lớn hơn gúc C, AH là đường cao, AM là trung tuyến. Đường trũn tõm H bỏn kớnh HA cắt đường thẳng AB ở D và đường thẳng AC ở E. a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng. b) Chứng minh . c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm trờn đường trũn tõm O. Tứ giỏc AMOH là hỡnh gỡ? d) Cho gúc ACB bằng 300 và AH = a. Tớnh diện tớch tam giỏc HEC. Bài 91. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (điểm B thuộc đoạn AC). Đường trũn (O) đi qua B và C, đường kớnh DE vuụng gúc với BC tại K. AD cắt (O) tại F, EF cắt AC tại I. 1.Chứng minh tứ giỏc DFIK nội tiếp được. 2.. Chứng minh gúc DHA và gúc DEA bằng nhau. 3.Chứng minh AI.KE.KD = KI.AB.AC. 4.AT là tiếp tuyến (T là tiếp điểm) của (O). Điểm T chạy trờn đường nào khi (O) thay đổi nhưng luụn đi qua hai điểm B, C. Bài 92. Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn. Vẽ trung tuyến AM, phõn giỏc AD của gúc BAC. Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ADM cắt AB tại P và cắt AC tại Q. a).Chứng minh ; b)Chứng minh BD.AM = BA.DP. c)Giả sử BC = a; AC = b; BD = m. Tớnh tỉ số theo a, b, m. d.Gọi E là điểm chớnh giữa cung PAQ và K là trung điểm đoạn PQ. Chứng minh ba điểm D, K, E thẳng hàng. Bài 93. Cho tam giỏc ABC cõn tại A nội tiếp trong đường trũn, P là một điểm trờn cung nhỏ AC ( P khỏc A và C). AP kộo dài cắt đường thẳng BC tại M. a) Chứng minh . b) Chứng minh AB2 = AP.AM. c) Giả sử hai cung AP và CP bằng nhau, Chứng minh AM.MP = AB.BM. d) Tỡm vị trớ của M trờn tia BC sao cho AP = MP. e) Gọi MT là tiếp tuyến của đường trũn tại T, chứng minh AM, AB, MT là ba cạnh của một tam giỏc vuụng. Câu 94 Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi (O1) là đường tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O2) là đường tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với AC tại C. Đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại D (D không trùng với A) BO1 cắt CO2 tại E .CM : 1) BCD là vuông. 2) O1D là tiếp tuyến của (O2). 3) 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đường tròn. 4) Xác định vị trí của M để O1O2 ngắn nhất. Câu 95 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại E và F. CM: 1) AE = AF. 2) A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH. 3) Kẻ đường kính BD, chứng minh tứ giác ADCH là hình bình hành. Câu 96 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt cạnh BC tại I. CM : 1) MN là đường kính của đường tròn đường kính AH. 2) tứ giác BMNC nội tiếp. 3)BI = IC. Câu 97 Cho tam giác ABC vuông tại C, O là trung điểm của AB và D là điểm bất kỳ trên cạnh AB (D không trùng với A, O, B). Gọi I và J thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD. CM : 1) OI // BC. 2) 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đường tròn. 3) CD là tia phân giác của góc BAC khi và chỉ khi OI = OJ. Bài 98 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. CM : a) CEFD là tứ giác nội tiếp. b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM. c) BE.DN = EN.BD. Bài 99 tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AD. Gọi M là trung điểm của AC, I là trung điểm của OD. 1) Chứng minh OM // DC. 2) Chứng minh tam giác ICM cân. 3) BM cắt AD tại N. Chứng minh IC2 = IA.IN. Câu 100 Cho tam giác vuông ABC ( = 900 ) nội tiếp trong đường tròn tâm O . Trên cung nhỏ AC ta lấy một điểm M bất kỳ ( M khác A và C ) . Vẽ đường tròn tâm A bán kính AC , đường tròn này cắt đường tròn (O) tại điểm D ( D khác C ) . Đoạn thẳng BM cắt đường tròn tâm A ở điểm N . Chứng minh MB là tia phân giác của góc . Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm A nói trên . So sánh góc CNM với góc MDN . Cho biết MC = a , MD = b . Hãy tính đoạn thẳng MN theo a và b . Câu 101 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D và cắt đường tròn ngoại tiếp tại I . Chứng minh rằng OI vuông góc với BC . Chứng minh BI2 = AI.DI . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC . Chứng minh góc BAH = góc CAO . d) Chứng minh góc HAO = Câu 102 Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC . Giả sử . Chứng minh rằng tam giác ABM đồng dạng với tam giác CBA . Chứng minh minh : BC2 = 2 AB2 . So sánh BC và đường chéo hình vuông cạnh là AB . Chứng tỏ BA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC . Đường thẳng qua C và song song với MA , cắt đường thẳng AB ở D . Chứng tỏ đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tiếp xúc với BC . Câu 103 Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB . Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC . CM: Tứ giác CBMD nội tiếp . Khi điểm D di động trên trên đường tròn thì không đổi . DB . DC = DN . AC Câu 104 Cho tam giác nhọn ABC và đường kính BON . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , Đường thẳng BH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M . Chứng minh tứ giác AMCN là hình thanng cân . Gọi I là trung điểm của AC . Chứng minh H , I , N thẳng hàng . Chứng minh rằng BH = 2 OI và tam giác CHM cân . Câu 105 Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh là a .E là điểm đi chuyển trên đoạn CD ( E khác D ) , đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F , đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K . Chứng minh tam giác ABF = tam giác ADK từ đó suy ra tam giác AFK vuông cân . Gọi I là trung điểm của FK , Chứng minh I là tâm đường tròn đi qua A , C, F , K . Tính số đo góc AIF , suy ra 4 điểm A , B , F , I cùng nằm trên một đường tròn . Câu 106 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Đường phân giác trong của góc A , B cắt đường tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai đường phân giác là I , đường thẳng DE cắt CA, CB lần lượt tại M , N . Chứng minh tam giác AIE và tam giác BID là tam giác cân . Chứng minh tứ giác AEMI là tứ giác nội tiếp và MI // BC . Tứ giác CMIN là hình gì ? Câu 107 Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngoài đường tròn ) . Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I , CM cắt đường tròn tại E , EN cắt đường thẳng AB tại F . Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp . Chứng minh góc CAE bằng góc MEB . Chứng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB Câu 108 Cho tam giác vuông ABC ( góc A = 1 v ) có AC < AB , AH là đường cao kẻ từ đỉnh A . Các tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại M . Đoạn MO cắt cạnh AB ở E , MC cắt đường cao AH tại F . Kéo dài CA cho cắt đường thẳng BM ở D . Đường thẳng BF cắt đường thẳng AM ở N . Chứng minh OM//CD và M là trung điểm của đoạn thẳng BD . Chứng minh EF // BC . Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN . Câu 109 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . M là một điểm trên cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC . 1) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp . 2) Chứng minh 3) Chứng minh D AMB đồng dạng với D HMK . Bài110: Cho ∆PBC nhọn. Gọi A là chân đường cao kẻ từ đỉnh P xuống cạnh BC. Đường tròn đường khinh BC cắt cạnh PB và PC lần lượt ở M và N. Nối N với A cắt đường tròn đường kính BC tại điểm thứ 2 là E. 1. Chứng minh 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn ấy? 2. Chứng minh EM vuông góc với BC. 3. Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh rằng: AM.AF=AN.AE Bài 111: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn tâm O, bán kính R(0<BC<2R). A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho ∆ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF của ∆ABC cắt nhau tại H(D thuộc BC, E thuộc CA, F thuộc AB). 1. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp trong một đường tròn. Từ đó suy ra AE.AC=AF.AB. 2. Gọi A’ là trung điểm của BC. Chứng minh AH=2A’O. 3. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đặt S là diện tích của ∆ABC, 2p là chu vi của ∆DEF. a. Chứng minh: d//EF. b. Chứng minh: S=pR. Bài 112: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O).Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N, B). Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh: 1. Tứ giác IECB nội tiếp. 2. AM2=AE.AC 3. AE.AC-AI.IB=AI2 Bài 113 Trên một đường thẳng lấy ba điểm A, B, C cố định theo thứ tự ấy. Gọi (O) là đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn luôn đi qua A và B. Vẽ đường kính I J vuông góc với AB; E là giao điểm của I J và AB. Gọi M và N theo thứ tự là giao điểm của CI và C J ( M I, N J). CM : 1/. IN, JM và CE đồng quy tại D. 2/. Gọi F là trung điểm của CD. Chứng minh OF MN. 3/. Chứng minh FM, FN là hai tiếp tuyến của (O). . 4/ Chứng minh EA. EB = EC. ED. Từ đó suy ra D là điểm cố định khi (O) thay đổi.