Đề cương bồi dưỡng HSG Toán 7 - Chuyên đề: Ôn tập về các trường hợp bằng nhau của tam giác - Năm học 2023-2024

Ngày soạn: 18/1/2024 Ôn tập về các trường hợp bằng nhau của tam giác I.Mục tiêu: -Củng cố cho học sinh các trường hợp bằng nhau của tam giác. từ đó chứng minh được Hai đoạn thẳng bằng nhau,Hai góc bằng nhau,Ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng vuông góc,ba đường đồng quy( Đi qua một điểm ), so sánh hai đoạn thẳng, hai góc. -Rèn luyện kĩ năng vẽ hình, kĩ năng chứng minh hình học. -Học sinh có ý thức vận dụng làm bài tập một cách thành thạo.. II. Lên lớp: 1. Kiểm tra: 2. Bài mới: Buổi 1 Bài 1 : Cho ABC có 3 góc nhọn. Vẽ ADvuông góc. AC = AB và D khác phía C đối với AB, vẽ AEAC: AD = AC và E khác phía đối với AC. CMR: a) DC = BE b) DC  BE HD: a) CM: DC=BE ta có = + = 900 + = + = + 900 ̂ ̂ ̂ ̂ => = ̂ ̂ ̂ ̂ Xét DAC và BAE có: ̂ ̂ AD = BA (gt) (c) ; AC = AE (gt) (c) ; = (cm trên) (g) => DAC= BAE (c-g-c) ̂ ̂ => DC = BE (2 cạnh tương ứng) b) CM: DCBE Gọi H = DC BE; I = BE AC Ta có: ADC= ABC (cm trên) => = (2 góc tương ứng) ̂ ̂ mà: = + (2 góc bằng tổng 2 góc bên trong không kề) => = + ( và đđ) ̂ ̂ ̂ 0 Bài 2 : Cho hình vẽ bên có :AB=CD;AD = BC; Â1 = 85 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ a/ Chứng minh ABC = CDA b/ Tính số đo góc C1 ∆ ∆ c/ Chứng minh AB// CD B A 2 1 C D Bài 3: Cho ABC có góc A = 600. Các tia phân giác các góc B; C cắt nhau ở I và AC; AB theo thứ tự ở D; E . chứng minh rằng ID=IE A 60 D E 1 3 4 1 2 2 2 B 1 K 1 C Kẻ phân giác IK của góc BIC ta được = , theo đầu bài ABC: A 0 B + C =1200 60 ̂1 ̂2 ∆ Có BB12 (gt), CC12 (gt) 1200 B C 600 1 1 2 BIC 1200 0 0 0 II12= 60 và I 3 = 60 , I 4 = 60 I 3 = II12= I 4 khi đó ta có BEI = BKI (g-c-g) IE = IK (cạnh tương ứng ) Chứng minh tương tự IDC= IKC IK = ID IE = ID = IK Bài 4: Cho ABC có AC = BC. Gọi I là trung điểm của AB. Trên tia CI lấy điểm D sao cho D nằm khác phía với C so bờ là đường thẳng AB. a) Chứng minh rằng ADC = BDC. b) Suy ra CD là đường trung trực của AB. Bài 5: Cho đoạn thẳng AB. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AB và đường tròn tâm B bán kính BA. Hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm M và N. a) Chứng minh rằng AMB = ANB. b) Chứng minh rằng MN là trung trực của AB và từ đó suy ra cách vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước. Bài 6: Cho góc xOy. Trên tia phân giác Ot của góc xOy lấy điểm I (I O). Gọi A, B lần lượt là các điểm trên tia Ox và Oy sao cho OA = OB (O A; O B). a) Chứng minh rằng OIA = OIB. b) Chứng minh rằng tia Ot là đường trung trực của AB. Bài 7 : Cho tam giác ABC biết AB<BC. Trên tia BA lấy điểm D sao cho BC=BD. Nối C với D. Phân giác của góc B cắt cạnh AC, DC lần lượt ở E và I. a/ Chứng minh BED= BEC và IC = ID. b/ Từ A vẽ đường vuông góc AH với DC (H thuộc DC). Chứng minh AH//BI. Bài 8: Cho tam giác ABC có B 700 , C 300 , Tia phân giác của góc A Cắt BC tại D. Hẻ AH vuông góc với BC (H BC). a/ Tính BAC b/ Tính HDA c/ Tính ADH Cm: A 0 0 a/ ABC: B 70 , C 30 (gt) 1 3 =1800- (700+ 300) 2 =1800-1000=800 ̂ 70 b/ Xét ABH có  30 B H D C Hv1 hay H 900 (gt) 0 0 0 A1 = 90 - 70 = 20 (trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau) 0 BAC 80 00 A2 20 20 HDA 0 AA21 2 hay =20 2 0 0 c/ ADH có H 90 ; A2 =20 ADH = 900-200 = 700 HDA hoặc = A3 C (t/c góc ngoài của tam HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ: Bài 1: cho ABC vuông tại A, phân giác B cắt AC tại D. Kẻ DE BD (E BC). a) Cm: BA = BE b) K = BA DE. Cm: DC = DK. Bi 2: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. 1/ Chứng minh rằng AMB = AMC 2/ Chứng minh rằng AM là tia phân giác của góc BAC ? 3/ Đường thẳng đi qua B vuông góc với BA cắt đường thẳng AM tại I. CMR CI  C Buổi 2 Bài1: Cho ABC có : AB=AC, M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM=MD a/ Chứng minh ABM = DCM b/ chứng minh AC // DC c/ Chứng minh AC BC d/ Tìm điều kiện của ABC để ADC =300 ⊥ A GT: ABC : AB=AC M BC :BM=CM D tia đối của tia MA 1 M B C 2 AM = MD KL: a/ ABM = DCM b AC // DC D c/ AC BC CM: d/ Tìm⊥ điều kiện của ABC a/Xét ABM và DCM có: để ADC =300 AM = DM (gt) ; MM12 (hai góc đối đỉnh ) ; BM = CM (gt) ABM = DCM (c-g-c) b/ Ta có: BAM= DCM (chứng minh trên) BAM MDC (hai góc tương ứng ) mà BAM và MDC là hai góc so le trong AB//DC (theo dấu hiệu nhận biết ). c/ Ta có: ABM = ACM (c-c-c) Vì AB = AC (gt ) ; Cạnh AM chung; BM = MC(gt) ABM AMC (hai góc tương ứng ) mà AMB AMC 1800 (do hai góc kề bù) 1800 AMB 900 AM BC 2 ⊥ d/ ADC =300 khi DAB =300 (Vì ADC = DAB theo kết quả trên ) mà DAB =300 khi BAC = 600 (vì BAC = 2. DAB do BAM = MAC ) Vậy ADC = 300 khi ABC có AB = AC và BAC = 600 Bài 2: a/ Vẽ hình theo trình tự sau: -Vẽ ABC -Qua A vẽ AH BC (H BC) -Từ H vẽ HK AC (K AC) ⊥ -Qua K vẽ đường thẳng // với BC cắt AB tại E. ⊥ b/ Chỉ ra các cặp góc bằng nhau trên hình, giải thích. c/ Chứng minh AH EK. d/ Qua A vẽ đường thẳng m vuông góc với AH. Chứng minh m // EK ⊥ m A E 1 2 K GT: ABC 1 3 AH BC (H BC) HK AC (K AC) 1 1 1 ⊥ B H C KE //⊥ BC (E AB) CM: Am AH b/ EB11 (hai góc đồng vị của EK//BC) KL: a/ vẽ⊥ hình K 2 C1(như trên ) b/ Chỉ ra các cặp góc bằng KH 11(Hai góc so le trong của EK//BC) nhau KK 23( đối đỉnh ) c/AH KE AHC HKC = 900 d/ Am // EK c) ⊥ AH BC (gt) AH EK (Quan hệ giữa tính vuông góc và song song ) EK//BC (gt) d) m AH (gt) (Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng EK AH (c/m t) ⊥ thứ 3 ) } => // 퐾 ⊥ Bài 3 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN. c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D A thay đổi trên cạnh BC * Phân tích tìm lời giải a) Để cm DM = EN  Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g) M  Cú BD = CE (gt) , DE 900 ( MD, NE  BC) I C B E BCA CBA ( ∆ABC cân tại A) D H b) Để Cm Đường thẳng BC cắt MN tại trung N điểm I của MN Cần cm IM = IN O  Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g) c) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC , O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I Cần cm O là điểm cố định Để cm O là điểm cố định  Cần cm OC  AC  Cần cm OAC OCN 900  Cần cm : OBA OCA và OBM OCM  Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) *Khai thác bài 3 Từ bài 3 ta thấy BM = CN , vậy ta có thể phát biểu lại bài toán như sau: Bài 3.1 .Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB ly điểm M, trên tia AC ly điểm N sao cho BM = CN . Đường thẳng BC cắt MN tại I . Chứng minh rằng: a) I là trung điểm của MN A b) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi lời giải: M Từ lời giải bài 2 để giải bài 2.1 ta cần kẻ MD  BC ( D BC) NE  BC ( E BC) I C B E Bài tập về nhà: D H Bài 4: Cho ∆ABC vuông tại A, K là trung điểm của cạnh BC. N O Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK, đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E Gọi I là trung điểm của DE. a) Chứng minh rằng : AI  BC b) Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không? vì sao? *Phân tích tìm lời giải a) Gọi H là giao điểm của BC và AI A 0 Để cm AI  BC  Cần cm A1 ACK 90 A ACK 900 1 Để cm 1 D  Có AEK EAK 900 H B cần cm A1 AEK và ACK CAK C K  I Cần cm ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K b) Để so sánh DE với BC cần so sánh IE với CK (vì 2.IE = DE, 2CK = BC)  So sánh AI với AK (vì AI = IE, AK = CK) Có AI AK E Lời giải: a)Dễ dàng chứng được ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K cần cm A1 AEK 0 0 và ACK CAK mà AEK EAK 90 A1 ACK 90 AI  BC b) ta có BC = 2 CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) Mà AI AK DE BC , DE = BC khi K trùng với I khi đó ∆ABC vuông cân tại A Buổi 3 Bài 1: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia phân giác của góc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: a) 2BME ACB B . b) BE = CF A Giải: Ta có: AHE = AHF (g-c-g) Từ AEH AFH Suy ra EF1 Xét CMF có ACB là góc ngoài suy ra CMF ACB F E BME có E là góc ngoài suy ra BME E B 1 1 1 B M vậy CMF BME ()() ACB F E1 B C H hay 2BME ACB B (đpcm). D Từ AHE AHF Suy ra AE = AF và EF1 Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) => BME CMD( g c g ) BE CD (1) F Lại có: E1 CDF (cặp góc đồng vị) Do đó CDF F CDF cân CF = CD ( 2) Từ (1) và (2) suy ra BE = CF Bài 2: Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. a) Chứng minh rằng: BE = CD. b) Gọi M là trung điểm của BE, N là trung điểm của CB. Chứng minh M, A,N thẳng hàng. c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax . Chứng minh BH + CK BC. d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất. *Phân tích tìm lời giải a) Để cm BE = CD  Cần cm ABE = ADC (c.g.c) D E b) Để cm M, A, N thẳng hàng.  0 Cần cm BAN BAM 180 M A N k  K Có BAN NAD 1800 Cần cm MAB NAD Để cm MAB NAD I B C  H Cần cm ABM = ADN (c.g.c) c) Gọi là giao điểm của BC và Ax x Để cm BH + CK BC  Cần cm BH BI; CK CI Vì BI + IC = BC d) BH + CK có giá trị lớn nhất = BC khi đó K, H trùng với I, do đó Ax vuông góc với BC Bài 3. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH). a) Chứng minh: EM + HC = NH. b) Chứng minh: EN // FM. N E F M A Hình vẽ: B *Phân tích tìm lời giải a) Để cm EM + HC = NH H C  Cần cm EM = AH và HC = AN + Để cm EM = AH cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – góc nhọn) + Để cm HC = AN cần cm ∆AFN =∆CAH ( cạnh huyền – góc nhọn) b) Để cm EN // FM  AEF EF N (cặp góc so le trong) Gọi I là giao điểm của AN và EF để cm AEF EF N  Cần cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g) Bài tập về nhà: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC Buổi 4 Bài 1: *Phân tích tìm lời giải E Gọi F là giao điểm của BA và IE để Cm AE = BC cần cm: ∆AFE = ∆ CAB Để cm : ∆AFE = ∆ CAB F  Cần cm AF = AC (2); AFC BAC 900 (1); EAF ACB (3) + Để cm (1) : AFC BAC 900 A I  Cm CI // AE vì có FI // AC và BAC 900 Để Cm CI // AE B M  H C Cm ∆AMB = ∆ DMC (c.g.c) + Để cm (2): AF = AC D  Cm ∆AFI = ∆ ACI (Cạnh huyền – góc nhọn) + Cm (3) : EAF ACB ( vì cùng phụ HAC ) *Khai thác bài toán : Từ bài 1 ta thấy AH AM HE AM + BC = 3AM ( vì AM = MB = MC) 3 Vậy HE lớn nhất = 3AM = BC khi H trùng M khi đó tam giác ABC vuông cân 2 Bài 2 Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng: a) AE = AF A b) BE = CF AB AC c) AE 2 F * Phân tích tìm lời giải B C M a) Để cm AE = AF N  I ∆ANE = ∆ ANF (c. g. c) Hoặc ∆AEF cân tại A E (Có AH vừa là tia phân giác , vừa là đường cao) b) Để cm BE = CF cần tạo tam giác chứa BE ( hoặc có 1 cạnh = BE) mà bằng tam giác MCF + Kẻ BI // AC ∆MBI = ∆CMF( c. g . c) Để cm BE = CF  ∆ BEI cân tại B  E BEI  Có BIE ABF ( cặp góc đồng vị ) mà EE AF vì ∆AEF cân tại A c) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC và AE = AF AB AC 2 AE = AB + AC hay AE 2 Bài 3. Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC. A a) Chứng minh : Tam giỏc ADE cõn tại A b) Tính số đo các góc AIC và AKB ? K *Phân tích tìm hướng giải I E - Xét TH góc A < 900 D a) Để cm ∆ ADE cân tại A  cần cm: AD = AH = AE ( Áp dụng t/c đường trung trực) b) Dự đoán CI  IB , BK  KC B C Do IB, KC tia phân giác góc ngoài của ∆ HIK H nên HA là tia phân giác trong. Do AHC 900 nên HC là tia phân giác ngoài đỉnh H . Các tia phân giác góc ngoài đỉnh H và K của ∆ HIK cắt nhau ở C nên IC là tia phân giác của góc HIK , do đó IB  IC , Chứng minh tượng tự ta có BK  KC - Xét TH góc A>900 *Khai thác bài toán: Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC, qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là trung trực của D’M, AC là trung trực của ME’. Khi đó ta có ∆ AD’E’ cân tại A và góc DAC có Từ đó ta có bài toán sau: Bài 3.1 Cho tam giác ABC nhọn . Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E trong đó AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thì DE có độ dài nhỏ nhất. HD . Tự nhận xét bài 9 dễ dàng tìm được D A vị trí điểm M trên cạnh BC. E C B H M Bài 4. Cho ∆ ABC với góc A không vuông và góc B khác 135o. Gọi M là trung điểm của BC. Về phía ngoài ∆ ABC vẽ ∆ ABD vuông cân đáy AB. Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường thẳng qua C song song với MD cắt nhau tại E. Đường thẳng AB cắt CE tại P và DM tại Q . Chứng minh rằng Q là trung điểm của BP. E HD. Trên tia đối của tia MQ lấy điểm H sao cho MH = MQ A D - Cm ∆ BMQ = ∆ CMH ( c.g.c) P BQ = CH (1) và MBQ MCH Q BQ//CH hay PQ // CH ( vì MBQ, MCH là cặp góc so le trong) C - Nối PH , cm ∆ PQH = ∆ HCP ( g.c.g) B M PQ = CH (2) , Do Q nằm giữa B và P dù góc B nhỏ hơn 1350 H Từ (1) và (2) Suy ra đpcm. A Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A có A 200 , vẽ tam giác đều 200 DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD M cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC D b) AM = BC B C HD a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy ra DAB DAC Do đó DAB 2000 : 2 10 b) ABC cân tại A, mà A 200 (gt) nên ABC (1800 20 0 ) : 2 80 0 ABC đều nên DBC 600 Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ABD 800 60 0 20 0 . Tia BM là phân giác của góc ABD nên ABM 100 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAM ABD 2000 ; ABM DAB 10 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài tập về nhà: Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB > AC) . Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB . Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K . Chứng minh rằng : B I a) BA = BH 4 3 b) DBK 450 1 2 c) Cho AB = 4 cm, tính chu vi tam giác DEK K H HD: a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – góc nhọn) b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với EK, cắt EK tại I A D E Ta có : ABI 900 , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh huyền – cạnh góc vuông) C 0 BB34 mà BB12 DBK 45 c) Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = .. = 2.4 = 8 cm * Từ bài ta thấy khi DBK 450 thì chu vi ∆DEK = 2. AB vậy nếu có chu vi ∆DEK = 2 thì ta cũng cm được DBK 450 . Buổi 5 Bài 1 : Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. Chứng minh: DC = BE và DC BE HD: Phân tích tìm hướng giải *Để CM: DC = BE cần CM ∆ABE = ∆ ADC ( c.g.c) Có: AB = AD, AC = AE (gt) Cần CM : DAC BAE Có : BAE 900 BAC DAC * Gọi I là giao điểm của AB và CD 0 Để CM : DC BE cần CM IB21 90 0 Có II12 ( Hai góc đối đỉnh) và ID11 90 Cần CM BD11 ( vì ∆ABE = ∆ ADC) Lời giải a) Ta có BAE 900 BAC DAC DAC BAE , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt) Suy ra ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c) DC = BE b) Gọi I là giao điểm của AB và CD 0 Ta có II12 ( Hai góc đối đỉnh) , ID11 90 ( ∆ ADI vuông tại A) và BD11 ( vì 0 ∆ABE = ∆ ADC) IB21 90 DC BC *Khai thác bài 1: Từ bài 1 ta thấy : DC = BE và DC BE khi ∆ABD và ∆ ACE vuông cân, vậy nếu có ∆ABD và ∆ ACE vuông cân , Từ B kẻ BK CD tại D thì ba điểm E, K, B thẳng hàng Ta có bài toán 1.1 Bài 1. 1: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Từ B kẻ BK CD tại K Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng HD : Từ bài 1 chứng minh được DC BE mà BK CD tại K suy ra ba điểm E, K, B thẳng hàng *Khai thác bài 1.1 Từ bài 1.1 nếu gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A thì MA BC từ đó ta có bài toán 1.2 Bài 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gọi M là trung điểm của DE kẻ tia M A . Chứng minh rằng : MA BC Phân tích tìm hướng giải HD: Gọi H là giao điểm của tia MA và BC Để CM MA BC ta cần CM ∆AHC vuông tại H Để CM ∆AHC vuông tại H ta cần tạo ra 1 tam giác vuông bằng ∆AHC N Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM = MN 1 Kẻ DQ  AM tại Q D Cần CM ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) M E  Q CM: ND = AC , N1 ACB , BAC ADN 1 A  CM : ∆ABC = ∆DNA ( c.g.c)  Có AD = AB (gt) B Cần CM : ND = AE ( = AC) và BAC ADN + Để CM ND = AE H  C CM : ∆MDN = ∆MEA (c.g.c) + Để CM BAC ADN  EAD ADN 1800 vì EAD BAC 1800  CM AE // DN (∆MDN = ∆MEA) Lời giải Gọi H là giao điểm của tia MA và BC, Trên tia AM lấy điểm N sao cho AM =MN kẻ DQ  AM tại Q Ta có ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) vì : AM = MN ; MD = ME (gt) và EMA DMN ( hai góc đối đỉnh) DN = AE ( = AC) và AE // DN vì N1 MAE ( cặp góc so le trong ) EAD ADN 1800 ( cặp góc trong cùng phía) mà EAD BAC 1800 BAC ADN Xét ∆ABC và ∆DNA có : AB = AD (gt) , AC = DN và BAC ADN ( chứng minh trên ) ∆ABC = ∆DNA (c.g.c) N1 ACB Xét ∆AHC và ∆DQN có : AC = DN , BAC ADN và N1 ACB ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) ∆AHC vuông tại H hay MA BC * Khai thác bài toán 1.3 + Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MA BC , ngược lại nếu AH BC tại H thì tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE , ta có bài 1.3 Bài 1.3 : Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến BC . Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE HD : Từ bài 1.2 ta có định hướng giải như sau: Kẻ DQ  AM tại Q, ER AM tại R . Ta có : + DAQ HBH ( Cùng phụ BAH ) R D AD = AB (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) 1 M E DQ = AH (1) 2 Q + ACH EAR ( cùng phụ CAH ) 1 A AC = AE (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) ER = AH ( 1) . Từ (1) và (2) ER = DQ Lại có MM12 ( hai góc đối đỉnh ) ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) MD = ME hay M là trung điểm của DE B + Từ bài 1.3 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MA DE H , ngược lại nếu H là trung điểm của BC thì tia KA sẽ vuông góc C với DE, ta có bài toán 1.4 Bài tập về nhà: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gọi H trung điểm của BC . Chứng minh rằng tia HA vuông góc với DE HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toán 1.4 Trên tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’ D M E Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g) A A’B = AC ( = AE) và HAC HA' B AC // A’B BAC ABA' 1800 ( cặp góc trong cùng phía) Mà DAE BAC 1800 DAE ABA' Xét ∆DAE và ∆ABA’ có : AE = A’B , AD = AB (gt) B DAE ABA ' ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c) H C ADE BAA' mà ADE BAA ' 9000 ADE MDA 90 Suy ra HA vuông góc với DE Buổi 6 Bài 1:(BTNC&MSCĐ/123) A' Cho góc vuông xOy, điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy. Lấy điểm E trên tia đối của tai Ox, điểm F trên tia Oy sao cho OE= OB, OF= OA. a. Chứng minh AB = EF, AB  EF. b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và EF. Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân. y Giải: F 0 H = 90 ; A Ox, B Oy B GT OE = OB, OF= OA 1 ̂ ∈ ∈ N M M AB: MA = MB 2 1 N EF: NE = NF E 3 O A x KL a, AB∈ = EF, AB  EF b. ∈ OMN vuông cân Chứng minh a. Xét AOB và FOE có: OA = OF ( GT) AOB = FOE = 900 AOB và FOE(C.G.C) OB = OE (GT) AB = EF( cạnh tương ứng) A = F (1) ( góc tương ứng) Xét FOE : O = 900 E + F = 900 (2) Từ (1) và (2) E + A = 900 EAH =900 EH  HA hay AB  EF. 1 b. Ta có: BM = AB( M là trung điểm của AB) 2 1 EN = EF( M là trung điểm của EF) BM = EN 2 Mà AB = EF 0 0 Mặt khác: FOE : O = 90 E + F = 90 0 0 OAB : O = 90 A + B1 = 90 E = B1 Mà A = F (cmt) Xét BOM và EON có : OB = OE (gt) B1 = E (cmt) BOM = EON (c.g.c) BM = EN (cmt) OM = ON (*) Và O1 = O2 0 0 0 Mà O2 + O3 =90 nên O1 + O3 =90 MON = 90 (**) Từ (*) và(**) OMN vuông cân Bài 2: Cho ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Nối D với E. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng. Giải A GT ABC: AB = AC D D AB, E AC: BD=CE I DE: ID = IE C B F I KL B, I, C thẳng hàng E * Phân tích: B, I, C thẳng hàng BIE + EIC = 1800 Cần c/m BID = EIC Mà BID + BIE = 180 Cần tạo ra một điểm F trên cạnh BC: EIC = DIF Chứng minh Kẻ DF// AC( F BC) DFB = ACB ( hai góc đồng vị) DFB = ABC Mà ABC cân tai A ABC = ACB (t/c) DFB cân tai D DB = DF Xét DIF Và EIC có: ID = IE (gt) FDI = CEI (SLT, DF// AC) DIF = EIC(c.g.c) DF = EC (=BD) DIF = EIC (hai góc tương ứng) (1) 0 Vì I DE nên DIF + FIE = 180 (2) Từ (1) và (2) EIC + FIE = 1800 hay EIC + EIB = 1800 B, I, C thẳng hàng. Bài 3: (BTNC&MSCD/123) Cho ABC, A = 600. Phân giác BD, CE cắt nhau tại O. Chứng minh rằng : a. DOE cân b. BE + CD= BC. Giải A 0 E D ABC, A =60 O 1 BD: Phân giác B (D AC) 2 4 3 GT CE: Phân giác C (E AB) ∈ B C BD CE = {O} F KL a. DOE cân ∈ b. BE∩ + CD= BC. Chứng minh Ta có: ABC: B + C =1800 - A =1800 - 600 = 1200 (Định lý tổng ba góc của một tam giác) B Mà B = (BDlà phân giác B ) 1 2 C C = (CE là phân giác C ) 1 2 BC 1200 Nên B + C = = = 600 1 1 2 2 0 0 0 0 OBC: BOC = 180 - ( B1 +C1 )= 180 - 60 =120 ((Định lý tổng ba góc của một tam giác) 0 Mặt khác: BOC + O1 = 180 ( kề bù) 0 O1 =O2 =60 0 BOC + O2 = 180 ( kề bù) BOC 0 Vẽ phân giác OF của BOC (F BC) O =O = =60 3 4 2 0 Do đó : O1 =O2 = O3 = O4 =60 Xét BOE và BOF có: B2 = B1 (BDlà phân giác B ) BO cạnh chung BOE = BOF(g.c.g) 0 O1 = O4 =60 OE = OF (1) ( hai cạnh tương ứng) Và BE = BF c/m tương tự COD = COF(g.c.g) OD =- OF (2) (hai cạnh tương ứng) và CD = EF Từ (1 ) và (2) OE = OD DOE cân b. Ta có BE = BF CD = CF (cmt) BE+CD=BF+FC=BC Vậy : BE + DC= BC * Nhận xét: - VD trên cho ta thêm một cách vẽ đường phụ:Vẽ phân giác OF của BOC . Khi đó OF là một đoạn thẳng trung gian để so sánh OD với OE. - Ta cũng có thể vẽ thêm đường phụ bằng cách khác: Trên BC lấy điểm F:BF= BE. Do đó cần c/m BOE = BOF(g.c.g) và COD = COF(g.c.g). Bài tập về nhà: Tam giác ABC và tam giác A'B'C' có AB=A'B', AC= A'C'. Hai góc A và A' bù nhau. Vẽ trung tuyến AM rồi kéo dài một đoạn MD=MA. Chứng minh: a. ABD = A' 1 b. AM = B'C' 2 Giải