Đề 18 thi học sinh giỏi toán lớp 8

ĐỀ BÀI: Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. d) Tìm x để P > 0. Bài 2(3 điểm):Giải phương trình: a) b) c) Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của ngời đó. Bài 4 (7 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P. Tứ giác AMDB là hình gì? Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng. Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P. Giả sử CP BD và CP = 2,4 cm, . Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD. Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: Đáp án và biểu điểm Bài 1: Phân tích: 4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ Điều kiện: 0,5đ Rút gọn P = 2đ hoặc +) P = +) P = 1đ P == Ta có: Vậy P khi x – 5 Ư(2) Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2} x – 5 = -2 x = 3 (TMĐK) x – 5 = -1 x = 4 (KTMĐK) x – 5 = 1 x = 6 (TMĐK) x – 5 = 2 x = 7 (TMĐK) KL: x {3; 6; 7} thì P nhận giá trị nguyên. 1đ P == 0,25đ Ta có: 1 > 0 Để P > 0 thì > 0 x – 5 > 0 x > 5 0,5đ Với x > 5 thì P > 0. 0,25 Bài 2: a) ĐK: 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4) 3x.(x + 4) = 0 3x = 0 hoặc x + 4 = 0 +) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK) +) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK) S = { 0} 1đ b) (123 – x)= 0 Do > 0 Nên 123 – x = 0 => x = 123 S = {123} 1đ c) Ta có: => > 0 nên PT được viết dưới dạng: = 5 – 3 = 2 +) x - 2 = 2 => x = 4 +) x - 2 = -2 => x = 0 S = {0;4} 1đ Bài 3(2 đ) Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là: (3h20’ = ) 0,25đ Vận tốc của ngời đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là: 0,25đ Theo đề bài ta có phơng trình: 0,5đ x =150 0,5đ Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 (km) 0,25đ Vận tốc dự định là: Bài 4(7đ) Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,5đ A B C D O M P I E F Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD. PO là đường trung bình của tsm giác CAM. AM//PO tứ giác AMDB là hình thang. 1đ Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA. Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng. 1đ nên không đổi. (1đ) Nếu thì Nếu thì 1đ do đó CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = 5 (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 0,5đ do đó BC = 4 (cm) CD = 3 (cm) 0,5đ Bài 5: a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) Vì 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - ) = 2010.() chia hết cho 2010 (1) 20112010 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + ) = 2010.( ) chia hết cho 2010 (2) 1đ Từ (1) và (2) ta có đpcm. b) (1) Vì => => => BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 1đ