Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp

HC > HE. Tinh HC. Bài tập 69 Cho (O) đờng kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MM . CMR: BCHK là tứ giác nội tiếp. Tính AH.AK theo R. Xác định vị trí của điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó Bài tập 70 Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B . Một đờng thẳng đi qua A cắt đờng tròn (O1) , (O2) lần lợt tại C,D , gọi I , J là trung điểm của AC và AD . Chứng minh tứ giác O1IJO2 là hình thang vuông . Gọi M là giao diểm của CO1 và DO2 . Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm trên một đờng tròn E là trung điểm của IJ , đờng thẳng CD quay quanh A . Tìm tập hợp điểm E. Xác định vị trí của dây CD để dây CD có độ dài lớn nhất . Bài tập 71 Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn . Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt nhau tại D . Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn đờng kính AB , AC lần lợt tại E và F . Chứng minh B , C , D thẳng hàng . Chứng minh B, C , E , F nằm trên một đờng tròn . Xác định vị trí của đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất . Bài tập 72 Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngoài đờng tròn ) . Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB tại I , CM cắt đường tròn tại E , EN cắt đường thẳng AB tại F Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp . Chứng minh góc CAE bằng góc MEB . Chứng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB Bài tập 73 Cho D ABC có 3 góc nhọn AC > BC nội tiếp (O) . Vẽ các tiếp tuyến với (O) tại A và B, các tiếp tuyến này cắt nhau tại M . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên MC. CMR a/ MAOH là tứ giác nội tiếp b/ Tia HM là phân giác của góc AHB c/ Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt MA, MB lần lợt tại E, F. Nối EH cắt AC tại P, HF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng QP // EF. Bài tập 74 Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E . Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đờng tròn . c) AC song song với FG . d) Các đờng thẳng AC , DE và BF đồng quy . Bài tập 75 Cho đờng tròn tâm O. Từ một điểm P ở ngoài đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C là tiếp điểm) với đờng tròn (O). a. Chứng minh PAOC là tứ giác nội tiếp đờng tròn. b. Tia AO cắt đờng tròn (O) tại B; đờng thẳng qua P song song với AB cắt BC tại D. Tứ giác AODP là hình gì? c. Gọi I là giao điểm của OC và PD; J là giao điểm của PC và DO; K là trung điểm của AD. Chứng tỏ rằng các điểm I, J, K thẳng hàng. Bài tập 76 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . M là một điểm trên cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC . 1) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp . 2) Chứng minh 3) Chứng minh D AMB đồng dạng với D HMK . Bài tập 77 Cho nửa đường trũn đường kớnh AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường trũn. Gọi C là điểm trờn nửa đường trũn sao cho cung AC bằng cung CB. Trờn cung CB lấy điểm D khỏc C và B. Cỏc tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F. a, Chứng minh DABE vuụng cõn b, Chứng minh D ABF ~ D BDF c, Chứng minh tứ giỏc CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF Bài tập 78 Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đờng tròn đờng kính AD, tâm O. Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống AD và I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng: Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc; E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H nằm trên một đờng tròn Bài tập 79 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh : a) CEFD là tứ giác nội tiếp . b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM . c) BE . DN = EN . BD Bài tập 80 Cho tam giác cân ABC (AB = AC; ), một đờng tròn (O) tiếp xúc với AB và AC lần lợt tại B và C. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M (M không trùng với B và C) rồi hạ các đờng vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tơng ứng BC, CA, AB. a. Chỉ ra cách dựng đờng tròn (O). b. Chứng minh tứ giác BIMK nội tiếp. c. Gọi P là giao điểm của MB và IK; Q là giao điểm của MC và IH. Chứng minh . Bài tập 81 Cho DABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O, bán kính R. Hạ các đờng cao AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lợt cắt (O) tại các điểm thứ hai là M, N. Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,D,B nằm trên một đờng tròn. Tìm tâm I của đờng tròn đó. MN// DE Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ dài bán kính đờng tròn ngoại tiếp DCDE không đổi. Bài tập 82 Cho điểm A ở ngoài đờng tròn tâm O . Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đờng tròn (B , C là tiếp điểm ) . M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC ( M ạ B ; M ạ C ) . Gọi D , E , F tơng ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đờng thẳng AB , AC , BC ; H là giao điểm của MB và DF ; K là giao điểm của MC và EF . 1) Chứng minh : a) MECF là tứ giác nội tiếp . b) MF vuông góc với HK . 2) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích MD . ME lớn nhất . Bài tập 83 Cho ABC vuụng cõn tại A. AD là trung tuyến thuộc cạnh BC. Lấy M bất kỡ thuộc đoạn AD (M khụng trựng A, D). Gọi I, K lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn AB, AC. H là hỡnh chiếu vuụng gúc của I trờn đoạn DK a/Tứ giỏc AIMK là hỡnh gỡ? b/ A, I, M, H, K thuộc một đường trũn. Tỡm tõm đường trũn đú. c/ B, M, H thẳng hàng. Bài tập 84 Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn). Hai đờng cao AD và BF gặp nhau tại H a/ Chứng minh tứ giác DHFC nội tiếp đợc đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác b/ Gọi CK là đờng cao còn lại của tam giác ABC; KD cắt đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DHCF tại E. Chứng minh rằng gócEFH = góc KBH c/ Giả sử CH = AB. Tính số đo của góc ACB Bài tập 85 Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp trong đờng tròn (O). Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại D của đờng tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: a. . b. Tứ giác AEDO nội tiếp. c. EI // AB. Bài tập 86 Cho đường trũn tõm O đường kớnh AC. Trờn AC lấy điểm B , vẽ đường trũn tõm O’ đường kớnh BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ đường thẳng vuụng gúc với AB cắt đường trũn tõm O tại D và E. Nối DC cắt đường trũn tõm O’ tại I. Chứng minh: a/ AD // BI. b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng. c/ MD = MI. d/ DM2 = AM.MC. e/ Tứ giỏc DMBI nội tiếp. Bài tập 87 Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy một điểm D, dựng CE vuông góc với BD. a. Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đờng tròn. b. Chứng minh AD.CD = ED.BD. c. Từ D kẻ DK vuông góc với BC. Chứng minh rằng AB, DK, EC đồng quy tại một điểm và . Bài tập 88 Từ một điểm A ở ngoài đờng tròn(O), ta kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). M là một điểm trên cung nhỏ BC, . Từ M hạ các đờng vuông góc MI, MH, MK tơng ứng xuống BC, AC, AB. Gọi P là giao của MB và IK; Q là giao của MC và IH. a. Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc đờng tròn. b. Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc KMH. c. Chứng minh PQ // BC Bài tập 89 Cho đờng tròn tâm O, bán kính R và hai đờng kính vuông góc AB và CD. Trên AO lấy điểm E mà OE = AO, CE cắt (O) ở M. a. Tính CE theo R. b. Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp đựơc. Xác định tâm và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác. c. Chứng minh hai tam giác CEO và CDM đồng dạng. Tính độ dài đờng cao MH của tam giác CDM. Bài tập 90 Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đờng tròn (O1) và (O2) về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự tại C, D. Đờng thẳng CE và đờng thẳng DF cắt nhau tại I. a. Chứng minh IA vuông góc với CD. b. Chúng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp. c. Chứng minh đờng thẳng AB đi qua trung điểm của EF Bài tập 91 Cho đường trũn tõm O và cỏt tuyến CAB (C ở ngoài đường trũn). Từ điểm chớnh giữa của cung lớn AB kẻ đường kớnh MN cắt AB tại I, CM cắt đường trũn tại E, EN cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh tứ giỏc MEFI là tứ giỏc nội tiếp. Chứng minh gúc CAE bằng gúc MEB. Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bài tập 92 Cho tam giác ABC vuông ở A và có AB > AC, đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC tại F. a. Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật. b. Chứng minh AE.AB = AF.AC c. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp. Bài tập 93 Cho đờng tròn (O) đờng kính BC. Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O và B), vẽ đờng tròn (O') đờng kính AC. Đờng tròn đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) tại D và E. Gọi F là giao điểm thứ hai của CD với đờng tròn (O'), K là giao điểm thứ hai của CE với đờng tròn (O'). Chứng minh: a. Tứ giác ADBE là hình thoi. b. AF // BD. c. Ba điểm E, A, F thẳng hàng. d. Bốn điểm M, F, C và E cùng thuộc một đờng tròn. e. Ba đờng thẳng CM, DK, EF đồng quy Bài tập 94 Cho hai đờng tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Đờng tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) tại điểm M; đờng tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') tại N. Đờng tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài tại P. a. Chứng minh rằng tứ giác OAO'I là hình bình hành. b. Chứng minh rằng bốn điểm O, B, I, O' nằm trên một đờng tròn. c. Chứng minh rằng: BP = BA. Bài tập 95 Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đờng tròn (O) (M, N là tiếp điểm). Đờng thẳng đi qua điểm P cắt đờng tròn (O) tại hai điểm E và F. Đờng thẳng qua O song song với PM cắt PN tại Q. Gọi H là trung điểm của đoạn EF. Chứng minh rằng: a. Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn. b. Các điểm P, N, O, H cùng nằm trên một đờng tròn. c. Tam giác PQO cân. d. PM2 = PE.PF. e. .