Đề cương ôn tập Toán 8 - Phần I+II: Đại số + Hình học

PHẦN I. ĐẠI SỐ Bài 2: Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải (lý thuyết, các dạng bài tập) A. Lý thuyết 1. Định nghĩa về phương trình bậc nhất một ẩn Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. Ví dụ: Phương trình 2x - 3 = 0 là phương trình bậc nhất ẩn x. Phương trình y - 4 = 2 là phương trình bậc nhất ẩn y. 2. Hai quy tắc biến đổi phương trình a) Quy tắc chuyển vế Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. Ví dụ: Giải phương trình x + 3 = 0 Hướng dẫn: Ta có x + 3 = 0 ⇔ x = - 3. (chuyển hạng tử + 3 từ vế trái sang vế phải và đổi thành - 3 ta được x = - 3 ) b) Quy tắc nhân với một số Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0. Ví dụ: Giải phương trình x/2 = - 2. Hướng dẫn: Ta có x/2 = - 2 ⇔ 2.x/2 = - 2.2 ⇔ x = - 4. (nhân cả hai vế với số 2 ta được x = - 4 ) 3. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. Cách giải: Bước 1: Chuyển vế ax = - b. Bước 2: Chia hai vế cho a ta được: x = - b/a. Bước 3: Kết luận nghiệm: S = { - b/a }. Ta có thể trình bày ngắn gọn như sau: ax + b = 0 ⇔ ax = - b ⇔ x = - b/a. Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { - b/a }. Ví dụ: Giải các phương trình sau a) 2x - 3 = 3. b) x - 7 = 4. Hướng dẫn: a) Ta có: 2x - 3 = 3 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 6/2 = 3. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { 3 }. b) Ta có x - 7 = 4 ⇔ x = 4 + 7 ⇔ x = 11. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { 11 } B. Trắc nghiệm & Tự luận I. Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Nghiệm của phương trình 2x - 1 = 3 là ? A. x = - 2. B. x = 2. C. x = 1. D. x = - 1. Hướng dẫn: Ta có: 2x - 1 = 3 ⇔ 2x = 1 + 3 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 4/2 ⇔ x = 2. Vậy nghiệm của phương trình là x = 2. Chọn đáp án B. Bài 2: Nghiệm của phương trình y/2 + 3 = 4 là? A. y = 2. B. y = - 2. C. y = 1. D. y = - 1. Hướng dẫn: Ta có: y/2 + 3 = 4 ⇔ y/2 = 4 - 3 ⇔ y/2 = 1 ⇔ y = 2.1 ⇔ y = 2. Vậy nghiệm của phương trình là y = 2. Chọn đáp án A. Bài 3: Giá trị của m để phương trình 2x = m + 1 có nghiệm x = - 1 là ? A. m = 3. B. m = 1. C. m = - 3 D. m = 2. Hướng dẫn: Phương trình 2x = m + 1 có nghiệm x = - 1 Khi đó ta có: 2.( - 1 ) = m + 1 ⇔ m + 1 = - 2 ⇔ m = - 3. Vậy m = - 3 là giá trị cần tìm. Chọn đáp án C. Bài 4: Tập nghiệm của phương trình - 4x + 7 = - 1 là? A. S = { 2 }. B. S = { - 2 }. C. S = { 3/2 }. D. S = { 3 }. Hướng dẫn: Ta có: - 4x + 7 = - 1 ⇔ - 4x = - 1 - 7 ⇔ - 4x = - 8 ⇔ x = - 8/ - 4 ⇔ x = 2. Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { 2 }. Chọn đáp án A. Bài 5: x = 1/2 là nghiệm của phương trình nào sau đây? A. 3x - 2 = 1. B. 2x - 1 = 0. C. 4x + 3 = - 1. D. 3x + 2 = - 1. Hướng dẫn: + Đáp án A: 3x - 2 = 1 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1 → Loại. + Đáp án B: 2x - 1 = 0 ⇔ 2x = 1 ⇔ x = 1/2 → Chọn. + Đáp án C: 4x + 3 = - 1 ⇔ 4x = - 4 ⇔ x = - 1 → Loại. + Đáp án D: 3x + 2 = - 1 ⇔ 3x = - 3 ⇔ x = - 1 → Loại. Chọn đáp án B. II. Bài tập tự luận Bài 1: Giải các phương trình sau: a) 7x - 35 = 0 b) 4x - x - 18 = 0 c) x - 6 = 8 - x Hướng dẫn: a) Ta có: 7x - 35 = 0 ⇔ 7x = 35 ⇔ x = 35/7 = 5. Vậy phương trình có nghiệm là x = 5. b) Ta có: 4x - x - 18 = 0 ⇔ 3x - 18 = 0 ⇔ 3x = 18 ⇔ x = 18/3 = 6. Vậy phương trình có nghiệm là x = 6. c) Ta có: x - 6 = 8 - x ⇔ 2x = 14 ⇔ x = 14/2 = 7. Vậy phương trình có nghiệm là x = 7. Bài 2: a) Tìm giá trị của m sao cho phương trình sau nhận x = - 5 làm nghiệm: 2x - 3m = x + 9. b) Tìm giá trị của m, biết rằng phương trình: 5x + 2m = 23 nhận x = 2 làm nghiệm Hướng dẫn: a) Phương trình 2x - 3m = x + 9 có nghiệm là x = - 5 Khi đó ta có: 2.( - 5 ) - 3m = - 5 + 9 ⇔ - 10 - 3m = 4 ⇔ - 3m = 14 ⇔ m = - 14/3. Vậy m = - 14/3 là giá trị cần tìm. b) Phương trình 5x + 2m = 23 có nghiệm là x = 2 Khi đó ta có: 5.2 + 2m = 23 ⇔ 2m = 23 - 10 ⇔ 2m = 13 ⇔ m = 13/2. Vậy m = 13/2 là giá trị cần tìm. Bài 3: Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (lý thuyết, các dạng bài tập) A. Lý thuyết 1. Cách giải Để giải các phương trình đưa được về ax + b = 0 ta thường biến đổi phương trình như sau: Bước 1: Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu (nếu có) Bước 2: Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng ax = c. Bước 3: Tìm x Chú ý: Quá trình biến đổi phương trình về dạng ax = c có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng 0 nếu: 0x = c thì phương trình vô nghiệm 0x = 0 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x hay vô số nghiệm S = R. Ví dụ 1: Giải phương trình 2x - ( 3 - 2x ) = 3x + 1 Hướng dẫn: Ta có 2x - ( 3 - 2x ) = 3x + 1 ⇔ 2x - 3 + 2x = 3x + 1 ⇔ 4x - 3x = 1 + 3 ⇔ x = 4. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { 4 }. Ví dụ 2: Giải phương trình Hướng dẫn: Ta có: ⇔ 2x - 1 = x - 2 ⇔ x = - 1. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 1 }. Ví dụ 3: Giải phương trình Hướng dẫn: Ta có: ⇔ ( x - 2 )17/60 = 0 ⇔ x - 2 = 0 ⇔ x = 2. Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { 2 }. Ví dụ 4: Giải phương trình x + 1 = x - 1. Hướng dẫn: Ta có x + 1 = x - 1 ⇔ x - x = - 1 - 1 ⇔ 0x = - 2. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 5: Giải phương trình x - 3 = x - 3. Hướng dẫn: Ta có: x - 3 = x - 3 ⇔ x - x = - 3 + 3 ⇔ 0x = 0. Vậy phương trình đã cho vô số nghiệm. B. Trắc nghiệm & Tự luận I. Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Nghiệm của phương trình 4( x - 1 ) - ( x + 2 ) = - x là? A. x = 2. B. x = 3/2. C. x = 1. D. x = - 1. Đáp án Ta có: 4( x - 1 ) - ( x + 2 ) = - x ⇔ 4x - 4 - x - 2 = - x ⇔ 4x - x + x = 2 + 4 ⇔ 4x = 6 ⇔ x = 3/2. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3/2. Chọn đáp án B. Bài 2: Nghiệm của phương trình là? A. x = 0. B. x = 1. C. x = 2. D. x = 3. Bài 3: Tập nghiệm của phương trình là? A. S = { 4/3 }. B. S = { - 3/4 } C. S = { - 7/6 }. D. S = { - 6/7 }. Bài 4: Nghiệm của phương trình - 10( 2,3 - 3x ) = 5( 3x + 1 ) là? A. x = 1,2 B. x = - 1,2 C. x = - 28/15 D. x = 28/15 Bài 5: Nghiệm của phương trình là? A. x = - 30/31. B. x = 30/31. C. x = - 1. D. x = - 31/30. II. Bài tập tự luận Bài 1: Giải các phương trình sau: a) 5( x - 3 ) - 4 = 2( x - 1 ) + 7 b) c) Hướng dẫn: a) Ta có: 5( x - 3 ) - 4 = 2( x - 1 ) + 7 ⇔ 5x - 15 - 4 = 2x - 2 + 7 ⇔ 5x - 2x = 15 + 4 + 2 - 7 ⇔ 3x = 14 ⇔ x = 14/3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 14/3. b) Ta có: ⇔ 8x - 3 - 6x + 4 = 4x - 2 + x + 3 ⇔ 5x - 2x = 6 - 6 ⇔ x = 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0. c) Ta có: ⇔ 4x + 20 + 3x + 36 - 5x + 10 = 2x + 66 ⇔ 0x = 0 ⇒ Phương trình đã cho vô số nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô số nghiệm. Bài 2: Giải các phương trình sau a) b) Hướng dẫn: a) Ta có: ⇒ x - 2014 = 0 ⇔ x = 2014. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2014. b) Ta có: ⇒ x - 100 = 0 ⇔ x = 100. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 100. Bài 4: Phương trình tích (lý thuyết, các dạng bài tập) A. Lý thuyết 1. Phương trình tích và cách giải Phương trình tích có dạng A( x ).B( x ) = 0 Cách giải phương trình tích A( x ).B( x ) = 0 ⇔ Cách bước giải phương trình tích Bước 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tổng quát A( x ).B( x ) = 0 bằng cách: Chuyển tất cả các hạng tử của phương trình về vế trái. Khi đó vế phải bằng 0. Phân tích đa thức ở vế phải thành nhân tử Bước 2: Giải phương trình và kết luận Ví dụ 1: Giải phương trình ( x + 1 )( x + 4 ) = ( 2 - x )( 2 + x ) Hướng dẫn: Ta có: ( x + 1 )( x + 4 ) = ( 2 - x )( 2 + x ) ⇔ x2 + 5x + 4 = 4 - x2 ⇔ 2x2 + 5x = 0 ⇔ x( 2x + 5 ) = 0 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 5/2; 0 } Ví dụ 2: Giải phương trình x3 - x2 = 1 - x Hướng dẫn: Ta có: x3 - x2 = 1 - x ⇔ x2( x - 1 ) = - ( x - 1 ) ⇔ x2( x - 1 ) + ( x - 1 ) = 0 ⇔ ( x - 1 )( x2 + 1 ) = 0 ( 1 ) ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1. ( 2 ) ⇔ x2 + 1 = 0 (Vô nghiệm vì x2 ≥ 0 ⇒ x2 + 1 ≥ 1 ) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { 1 }. B. Trắc nghiệm & Tự luận I. Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Nghiệm của phương trình ( x + 2 )( x - 3 ) = 0 là? A. x = - 2. B. x = 3. C. x = - 2; x = 3. D. x = 2. Bài 2: Tập nghiệm của phương trình ( 2x + 1 )( 2 - 3x ) = 0 là? A. S = { - 1/2 }. B. S = { - 1/2; 3/2 } C. S = { - 1/2; 2/3 }. D. S = { 3/2 }. Bài 3: Nghiệm của phương trình 2x( x + 1 ) = x2 - 1 là? A. x = - 1. B. x = ± 1. C. x = 1. D. x = 0. Bài 4: Giá trị của m để phương trình ( x + 2 )( x - m ) = 4 có nghiệm x = 2 là? A. m = 1. B. m = ± 1. C. m = 0. D. m = 2. Bài 5: Giá trị của m để phương trình x3 - x2 = x + m có nghiệm x = 0 là? A. m = 1. B. m = - 1. C. m = 0. D. m = ± 1. II. Bài tập tự luận Bài 1: Giải các phương trình sau: a) ( 5x - 4 )( 4x + 6 ) = 0 b) ( x - 5 )( 3 - 2x )( 3x + 4 ) = 0 c) ( 2x + 1 )( x2 + 2 ) = 0 d) ( x - 2 )( 3x + 5 ) = ( 2x - 4 )( x + 1 ) Hướng dẫn: a) Ta có: ( 5x - 4 )( 4x + 6 ) = 0 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 3/2; 4/5 }. b) Ta có: ( x - 5 )( 3 - 2x )( 3x + 4 ) = 0 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 4/3; 3/2; 5 }. c) Ta có: ( 2x + 1 )( x2 + 2 ) = 0 Giải ( 1 ) ⇔ 2x + 1 = 0 ⇔ 2x = - 1 ⇔ x = - 1/2. Ta có: x2 ≥ 0 ⇒ x2 + 2 ≥ 2 ∀ x ∈ R ⇒ Phương trình ( 2 ) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { - 1/2 }. d) Ta có: ( x - 2 )( 3x + 5 ) = ( 2x - 4 )( x + 1 ) ⇔ ( x - 2 )( 3x + 5 ) - 2( x - 2 )( x + 1 ) = 0 ⇔ ( x - 2 )[ ( 3x + 5 ) - 2( x + 1 ) ] = 0 ⇔ ( x - 2 )( x + 3 ) = 0 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 3;2 }. Bài 2: Giải các phương trình sau: a) ( 2x + 7 )2 = 9( x + 2 )2 b) ( x2 - 1 )( x + 2 )( x - 3 ) = ( x - 1 )( x2 - 4 )( x + 5 ) c) ( 5x2 - 2x + 10 )2 = ( 3x2 + 10x - 8 )2 d) ( x2 + x )2 + 4( x2 + x ) - 12 = 0 Hướng dẫn: a) Ta có: ( 2x + 7 )2 = 9( x + 2 )2 ⇔ ( 2x + 7 )2 - 9( x + 2 )2 = 0 ⇔ [ ( 2x + 7 ) + 3( x + 2 ) ][ ( 2x + 7 ) - 3( x + 2 ) ] = 0 ⇔ ( 5x + 13 )( 1 - x ) = 0 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 13/5; 1 }. b) Ta có: ( x2 - 1 )( x + 2 )( x - 3 ) = ( x - 1 )( x2 - 4 )( x + 5 ) ⇔ ( x2 - 1 )( x + 2 )( x - 3 ) - ( x - 1 )( x2 - 4 )( x + 5 ) = 0 ⇔ ( x - 1 )( x + 1 )( x + 2 )( x - 3 ) - ( x - 1 )( x - 2 )( x + 2 )( x + 5 ) = 0 ⇔ ( x - 1 )( x + 2 )[ ( x + 1 )( x - 3 ) - ( x - 2 )( x + 5 ) ] = 0 ⇔ ( x - 1 )( x + 2 )[ ( x2 - 2x - 3 ) - ( x2 + 3x - 10 ) ] = 0 ⇔ ( x - 1 )( x + 2 )( 7 - 5x ) = 0 Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { - 2; 1; 7/5 }. c) Ta có: ( 5x2 - 2x + 10 )2 = ( 3x2 + 10x - 8 )2 ⇔ ( 5x2 - 2x + 10 )2 - ( 3x2 + 10x - 8 )2 = 0 ⇔ [ ( 5x2 - 2x + 10 ) - ( 3x2 + 10x - 8 ) ][ ( 5x2 - 2x + 10 ) + ( 3x2 + 10x - 8 ) ] = 0 ⇔ ( 2x2 - 12x + 18 )( 8x2 + 8x + 2 ) = 0 ⇔ 4( x2 - 6x + 9 )( 4x2 + 4x + 1 ) = 0 ⇔ 4( x - 3 )2( 2x + 1 )2 = 0 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { - 1/2; 3 }. d) Ta có: ( x2 + x )2 + 4( x2 + x ) - 12 = 0 Đặt t = x2 + x, khi đó phương trình trở thành: t2 + 4t - 12 = 0 ⇔ ( t + 6 )( t - 2 ) = 0 + Với t = - 6, ta có: x2 + x = - 6 ⇔ x2 + x + 6 = 0 ⇔ ( x + 1/2 )2 + 23/4 = 0 Mà ( x + 1/2 )2 + 23/4 ≥ 23/4 ∀ x ∈ R ⇒ Phương trình đó vô nghiệm. + Với t = 2, ta có x2 + x = 2 ⇔ x2 + x - 2 = 0 ⇔ ( x + 2 )( x - 1 ) = 0 ⇔ Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { - 2;1 }. Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu (lý thuyết, các dạng bài tập) A. Lý thuyết 1. Tìm điều kiện xác định của một phương trình Điều kiện xác định của phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0. Điều kiện xác định của phương trình viết tắt là ĐKXĐ. Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau a) (x - 1)/(x + 2) + 1 = 1/(x - 2). b) (x - 1)/(1 - 2x) = 1. Hướng dẫn: a) Ta thấy x + 2 ≠ 0 khi x ≠ - 2 và x - 2 ≠ 0 khi x ≠ 2. Do đó ĐKXĐ của phương trình (x - 1)/(x + 2) + 1 = 1/(x - 2) là x ≠ ± 2. b) Ta thấy 1 - 2x ≠ 0 khi x ≠ 1/2. Do đó ĐKXĐ của phương trình (x - 1)/(1 - 2x) = 1 là x ≠ 1/2. 2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu Ta thường qua các bước: Bước 1: Tìm điều kiện xác của phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình tìm được. Bước 4: Kết luận. Nghiệm của phương trình là giá trị của ẩn thoả mãn ĐKXĐ của phương trình. Ví dụ 1: Giải phương trình Hướng dẫn: Bước 1: Điều kiện xác định: x ≠ 0; x ≠ 2. Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu Ta có: ⇒ 2( x - 2 )( x + 2 ) = x( 2x + 3 ) Bước 3: Giải phương trình Ta có: 2( x - 2 )( x + 2 ) = x( 2x + 3 ) ⇔ 2( x2 - 4 ) = 2x2 + 3x ⇔ 2x2 - 8 = 2x2 + 3x ⇔ 3x = - 8 ⇔ x = - 8/3. Bước 4: Kết luận So sánh với ĐKXĐ, ta thấy x = - 8/3 thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { - 8/3 }. Ví dụ 2: Giải phương trình Hướng dẫn: + ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ - 5. + Ta có: ⇒ ( 2x + 5 )( x + 5 ) - 2x2 = 0 ⇔ 2x2 + 10x + 5x + 25 - 2x2 = 0 ⇔ 15x = - 25 ⇔ x = - 5/3. + So sánh với ĐKXĐ ta thấy x = - 5/3 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 5/3 }. B. Trắc nghiệm & Tự luận I. Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Nghiệm của phương trình là? A. x = - 1. B. x = - 1/56. C. x = 1. D. x = 1/56. Bài 2: Nghiệm của phương trình (x + 1)/(3 - x) = 2 là? A. x = - 5/3. B. x = 0. C. x = 5/3. D. x = 3. Bài 3: Tập nghiệm của phương trình là? A. S = { ± 1 }. B. S = { 0;1 }. C. S = { 1 }. D. S = { Ø }. Bài 4: Nghiệm của phương trình là? A. x = 5/3. B. x = - 5/3. C. x = - 2. D. x = 2. Bài 5: Giá trị của m để phương trình (x - m)/(x + 2) = 2 có nghiệm x = - 3 là ? A. m = 0. B. m = 1. C. m = - 1. D. m = 2. II. Bài tập tự luận Bài 1: Giải các phương trình sau: Hướng dẫn: a) ĐKXĐ: Ta có: ⇔ ( x + 1 )2 - ( x - 1 )2 = 16 ⇔ ( x2 + 2x + 1 ) - ( x2 - 2x + 1 ) = 16 ⇔ 4x = 16 ⇔ x = 4. Vây phương trình đã cho có nghiệm x = 4. b) ĐKXĐ: Ta có: ⇔ 2( x2 + x - 2 ) = 2x2 + 2 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3. c) ĐKXĐ: Ta có: ⇔ 2( x2 + 10x + 25 ) - ( x2 + 25x ) = x2 - 10x + 25 ⇔ x2 - 5x + 50 = x2 - 10x + 25 ⇔ 5x = - 25 ⇔ x = - 5. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - 5. Bài 2: Giải các phương trình sau: Hướng dẫn: a) ĐKXĐ: x ≠ - 1;x ≠ 3. Ta có: ⇔ - x - 1 - x + 3 = x2 + x - x2 + 2x - 1 ⇔ 5x = 3 ⇔ x = 3/5. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3/5. b) ĐKXĐ: x ≠ 3, x ≠ 4, x ≠ 5, x ≠ 6. Ta có: Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0;x = 9/2. c) ĐKXĐ: x ≠ 1. Ta có: ⇔ ( x2 - 1 )( x3 + 1 ) - ( x2 - 1 )( x3 - 1 ) = 2( x2 + 4x + 4 ) ⇔ ( x5 + x2 - x3 - 1 ) - ( x5 - x2 - x3 + 1 ) = 2( x2 + 4x + 4 ) ⇔ 2x2 - 2 = 2x2 + 8x + 8 ⇔ 8x = - 10 ⇔ x = - 5/4. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = - 5/4. PHẦN II. HÌNH HỌC Bài 1: Định lí Ta-lét trong tam giác (lý thuyết, các dạng bài tập) A. Lý thuyết 1. Tỉ số của hai đường thẳng a) Định nghĩa + Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo. + Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD được kí hiệu là AB/CD. + Chú ý: Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào các chọn đơn vị đo b) Ví dụ Ví dụ: Cho AB = 20 cm;CD = 40 cm thì AB/CD = 20/40 = 1/2. Cho AB = 2 m; CD = 4 m thì AB/CD = 2/4 = 1/2. 2. Đoạn thẳng tỉ lệ Định nghĩa + Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A'B' và C'D' nếu có tỉ lệ thức. + Tổng quát: hay 3. Định lý Ta – lét trong tam giác Định lý Ta – lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lai thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Tổng quát : Δ ABC, B'C'//BC; B' ∈ AB, C' ∈ AC Ta có: Ví dụ: Tính độ dài cạnh AN. Hướng dẫn: Ta có MN//BC, áp dụng địnhlý Ta – lét ta có: AM/MB = AN/NC hay 17/10 = x/9 ⇒ x = (17.9)/10 = 15,3 B. Trắc nghiệm & Tự luận I. Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Cho AB = 6 cm, AC = 18 cm, tỉ số hai đoạn thẳng AB và AC là? A. 1/2 B. 1/3 C. 2 D. 3 Bài 2: Tìm độ dài x cho hình vẽ sau biết MN//BC A. x = 2,75 B. x = 5 C. x = 3,75 D. x = 2,25 Bài 3: Cho AB/A'B' = CD/C'D' ⇔ AB.C'D' = A'B'.CD ( I ) ⇔ AB/CD = A'B'/C'D' ( II ) A. ( I ),( II ) đều sai. B. ( I ),( II ) đều đúng. C. Chỉ có ( I ) đúng D. Chỉ có ( II ) đúng. Bài 4: Cho các đoạn thẳng AB = 6cm, CD = 4cm, PQ = 8cm, EF = 10cm, MN = 25mm, RS = 15mm. Hãy chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau? A. Đoạn AB và PQ tỉ lệ với hai đoạn thẳng EF vs RS. B. Hai đoạn thẳng AB và RS tỉ lệ với hai đoạn thẳng EF và MN C. Hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng PQ và EF D. Cả 3 phát biểu đều sai. Bài 5: Cho các đoạn thẳng AB = 8cm, AC = 6cm, MN = 12cm, PQ = x cm. Tìm x để AB và CD tỉ lệ với MN và PQ? II. Bài tập tự luận Bài 1: Cho đoạn thẳng a) Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C sao cho CA/CB = 3/2 . Tính độ dài đoạn CB. b) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho DA/DB = 3/2 . Tính độ dài đoạn CD. Hướng dẫn: a) Từ giả thiết với t > 0 Nên AB = 10 cm = CA + CB = 5t ⇔ t = 2 Vậy CB = 4 cm b) Từ giả thiết Mặt khác D thuộc tia đối của tia BA nên DA > DB Do đó AB = 10 cm = DA - DB = 3t - 2t ⇔ t = 10 cm Vậy DB = 20 cm Bài 2: Tính giá trị của x trên hình vẽ đã có: Hướng dẫn: a) Áp dụng định lí Ta – lét vào tam giác ABC có MN//BC Ta có: AM/AB = AN/AC ⇒ AM/( AB - AM ) = AN/( AC - AN ) ⇔ AM/BM = AN/NC Hay 4/x = 5/3,5 ⇒ x = 4.3,5/5 = 2,8( cm ) Vậy x = 2,8( cm ) b) Áp dụng định lí Ta – lét vào tam giác DEF có PQ//EF Ta có: PE/DE = QF/DF ⇒ PE/( DE - PE ) = QF/( DF - QF ) Hay 10,5/x = 9/( 24 - 9 ) ⇒ x = 10,5.15/9 = 17,5 ( cm ) Vậy x = 17,5 ( cm ) Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét (lý thuyết, các dạng bài tập) A. Lý thuyết 1. Định lý đảo Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh một tam giác và định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. Tổng quát: Δ ABC, B' ∈ AB, C' ∈ AC; AB'/BB' = AC'/C'C Suy ra: B'C'//BC. Ví dụ: Trong Δ ABC có AB = 6cm, AC = 9cm. Lấy trên cạnh AB điểm B', trên cạnh AC lấy điểm C' sao cho AB' = 2cm, AC' = 3cm. Chứng minh B'C'//BC. Hướng dẫn: Trong Δ ABC, B' ∈ AB, C' ∈ AC. Ta có Suy ra: B'C'//BC. 2. Hệ quả của định lý Ta – lét Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh còn lại của một của một tam giác và song song với các cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho. Tổng quát : Δ ABC, B'C'//BC; B' ∈ AB, C' ∈ AC Ta có: Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Ví dụ: Trong Δ ABC có AB = 8cm và B'C'//BC. Lấy trên cạnh AB điểm B', trên cạnh AC lấy điểm C' sao cho AB' = 2cm, AC' = 3cm. Tính độ dài cạnh AC. Hướng dẫn: Áp dụng hệ quả trên ta có: Δ ABC, B'C'//BC; B' ∈ AB, C' ∈ AC Khi đó ta có: AB'/AB = AC'/AC ⇔ 2/8 = 3/AC ⇒ AC = (3.8)/2 = 12( cm )