Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để giải một số bài toán có tham số

au cùng là bài tập tự luyện. NỘI DUNG A. KIẾN THỨC CƠ SỞ Đặt hoặc hoặc hoặchoặc D = (- ; b] hoặc D = [a; + ) hoặc D = (- ; + ). - Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên thì +) Phương trình có không quá một nghiệm trên +) Với - Nếu hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến trên thì phương trình có không quá một nghiệm trên - Nếu hàm số liên tục trên D và , thì phương trình có nghiệm trên D khi - Nếu hàm số liên tục trên D và thì bất phương trình có nghiệm trên D khi và chỉ khi - Nếu hàm số liên tục trên D và thì bất phương trình có nghiệm trên D khi và chỉ khi - Nếu hàm số liên tục trên D và thì bất phương trình thoả mãn với mọi khi và chỉ khi -Nếu hàm số liên tục trên D và thì bất phương trình thoả mãn với mọi khi và chỉ khi - Nếu hàm số liên tục trên đoạn thì trên đó hàm số luôn đạt giá tri lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Trong trường hợp hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D ta phải lập bảng biến thiên của hàm số đó trên, từ bảng biến thiên đưa ra kết quả cần tìm. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG I. Phương trình và bất phương trình. Bài tập 1: Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm thực: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Giải 1) Xét hàm số trên tập . + Hàm số liên tục trên ; + ; (loại); . Bảng biến thiên: x - ¥ 1 f’(x) - 0 + f(x) +¥ 12 (1) Có nghiệm Û () có nghiệm Dựa vào bảng biến thiên, (1) có nghiệm 2) ĐK: (1) Xét hàm số trên đoạn + Hàm số liên tục trên + + . Hàm số f(x) đồng biến trên . (1) có nghiệm có nghiệm Nhận xét: Trong bài tập này, nhiều tài liệu trình bày theo hướng nhân liên hợp vế trái của (2), đưa về tích và vận dụng kiến thức sau: Nếu các hàm số , đồng biến trên D và , với mọi thì hàm số đồng biến trên D. 3) ĐK: Xét hàm số trên . + Hàm số liên tục trên ; + ; + . Bảng biến thiên 0 +¥ f’() - f() 1 0 Dựa vào bảng biến thiên, (1) có nghiệm Nhận xét: Nhiều học sinh khi làm bài tập này rất khó khăn trong việc xử lý dấu của đạo hàm, bài tập này nhằm giúp học sinh có thêm kỹ năng biến đổi các biểu thức cồng kềnh, cũng như rèn luyện tính cách cần mẫn chịu khó của các em. 4) TXĐ: D = Xét hàm số trên +) Hàm số liên tục trên ; +) +) Thay vào (2) ta được vô lý Như vậy y’ = 0 vô nghiệm. Mặt khác, ; +) . Bảng biến thiên: -¥ +¥ ’ + 2 -2 Dựa vào bảng biến thiên, (1) có nghiệm Nhận xét: Đây là bài tập hay, việc giải phương trình đạo hàm bằng 0 là không hề đơn giản, nếu biến đổi tương đương thì rất dễ sai lầm, vì vậy tác giả chọn phương trình hệ quả cùng với phát hiện tinh tế tách các tổng bình phương. 5) TXĐ: . Chia hai vế của (1) cho ta có: §Æt . Do suy ra với (2) trở thành (vì t = 0 kh«ng lµ nghiệm của (3)). Xét hàm số trên (0; 1). +) Hàm số liên tục trên (0; 1]; +) ; +) Bảng biến thiên 0 1 ’ - - +¥ 1 (1) Có nghiệm Û (4) có nghiệm Từ bảng biến thiên, (1) có nghiệm Û 1 < m Nhận xét: Với khẳng định hàm số liên tục trên (0; 1] thì ta không cần tìm 6) ĐK: . Đặt . (2) trở thành Xét hàm số trên (0; 1). + Hàm số liên tục trên (0; 1]; + ; + . Bảng biến thiên a 0 1 f’(a) + f(a) -1 -∞ có nghiệm Û (3) có nghiệm Nhận xét: Bài toán này chứa đựng nhiêu kiến thức, sau khi cô lập m là một phát hiện quan trọng để đưa về phương trình với ẩn mới. 7. ĐK: . Đặt . Hµm t liên tục trên . Ta có: (1) trở thành: Xét hàm số với . + f(t) liên tục trên + Þ f(t) nghịch biến trên (1) Có nghiệm Û (2) có nghiệm . Bài tập 2: Cho phương trình Tìm m để phương trình: a) Có một nghiệm duy nhất; b) Có 2 nghiệm phân biệt. Giải: ĐK: Chia hai vế của (1) cho ta được: Đặt Ta có: Với mỗi có duy nhất một giá trị . (2) Trở thành: Xét hàm số trên . +) Hàm số liên tục trên ; +); +) . Bảng biến thiên: t 0 1 f’(t) - 0 + f(t) -3 -4 a) Dựa vào bảng biến thiên, (1) có đúng một nghiệm Û (3) có đúng một nghiệm b) (1) có 2 nghiệm phân biệt Nhận xét: Đây là bài toán thường gặp về số nghiệm của phương trình. Học sinh phải nhận biết được mối quan hệ nghiệm giữa t và x. Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt Giải: (do ). Xét hàm số trên liên tục trên và Bảng biến thiên: -6 6 - 0 + 0 - Từ bảng biến thiên ta có: (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hoặc Nhận xét: trong bài toán này, học sinh thường quên không tính giới hạn của hàm khi nên giải sai. Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt Giải Xét hàm số trên tập . +) Hàm số liên tục trên các tập ; +); +) Bảng biến thiên: x 0 +∞ f’(x) + + f(x) -∞ Dựa vào bảng biến thiên, (1) có 2 nghiệm thực phân biệt Bài tập 5: Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt Giải Đặt (2) trở thành Xét hàm số trên nếu nếu nếu + f(t) liên tục trên Bảng biến thiên t -∞ 0 1 3 +∞ f(t) 4 +∞ 2 2 Dựa vào bảng biến thiên, (1) có 2 nghiệm phân biệt có đúng 2 nghiệm phân biệt không âm Bài tập 6: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt Giải: TXĐ: D = Dễ thấy, (1) luôn có nghiệm x = 0. Với Xét hàm số trên + Hàm số liên tục trên các khoảng ; + Ta có: ; . Bảng biến thiên: x -∞ 0 +∞ f’(x) - - f(x) -1 +∞ -∞ 1 (1) có 2 nghiệm phân biệt Û (3) có đúng 1 nghiệm Dựa vào bảng biến thiên, (1) có 2 nghiệm phân biệt Nhận xét: Viêc nhận xét nghiệm rất quan trọng, vì nếu không phát hiện được điều này, học sinh sẽ giải sai. Bài tập 7: Tìm m để phương trình sau: a) có nghiệm; b) có 1 nghiệm duy nhất; c) có 2 nghiệm phân biệt Giải: Dễ thấy không là nghiệm của (1) Đặt với . . (2) trở thành: Xét hàm số trên . + Hàm số liên tục trên các tập ; + . Bảng biến thiên: t -∞ -2 2 +∞ f’(t) + + f(t) -∞ +∞ (1) có nghiệm có nghiệm hoặc (1) có nghiệm duy nhất hoặc (1) có 2 nghiệm pb hoặc Nhận xét: Việc đưa ra để nhận ra mối quan hệ giữa t và x Bài tập 7. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm Giải: ĐK: a) Xét hàm số trên + Hàm số liên tục trên ; + Bảng biến thiên x 1 +∞ f’(x) + f(x) +∞ 3 Dựa vào bảng biến thiên, (1) có nghiệm Û (2) có nghiệm Bài tập 8. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm Đặt Ta có: trở thành: Xét hàm số trên +) Hàm số liên tục trên +) (loại) Bảng biến thiên t 0 +∞ f’(t) + 0 - f(t) 0 Dựa vào BBT, (1) có nghiệm Û (2) có nghiệm Bài tập 9: Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc Đặt + Hàm số t liên tục trên + (1) trở thành Xét hàm số trên +) Hàm số liên tục trên +) Suy ra hàm số đồng biến trên (1) có nghiệm có nghiệm Bài tập bổ sung Tìm m để các phương trình sau có nghiệm 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9) 10) 11) II. Hệ phương trình và hệ bất phương trình. Bài tập 1: Tìm m để hệ sau có nghiệm thực Đặt với Hệ (1) trở thành là nghiệm của phương trình Xét hàm số với Bảng biến thiên: t -∞ -2 2 +∞ f(t) +¥ +¥ 2 +¥ 22 (1) có nghiệm Û (2) có 2 nghiệm thỏa mãn Từ bảng biến thiên, (1) có nghiệm hoặc . Bài tập 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm Giải: Đặt: với . (1) trở thành: (Do nên Hệ (1) có nghiệm Û (2) có nghiệm Xét hàm số trên +) Hàm số liên tục trên +) (loại) Bảng biến thiên: u +∞ f’(u) + 0 - f(u) Dựa vào BBT, (1) có nghiệm Bài tập 3: Tìm tất cả các gia trị m để hệ phương trình sau có nghiệm Giải: Đặt Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn hệ Đặt Hệ (1) trở thành: Xét hàm số trên +) liên tục trên +) +) (loại). Bảng biến thiên: t -1 + 0 - -∞ -∞ (I) có nghiệm Û (*) có nghiệm Bài tập 4: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm Giải: Đặt , hệ trở thành Dễ thấy z = 0 không thỏa mãn hệ (2). Với z > 0, đặt x = tz. (2) trở thành Do z > 0 nên từ (*) suy ra hoặc t > 2 Từ hệ (*) và (**) ta có: hoặc t > 2. Xét hàm số +) Hàm số liên tục trên mỗi khoảng +) ; . Bảng biến thiên: t -∞ 0 2 3 +∞ f’(t) + - 0 + f(t) +∞ +∞ -∞ 6 Dựa vào bảng biến thiên, (1) có nghiệm Bài tập 5: Tìm các giá trị âm của tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: Giải Trừ (1) và (2) vế theo vế ta có: Do nên Hệ tương đương với Xét hàm số trên . +) Hàm số liên tục trên ; +) (loại); Bảng biến thiên: x 0 +∞ f’(x) + 0 - f(x) 0 -∞ Vì a < 0 nên đường thẳng d: y = a luôn cắt đồ thị hàm số tại đúng một điểm có hoành độ dương. Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất. Bài tập 6: Tìm a để hệ phương trình sau có một nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện Giải: Do nên Từ đó suy ra: Xét hàm số trên +) Hàm số liên tục trên +) Hàm số đồng biến trên (3) có một nghiệm duy nhất Bài tập 7: Tìm m để hệ sau có nghiệm ĐK: Xem (3) là tam thức bậc hai đối với x. () Khi đó, +) Với thì từ (*) và () Như vậy m = 1 hệ có nghiệm (5; 0) +) Với thay vào (2) ta được: Đặt . (4) trở thành: Hệ có nghiệm Û (5) có nghiệm Xét hàm số trên +) f(t) liên tục trên +) (loại) (5) có nghiệm Vậy Bài tập 8: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm Hệ đã cho có nghiệm Û (2) có nghiệm có nghiệm x Xét hàm số trên . nếu nếu Ta có: +) f(x) liên tục trên ; nếu nếu +) . Bảng biến thiên: x -1 0 2 4 f’(x) - 0 - 0 + f(x) 2 16 4 (3) có nghiệm Bài tập 9: Tìm m để hệ sau có nghiệm Giải Xét hàm số trên +) Hàm số liên tục trên các tập ; +) ; Bảng biến thiên: x -1 0 f’(x) + + f(x) +∞ 0 -∞ (I) có nghiệm Û (1) có nghiệm hoặc (2) có nghiệm Bài tập bổ sung Tìm m để phương trình, hệ phương trình, bất phương trính sau có nghiệm: a) b) c) d) e) f) KẾT LUẬN Vận dụng đạo hàm để giải quyết bài toán tham số là một phần có vị trí khá quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông. Nếu giáo viên có đầu tư thích hợp thì có thể hình thành cho học sinh phương pháp giải bài toán tham số bằng đạo hàm một cách có hiệu quả. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng vì khả năng và khuôn khổ của bài viết nên người viết chỉ mới đưa ra được một số kinh nghiệm khi dạy học nội dung này. Rất mong nhận được sự quan tâm, góp ý và bổ sung của người đọc để bài viết được hoàn thiên hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn.